一道函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題的解題策略

祁居攀

【摘?要】??2021新課標(biāo)全國卷Ⅰ第22題是一道函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題的證明.此類題目已在往年的高考中多次出現(xiàn)，這類試題難度大、綜合性強(qiáng)、推理過程繁，對學(xué)生的思維要求高，導(dǎo)致得分率普遍偏低，究其原因是學(xué)生對極值點(diǎn)偏移問題的證明方法不能靈活應(yīng)用.本文呈現(xiàn)出了該類題的三種證法供讀者學(xué)習(xí).

【關(guān)鍵詞】??函數(shù);極值點(diǎn);偏移;解題策略

1?構(gòu)造對稱函數(shù)法

思路分析???若x?0是函數(shù)f（x）的一個極值點(diǎn)，對結(jié)論x?1+x?2<（>）2x?0，則可構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-f（2x?0-x）輔助證明.

題目??已知函數(shù)f（x）=x（1-?ln?x）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且b?ln?a-a?ln?b=a-b，證明：2

解??（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤∈（0，+∞），

由f′（x）=-?ln?x，得

當(dāng)x∈（0，1]時，f′（x）≥0，

所以?f（x）單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）<0，

所以?f（x）單調(diào)遞減.

綜上知，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，在?（1，+∞）?上單調(diào)遞減.

（2）??證法1???由b?ln?a-a?ln?b=a-b，

兩邊同乘以?1?ab??（其意分離變量）?得

ln?a?a?-??ln?b?b?=?1?b?-?1?a?，

即??1?a?（1+?ln?a）=?1?b?（1+?ln?b），

故?f??1?a??=f??1?b??.

令?1?x?1?=a，?1?x?2?=b，

所以?x?1（1-?ln?x?1）=x?2（1-?ln?x?2），

即證?2

由（1）不妨設(shè)

01，

如圖1所示，

因?yàn)閤∈（0，1）時，

f（x）>0，

x∈（?e?，+∞）時，f（x）<0，

并且f（x?1）=f（x?2），得

x?1∈（0，1），x?2∈（1，?e?），

（?i?）先證明?x?1+x?2>2.

根據(jù)x?2的取值分類討論：

當(dāng)2≤x?2

由02成立;

當(dāng)02，轉(zhuǎn)化為只需證x?1>2-x?2，

構(gòu)造對稱函數(shù)，令

F（x）=f（x）-f（2-x），x∈（1，2），

即F（x）=x（1-?ln?x）-（2-x）[1-?ln?（2-x）]，

x∈（1，2）.

因?yàn)镕′（x）=-?ln?x-?ln?（2-x）=-?ln?[x（2-x）]，

由?x∈（1，2），

所以?0<[x（2-x）]<1，

F′（x）=-?ln?[x（2-x）]>0，

即?F（x）在x∈（1，2）時單調(diào)遞增，

并且?F（x）>F（1）=0，

所以?f（x）>f（2-x），x∈（1，2），

即?f（x?1）=f（x?2）>f（2-x?2），

由?f（x?1）>f（2-x?2），

且?f（x）在x∈（0，1）時單調(diào)遞增，

所以?x?1>2-x?2，

即證得?x?1+x?2>2.

（?ii?）再證明?x?1+x?2

根據(jù)x?2的取值分類討論：

當(dāng)1≤x?2≤?e?-1時，

由0

當(dāng)?e?-1

令t（x）=f（x）-f（?e?-x），x∈（0，1），

則t′（x）=-?ln?x-?ln?（?e?-x）=-?ln?[x（?e?-x）].

令函數(shù)u（x）=[x（?e?-x）]，

則?u（x）在x∈（0，1）時單調(diào)遞增，

所以?u（x）∈（0，?e?-1）.

當(dāng)u（x）∈（0，1）時，t′（x）=-?ln?[u（x）]>0，即t（x）單調(diào)遞增;

當(dāng)u（x）∈（1，?e?-1）時，

t′（x）=-?ln?[u（x）]<0，

即?t（x）單調(diào)遞減，

即存在ξ∈（0，1），使t′（ξ）=0，并且t（x）在（0，ξ）單調(diào)遞增，在（ξ，1）單調(diào)遞減.

因?yàn)?x→0時，t（x）→0，

且?t（1）=f（1）-f（?e?-1）>0，

所以?t（x）>0在x∈（0，1）上恒成立，

即?f（x?1）>f（?e?-x?1），x∈（0，1）上恒成立.

所以?x?1+x?2

綜上知，2

注??對稱構(gòu)造函數(shù)法是證明極值點(diǎn)偏移問題最常規(guī)的解法之一，其方法主要是構(gòu)造函數(shù)，并利用函數(shù)的單調(diào)性得到證明的結(jié)論.

2?引入新函數(shù)法

思路分析???因?yàn)閤=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，所以可以考慮引入一個關(guān)于x=1對稱的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)圖象的“對稱性”，解決極值點(diǎn)的“偏移”問題.

證法2???先證x?1+x?2>2，

構(gòu)造函數(shù)?g（x）=x（2-x），

則?f（x）-g（x）?=x（1-?ln?x）-x（2-x）

=x（x-1-?ln?x）.

設(shè)t（x）=x-1-?ln?x，

則?t′（x）=1-?1?x?=?x-1?x?.

因?yàn)?x>0，

所以，當(dāng)10，t（x）單調(diào)遞增;

當(dāng)0

故?t（x）≥t（1）=0，

所以?f（x）-g（x）≥0，

即?f（x）≥g（x）.

由（1）可知

當(dāng)0

當(dāng)1

且?f（1）=g（1）=1，如圖2所示，

有?0

顯然?x?1+x?2>x?3+x?4=2，得證.

下面證明x?1+x?2

構(gòu)造函數(shù)?g（x）=x（?e?-x），

f（x）-g（x）=x（1-?ln?x）-x（?e?-x），

即?f（x）-g（x）=x（x+1-?e?-?ln?x）.

設(shè)t（x）=x+1-?e?-?ln?x，

則?t′（x）=1-?1?x?=?x-1?x?.

因?yàn)?x>0，

所以，當(dāng)10，t（x）單調(diào)遞增;

當(dāng)0

因?yàn)?t（1）=2-?e?<0，t（?e?）=0，

且?x→0，t（x）→0，

所以?f（x）-g（x）<0，

即?f（x）

有?0

顯然?x?1+x?2

綜上知，2

注??根據(jù)題意引入與原函數(shù)極值點(diǎn)相同的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)圖象的對稱性，并結(jié)合兩函數(shù)的圖象，可有效證明函數(shù)極值點(diǎn)偏移的問題.

3?引參消元法

思路分析???對題干中的兩個變量可以引入第三個變量，將兩元不等式問題轉(zhuǎn)化為一元不等式，再構(gòu)造新函數(shù)求解.

證法3???由證法1知

x?1（1-?ln?x?1）=x?2（1-?ln?x?2），

設(shè)?1-?ln?x?1?1-?ln?x?2?=?x?2?x?1?=t，

即??x?2=tx?1，1-?ln?x?1=t（1-?ln?x?2），

由?0

得?t>1，

整理得??ln?x?1=1-?t?ln?t?t-1?，?ln?x?2=1-??ln?t?t-1?.

先證?x?1+x?2>2，

由?x?1（1-?ln?x?1）=x?2（1-?ln?x?2），

得?x?1?ln?x?1-x?2?ln?x?2=x?1-x?2，

兩邊同除以?ln?x?1-?ln?x?2，得

x?1?ln?x?1-x?2?ln?x?2??ln?x?1-?ln?x?2?=?x?1-x?2??ln?x?1-?ln?x?2?.

由對數(shù)均值不等式得

x?1?ln?x?1-x?2?ln?x?2??ln?x?1-?ln?x?2?=?x?1-x?2??ln?x?1-?ln?x?2?

因?yàn)??x?1?ln?x?1-x?2?ln?x?2??ln?x?1-?ln?x?2

=x?1·?1-?t?ln?t?t-1?-t?1-??ln?t?t-1???1-?t?ln?t?t-1?-?1-??ln?t?t-1???，

即??x?1?ln?x?1-x?2?ln?x?2??ln?x?1-?ln?x?2?=x?1·?t-1??ln?t?，

又因?yàn)??ln?t≤t-1，

所以??x?1+x?2?2??>?x?1?ln?x?1-x?2?ln?x?2??ln?x?1-?ln?x?2

=x?1·?t-1??ln?t?≥x?1.

因?yàn)?x?1∈（0，1），

所以??x?1+x?2?2?>x?1???max??=1，

證得?x?1+x?2>2.

下面證明?x?1+x?2

要證?x?1+x?2

即證?（t+1）x?1

兩邊取對數(shù)，即證

ln?x?1+?ln?（t+1）<1，

即?1-?t?ln?t?t-1?+?ln?（t+1）<1，

（t-1）?ln?（t+1）-t?ln?t<0，

構(gòu)造函數(shù)h（t）=（t-1）?ln?（t+1）-t?ln?t?（t>1）?，

則?h′（t）?=?ln?（t+1）+?t-1?t+1?-1-?ln?t

=?ln??1+?1?t??-?2?t+1?，

由對數(shù)不等式?ln?（t+1）≤t，得

ln??1+?1?t??≤?1?t?

所以?h′（t）=?ln??1+?1?t??-?2?t+1?<0成立，

h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

故?h（t）

所以?（t-1）?ln?（t+1）-t?ln?t<0成立，

即?x?1+x?2

綜上知，2

注??在極值點(diǎn)偏移問題中，引入第三個參量，通過構(gòu)造新函數(shù)可以達(dá)到將雙元變量問題轉(zhuǎn)化為一元變量的問題求解的目的.

證法1通過構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的“單調(diào)性”證明不等式是最常規(guī)的解法之一;證法2引入二次函數(shù)并利用二次函數(shù)圖象的“對稱性”，證明函數(shù)極值點(diǎn)偏移，數(shù)形結(jié)合簡捷明了;證法3根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)匾胍粋€“參量”能使極值點(diǎn)偏移中的二元變量轉(zhuǎn)元化為一元變量，通過“消元”達(dá)到了求解的目的.

總之，關(guān)于極值點(diǎn)偏移的證明題方法多樣，只有掌握最基本的證明方法，才能達(dá)到觸類旁通的效果.