合理放縮，探析零點(diǎn)存在的充分條件

白志峰

【摘要】通過(guò)合理放縮，進(jìn)行轉(zhuǎn)化與劃歸，減少參數(shù)的干擾或降低超越函數(shù)的復(fù)雜程度，化繁為簡(jiǎn)，逐步分析探究零點(diǎn)存在的充分條件，找出特值或證出存在，是一種比較有效的思維策略.

【關(guān)鍵詞】放縮;端點(diǎn)賦值;思維策略

函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題涉及的知識(shí)面廣、綜合性強(qiáng)，解決問(wèn)題時(shí)常常需要把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為探求某個(gè)單調(diào)區(qū)間上存在異號(hào)的函數(shù)值，進(jìn)而說(shuō)明該區(qū)間上零點(diǎn)的唯一性.但面對(duì)靈活多變的函數(shù)關(guān)系，如何合理賦值，是一個(gè)難點(diǎn).對(duì)于含參數(shù)的問(wèn)題，往往更加復(fù)雜，正所謂“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”.本文通過(guò)舉例說(shuō)明解決這一類(lèi)問(wèn)題的一種思維策略——合理放縮，探析零點(diǎn)存在的充分條件.

題目已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解求導(dǎo)可得

f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1

=（aex-1）（2ex+1）.

當(dāng)a≤0時(shí)，

f′（x）=（aex-1）（2ex+1）<0恒成立，

故函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，

即f（x）最多有一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)a>0時(shí)，

令f′（x）=（aex-1）（2ex+1）=0，

得x=ln1a，

進(jìn)而可得函數(shù)f（x）在-∞，ln1a上單調(diào)遞減，在ln1a，+∞上單調(diào)遞增，

此時(shí)函數(shù)有極小值

fln1a=lna-1a+1.

易知，當(dāng)a>1時(shí)，

極小值fln1a>0，原函數(shù)無(wú)零點(diǎn);

當(dāng)a=1時(shí)，

極小值fln1a=0，此時(shí)恰有1個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)0

因?yàn)閘na<0，1-1a<0，

所以fln1a<0.

下面證明-∞，ln1a和ln1a，+∞上分別有且只有一個(gè)零點(diǎn)，從而說(shuō)明a的取值范圍是（0，1）.

（1）先證：f（x）在-∞，ln1a上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即只需證明存在x0∈-∞，ln1a，

使得f（x0）>0.

解析1注意到ln1a>0和f（x）在-∞，ln1a上單調(diào)遞減，可以加強(qiáng)條件，

考慮x<0，此時(shí)0

因?yàn)閍e2x>0，

所以f（x）=ae2x+（a-2）ex-x

>（a-2）ex-x.

又因?yàn)?

所以f（x）>（a-2）ex>a-2-x.

令a-2-x≥0，得

x≤a-2，

所以對(duì)于任意a∈（0，1），一定存在x0≤a-2<0，

使得f（x0）>0，

故f（x）在-∞，ln1a上有唯一零點(diǎn).

到此，證明了x0的存在性，無(wú)需再取特值驗(yàn)證.事實(shí)上，鑒于以上的思路，取x0=a-2，a-3，a-4，…，均可，例如

f（a-3）>a-2-（a-3）=1>0.

解析2f（x）=ae2x+aex-2ex-x

>-2ex-x，

只需存在x0<0，使f（x0）>0，

取x0=-2，有

f（-2）>-2e-2+2>0，

所以f（x）在-∞，ln1a上有唯一零點(diǎn).

（2）再證：f（x）在ln1a，+∞上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即只需證明存在x0∈ln1a，+∞，使得

f（x0）>0.

解析1因?yàn)閑x>x，

所以f（x）=ae2x+（a-2）ex-x

>ae2x+（a-2）ex-ex

=aexex+1-3a，

只需ex+1-3a≥0，

所以令ex+1-3a=0，1，2，3，…，均可，

例如，令ex+1-3a=1，得

x=ln3a，

此時(shí)fln3a>a·3a·1=3>0，

所以f（x）在ln1a，+∞上有唯一零點(diǎn).

解析2f（x）=ae2x+（a-2）ex-x

=ex[aex+（a-2）]-x，

注意到ex>x，

只需aex+（a-2）≥1，

所以，令aex+（a-2）=1，2，3，…，均可，

所以滿(mǎn)足條件的特值x0可取ln3a-1，ln4a-1，ln5a-1，…，等等.

例如令aex+（a-2）=2，得

x=ln4a-1，

此時(shí)fln4a-1=24a-1-ln4a-1，

利用x>lnx，可得

4a-1>ln4a-1，

所以fln4a-1>ln4a-1>0，

所以f（x）在x0∈ln1a，+∞上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

小結(jié)本例中我們的目標(biāo)是尋求函數(shù)值存在一個(gè)正值，在函數(shù)具備單調(diào)性的條件下，通過(guò)加強(qiáng)條件，合理縮小以后，證明了x0的存在性，同時(shí)也找到了特值的選取方法.同理，如果需要證明一個(gè)函數(shù)值存在負(fù)值，我們可以適當(dāng)放大，放大以后存在負(fù)值即可.

解題的思維策略是通過(guò)合理放縮進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸，減少參數(shù)的干擾或降低超越函數(shù)的復(fù)雜程度，“撥云見(jiàn)霧”，化生為熟，化繁為簡(jiǎn)，逐步分析探究零點(diǎn)存在的充分條件.在此一個(gè)簡(jiǎn)單的不等式鏈lnx≤x-1

練習(xí)

1.已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2（a>0）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2.已知函數(shù)f（x）=xe2x-a，x>0，討論該函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

3.已知函數(shù)f（x）=（x-1）ex-ax2+b，若0