高考概率題分析及教學(xué)策略

趙永剛

【摘 要】 高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)重點(diǎn)立足于學(xué)生核心素養(yǎng)的提升，其中提升學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力是六大核心素養(yǎng)的重點(diǎn)內(nèi)容.以數(shù)據(jù)分析處理能力為考查指向的高考概率題為研究對(duì)象，分析提升高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為核心的數(shù)據(jù)分析處理能力培養(yǎng)的教學(xué)策略，從教師增強(qiáng)數(shù)據(jù)應(yīng)用意識(shí)，在課堂踐行自主課堂教學(xué)模式，使高中生在獲取資料問(wèn)題、分析數(shù)據(jù)信息、有效處理的過(guò)程中，培養(yǎng)高中生數(shù)據(jù)處理能力.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)據(jù)分析處理;教學(xué)策略;核心素養(yǎng)

1 提升學(xué)生數(shù)據(jù)分析處理能力的重要意義

1.1 數(shù)據(jù)分析是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一

數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)處理能力是高素質(zhì)人才不可或缺的一項(xiàng)重要技能，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)處理能力是非常重要的一環(huán).在核心素養(yǎng)培養(yǎng)的背景下，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的條理性和靈活運(yùn)用能力，使其能夠扎實(shí)的掌握數(shù)據(jù)分析能力是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教師必須重視的重要課題.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》將“數(shù)據(jù)分析”列為高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，具體主要表現(xiàn)為：收集并整理數(shù)據(jù)，理解并處理數(shù)據(jù)，獲得并解釋結(jié)論，概括并形成知識(shí)[2].從能力水平和要求上呈現(xiàn)金字塔結(jié)構(gòu).數(shù)據(jù)對(duì)于國(guó)家和企業(yè)的重要性不言而喻.學(xué)校是培養(yǎng)人才的主陣地，高中數(shù)學(xué)教學(xué)擔(dān)負(fù)著挖掘并培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析潛力的重要任務(wù).

1.2 數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)體現(xiàn)新時(shí)代育人方向和價(jià)值

通過(guò)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠提高定量分析和獲得有效信息的意識(shí)和能力;積累通過(guò)數(shù)據(jù)分析探索事物本質(zhì)和規(guī)律的經(jīng)驗(yàn);適應(yīng)數(shù)字化學(xué)習(xí)需要，增強(qiáng)以數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)反映實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)，形成以數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)事物的思維品質(zhì)[2].在此基礎(chǔ)上，將育人方向落實(shí)到三個(gè)目標(biāo)上：提升學(xué)生主動(dòng)獲取有效信息、定量分析的意識(shí)和能力;幫助學(xué)生積累數(shù)據(jù)分析的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn);形成靈活運(yùn)用數(shù)據(jù)分析問(wèn)題的思維習(xí)慣和品質(zhì).

1.3 數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)是適應(yīng)新時(shí)代的基本要求

數(shù)據(jù)分析是研究探討隨機(jī)現(xiàn)象的重要技術(shù)，是“互聯(lián)網(wǎng)+”等相關(guān)領(lǐng)域的主要數(shù)學(xué)方法，也是大數(shù)據(jù)時(shí)代對(duì)于數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，數(shù)據(jù)分析已經(jīng)滲透到現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和社會(huì)生活的各個(gè)角落.大數(shù)據(jù)時(shí)代的主要特征就是信息技術(shù)和經(jīng)濟(jì)、社會(huì)活動(dòng)深度融合，而推廣大數(shù)據(jù)技術(shù)，提升人們的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)是這個(gè)時(shí)代的基本要求.

2 近幾年數(shù)據(jù)處理能力的考查指向題分析

2.1 考查收集數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)的能力

數(shù)據(jù)處理能力考查的主要方面有：能夠掌握運(yùn)用調(diào)研、實(shí)驗(yàn)和查閱資料等收集數(shù)據(jù)的基本方法;根據(jù)問(wèn)題的需要，選擇隨機(jī)抽樣、分層抽樣等不同的抽樣方法收集數(shù)據(jù);合理運(yùn)用餅形圖、條形圖等統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行直觀描述，能夠通過(guò)統(tǒng)計(jì)圖表識(shí)別數(shù)據(jù)的數(shù)字特征.

例1 （2018年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科））某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：

則下面結(jié)論中不正確的是（? ）

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半

解析 設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為a，建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2a.

A項(xiàng)，種植收入37%×2a-60%a=14%a>0，

故建設(shè)后，種植收入增加，故A項(xiàng)錯(cuò)誤.

B項(xiàng)，建設(shè)后，其他收入為5%×2a=10%a，

建設(shè)前，其他收入為4%a，

故10%a÷4%a=2.5>2，

故B項(xiàng)正確.

C項(xiàng)，建設(shè)后，養(yǎng)殖收入為30%×2a=60%a，

建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為30%a，

故60%a÷30%a=2，

故C項(xiàng)正確.

D項(xiàng)，建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入總和為

（30%+28%）×2a=58%×2a，

經(jīng)濟(jì)收入為2a，

故（58%×2a）÷2a=58%>50%，

故D項(xiàng)正確.

因?yàn)槭沁x擇不正確的一項(xiàng)，

故答案選：A.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查事件與概率，概率的應(yīng)用，命題的真假的判斷，考查發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.

2.2 考查整理分析數(shù)據(jù)的能力

數(shù)據(jù)處理能力包括以下幾個(gè)方面，能夠運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法處理數(shù)據(jù);能夠綜合運(yùn)用數(shù)字、文字、圖形、表格等多種形式描述數(shù)據(jù)并認(rèn)清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系;能根據(jù)不同的條件適用正確的方法，并發(fā)揮想象力創(chuàng)造新的方法.

例2 （2021年全國(guó)高考數(shù)學(xué)甲卷）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（? ）

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

解析 因?yàn)轭l率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計(jì)值.

該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶的比率估計(jì)值為0.02 + 0.04=0.06=6%，故A正確;

該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)值為0.04 +0.02x3 =0.10=10%，故B正確;

該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的比例估計(jì)值為

0.10+0.14 +0.20x2= 0.64= 64% > 50%，故D正確;

該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計(jì)值為

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02 =7.68（萬(wàn)元），超過(guò)6.5萬(wàn)元，故C錯(cuò)誤，選C.

點(diǎn)評(píng) 該題考查學(xué)生概率統(tǒng)計(jì)中直方圖.組中值、頻數(shù)、頻率、總體與樣本等基本概念知識(shí)，考查學(xué)生綜合運(yùn)用文字、數(shù)字、直方圖等多種形式對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和描述，清晰反映資料數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，并分析數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)而考查頻數(shù)、頻率的計(jì)算，通過(guò)樣本的平均數(shù)估計(jì)值如何估計(jì)總體估計(jì)值的計(jì)算，以此考查學(xué)生運(yùn)用直方圖解決經(jīng)濟(jì)生活中出現(xiàn)的數(shù)據(jù)分析問(wèn)題的能力.

2.3 考察通過(guò)數(shù)據(jù)處理進(jìn)行預(yù)報(bào)、推斷的能力

數(shù)據(jù)處理能力要求學(xué)生能根據(jù)問(wèn)題的需要，用合適的度量來(lái)表達(dá)數(shù)據(jù)的差異性，通過(guò)常見(jiàn)的兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布以及正態(tài)分布等概率模型，從復(fù)雜的數(shù)據(jù)中提取有效的信息，為科學(xué)合理決策提供數(shù)據(jù)推理依據(jù).

例3 （2021年全國(guó)高考數(shù)學(xué)乙卷）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為x-和y-，樣本方差分別記為s21和s22.

（1）求x-，y-，s21，s22;

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果y--x-≥2s21+s2210，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.

解析

（1）

依題意，

y--x-=0.3=2×0.5=20.152=20.0225.

20.036+0.0410=20.0076.

y--x-≥2S22+S2210.

所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

點(diǎn)評(píng) 此題對(duì)數(shù)據(jù)處理的考核相對(duì)復(fù)雜，有一定的難度和深度，考查了學(xué)生均值和方差的數(shù)字計(jì)算能力，并考查了學(xué)生分析數(shù)據(jù)和根據(jù)獲取的信息進(jìn)行推斷、顯著性檢驗(yàn)的能力.

3 教學(xué)策略建議

3.1 教師要增強(qiáng)數(shù)據(jù)應(yīng)用的意識(shí)

培養(yǎng)人才數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)是推進(jìn)數(shù)字化經(jīng)濟(jì)發(fā)展、加快前沿?cái)?shù)字技術(shù)開(kāi)發(fā)進(jìn)程、平衡數(shù)字信息共享和隱私安全保護(hù)之間的關(guān)系等的基礎(chǔ)，是一個(gè)國(guó)家教育發(fā)展戰(zhàn)略和人才培養(yǎng)戰(zhàn)略的重要指標(biāo).作為人才教育的重要承載者，教師首先要明確人才培養(yǎng)定位、增強(qiáng)數(shù)字應(yīng)用的意識(shí)，將數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的培養(yǎng)滲透到日常的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中.

3.2 教師要努力提高信息技術(shù)應(yīng)用能力

信息技術(shù)應(yīng)用能力是大數(shù)據(jù)時(shí)代教師必須具備的核心素養(yǎng)，也是提升數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的重要保障.為此，學(xué)校應(yīng)當(dāng)將互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)技術(shù)引入到課堂教學(xué)中，打造信息化教學(xué)團(tuán)隊(duì)，探索智能化教育的新模式.教師應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)自我學(xué)習(xí)和自我提升，運(yùn)用先進(jìn)的信息技術(shù)提升自己的數(shù)據(jù)分析能力.

3.3 創(chuàng)新教學(xué)方法，利用生活化案例教學(xué)

高中數(shù)學(xué)課程知識(shí)的設(shè)置是以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析處理能力為核心的.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最終目的是解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.高中數(shù)學(xué)知識(shí)本身較為枯燥、深?yuàn)W，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中一旦把握不好節(jié)奏就會(huì)很容易對(duì)數(shù)學(xué)失去興趣.因此，高中數(shù)學(xué)教師要立足生活，以生活化的內(nèi)容為引導(dǎo)驅(qū)動(dòng)學(xué)生自主觀察、體驗(yàn)生活，以生活化的案例為切入點(diǎn)展開(kāi)教學(xué).

4 結(jié)語(yǔ)

總之，將數(shù)據(jù)分析作為高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中，培養(yǎng)高中學(xué)生必備的六大核心素養(yǎng)之一，體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)的教育價(jià)值和育人價(jià)值.數(shù)據(jù)處理能力是一種高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中相對(duì)較高層次的思維能力，在解決社會(huì)生活問(wèn)題和動(dòng)手實(shí)踐中，能力才能得到充分的鍛煉和提高.高中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中，要圍繞提高數(shù)據(jù)處理能力核心素養(yǎng)進(jìn)行探討.

參考文獻(xiàn)：

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