數(shù)學(xué)課程數(shù)形結(jié)合思想的運用探討

鄭春林

【摘? 要】隨著教育改革的深化，教育制度和教學(xué)模式也在發(fā)生著深刻的變革。數(shù)字和圖形是數(shù)學(xué)的兩大要素，為了更好地運用數(shù)形結(jié)合思想，本文對“數(shù)”與“形”的關(guān)系進行了分析，并從思想導(dǎo)入、運用方法、運用反思等幾個角度論述了數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)的一個重要理念，把“數(shù)”和“形”相結(jié)合，能把一些難以理解的概念、公式和題目變得生動化、具體化。本文著重論述了數(shù)形結(jié)合的特點及運用，并以典型的例子說明了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用思路，以供參考。

【關(guān)鍵詞】初中教學(xué);數(shù)形結(jié)合;教育方法;運用策略

一、初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想概述

（一）數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵

數(shù)形結(jié)合是一種以數(shù)字和圖形為基礎(chǔ)的直觀性教學(xué)方法，使學(xué)生在課堂上能更好地理解和掌握最重要的知識。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，通過直觀的圖形呈現(xiàn)，可以提高學(xué)生的想象力和邏輯性。數(shù)與形的概念，最早運用數(shù)軸與數(shù)的概念，透過數(shù)軸的顯示，能讓學(xué)生更清楚地了解數(shù)的上、下、左、右等方位的關(guān)系，并能迅速掌握數(shù)字的學(xué)名，以達到提升教學(xué)效果的目的。

（二）數(shù)形結(jié)合的特點

在一般的數(shù)學(xué)問題中，“數(shù)”與“形”是密切相關(guān)的，它可以通過數(shù)字的信息，來構(gòu)建相應(yīng)的圖形，并運用幾何特性，使問題更為直觀。一方面，通過數(shù)形結(jié)合把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的圖形形式，有助于學(xué)生對復(fù)雜問題的深度認識，減少學(xué)習(xí)過程中的復(fù)雜度;另一方面，把一些重要的信息轉(zhuǎn)換為數(shù)字，通過對這些數(shù)據(jù)的相互關(guān)系進行深入的研究，可以使學(xué)生更好地理解“形”的性質(zhì)。靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題的過程中，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的思考能力，使他們能夠更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識。

二、運用數(shù)形結(jié)合思想解決的問題及導(dǎo)入方式

有些教師在課堂上沒有認識到數(shù)形結(jié)合的真正意義，使學(xué)生無法真正了解數(shù)學(xué)的實質(zhì)。數(shù)字與圖形結(jié)合的教學(xué)多為理論性與技術(shù)性的教學(xué)，增加實踐性的課程，注重實務(wù)問題的運用。數(shù)形結(jié)合的概念具有廣闊的應(yīng)用前景，因此，要充分發(fā)揮教師的創(chuàng)造力，不斷地擴展相關(guān)知識，以保證整個數(shù)學(xué)思維的構(gòu)建有載體和支撐。數(shù)與形的結(jié)合，要求學(xué)生在教學(xué)和解決問題時，充分發(fā)揮數(shù)形的特性，以達到良好的交互作用，而不是顧此失彼。

（一）運用數(shù)形結(jié)合思想解決的問題

數(shù)形結(jié)合思想常用來解決以下問題：一是解決集合問題。利用數(shù)軸線作為載體，解決了集合間合、并、交、補等運算，簡化了問題，減少了運算量。二是函數(shù)問題的求解。利用函數(shù)的對稱軸、坐標(biāo)交點等重要參數(shù)，可以迅速、簡便地繪制出大部分函數(shù)的圖像，而圖形的直觀性則能使學(xué)生在處理復(fù)雜的問題時更加靈活和多樣化。三是對不等式的求解。不等式問題的本質(zhì)就是研究某一區(qū)間內(nèi)的兩個函數(shù)的變數(shù)，若能得到這兩個函數(shù)的交點，再結(jié)合它們在不同的區(qū)間上的單調(diào)性，就可以迅速地求解這類問題，并使學(xué)生更好地理解不等式的本質(zhì)。四是絕對值問題的求解。絕對值與兩個具體的點的間距相等，這是在求解這類問題時所要建立的概念。

（二）數(shù)形結(jié)合思想的導(dǎo)入

教師要認真領(lǐng)會教材中各個知識點的要點，合理選擇教學(xué)素材，在教學(xué)法設(shè)計的過程中反復(fù)思考，把數(shù)形結(jié)合的思想很好地融合在一起。在教學(xué)中，教學(xué)設(shè)計要以學(xué)生的認知層次為基礎(chǔ)，充分發(fā)揮教師的指導(dǎo)作用，闡明數(shù)形結(jié)合的概念，使學(xué)生更好地了解有關(guān)的知識，并逐漸打開“數(shù)”和“形”的隔閡，使學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)。

比如，在講授函數(shù)的知識點時，教師會給學(xué)生講解一些基礎(chǔ)的概念，比如自變量、因變量等，對于剛接觸這些知識的同學(xué)而言是很難理解的。但是，如果用坐標(biāo)系、描點等方法繪制出一個函數(shù)的圖形，那么y坐標(biāo)值隨x的變化就會變得非常清晰，學(xué)生就可以輕松地掌握自變量、變量和函數(shù)的關(guān)系。在以后的一元二次函數(shù)的說明中，有很多知識都能有效地進行遷移。

1.以“數(shù)”化“形”

“數(shù)”與“形”在數(shù)學(xué)問題中存在密切的聯(lián)系?！靶巍本哂兄庇^、圖形化等特點，有助于學(xué)生建立熟悉的情境，把數(shù)量問題轉(zhuǎn)換成圖形問題，并對圖形進行分析，從而得到相應(yīng)的解決方案。從“數(shù)”向“形”轉(zhuǎn)換的基本思路是：確定問題的已知數(shù)量與未知量，同時確定問題的類型;如果所給出的問題涉及函數(shù)、不等式、絕對值等問題，應(yīng)首先構(gòu)建符合題目的數(shù)學(xué)模型，并對圖形的性質(zhì)、幾何意義進行分析，從而解決相應(yīng)的問題。

2.以“形”變“數(shù)”

雖然圖形具有直觀等特點，但是在定量、精確表達有關(guān)問題時，一定要借助于“數(shù)”，才能使“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)換，有效地運用現(xiàn)有的知識，準(zhǔn)確地掌握圖形的特性。首先對題干進行深入的分析，充分發(fā)掘問題背后的已知知識，并根據(jù)所給出的圖表找到對應(yīng)的數(shù)目關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上找到對應(yīng)的數(shù)字關(guān)系、查找相關(guān)的關(guān)鍵信息，以求出該關(guān)系中的未知量，并運用簡化的數(shù)量關(guān)系表達式來解決問題中的未知量。

3.“形”與“數(shù)”互變

在大多數(shù)數(shù)學(xué)問題中，要做到“數(shù)”變“形”，還要把“形”變“數(shù)”，最終實現(xiàn)“形”和“數(shù)”的動態(tài)轉(zhuǎn)化，這就需要把“形”的直觀性和“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)性結(jié)合起來。

例如，在解決函數(shù)問題時，要培養(yǎng)學(xué)生自覺作畫的習(xí)慣，并充分利用現(xiàn)有的知識庫，把一些重要的信息，如對稱軸、增減區(qū)間、交點等，用數(shù)字的方式精確表示。通過兩者的動態(tài)轉(zhuǎn)化，使題目由繁入簡，由抽象到具體。要使學(xué)生能夠熟練地使用數(shù)形結(jié)合的思想，就必須在平時的教學(xué)中積極地滲透和引導(dǎo)。

三、初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想運用策略

（一）有理數(shù)教學(xué)中的貫穿

在數(shù)軸上，所有的有理數(shù)都有唯一確定的點。雖然是有理數(shù)，但也要求學(xué)生記住它在數(shù)軸上的位置，這才能讓學(xué)生更好地理解有理數(shù)的特性和計算規(guī)律，為以后的考試做好準(zhǔn)備。讓學(xué)生更好地了解有理數(shù)的計算規(guī)律，幫助他們更好地感知到點的移動方向和距離對他們的移動產(chǎn)生的影響。簡單來說，就是經(jīng)過兩次連續(xù)運動結(jié)果中點和原點的位置關(guān)系，進行兩個數(shù)字和的符號確認，最終可以得到兩個數(shù)字和的絕對值。

（二）方程教學(xué)中的融入

在解決實際問題時，常常要根據(jù)題意迅速掌握等量關(guān)系，并列出相應(yīng)的公式，因此，學(xué)生必須事先根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖表，這其中就包含了數(shù)形結(jié)合的思想。比如行程類問題的講授過程中，教師要鼓勵學(xué)生積極地運用數(shù)形結(jié)合的思想來畫出相關(guān)的圖形，然后迅速地抽取和列舉出相應(yīng)的等價關(guān)系，從而找到破解難題的出口，得出正確的答案。

（三）不等式教學(xué)中的應(yīng)用

在講解“一元一次不等式組”的問題時，亦同步引出有關(guān)問題情境，即杜鵑花的種植類問題，它的主要目的是幫助學(xué)生盡快弄清楚一元一次不等式和二元一次方程組的共同特點，也就是讓學(xué)生能夠獨立地分析問題，并建立不等式群。在此過程中，教師也可以將不等式的解集用圖形表示出來，使學(xué)生了解不等式具有無窮多解的特點。

（四）函數(shù)教學(xué)中的推廣

例如，在直角坐標(biāo)系中，有序?qū)崝?shù)對（x，y）與P是點對應(yīng)，因此，把圖形與思維相結(jié)合，是函數(shù)教學(xué)的必然。換言之，通過圖表來表達一個函數(shù)，可以讓學(xué)生更好地了解函數(shù)的特性，從而為以后的數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

又如，在介紹二次函數(shù)的時候，教師可以設(shè)計和展示一種圖片：在一個公園的中央，有一個圓形的噴泉，在這個噴泉的中間，有一根圓柱。這時，從柱頂A點噴嘴向四面八方噴射水，水流從不同的方向呈弧形，為了讓水流看起來更漂亮，出水口需要在（O）A 1.3m的地方，且最大高度是2.25m。如果不考慮其他的問題，至少要有多大的直徑，才能保證水不會從池塘里流出來？如果水的拋物線和之前的問題一樣，那么在3.5m的范圍內(nèi)，最大的水位是多少？在確定了問題后，再進行一系列的實務(wù)操作，即：觀察分析問題的量，確定常量、變量的實際變化類型，弄清變量之間的關(guān)系，確定變量之間的關(guān)系，同時確定具體的函數(shù)關(guān)系;根據(jù)函數(shù)關(guān)系，對二次函數(shù)的極大值和極小值微積分，以確定其是否符合現(xiàn)實問題的需要。在這種設(shè)計和引導(dǎo)下，學(xué)生可以根據(jù)問題的數(shù)量變化，很快就畫出生動的圖形，并且利用二次函數(shù)的知識，來解決實際問題。在這個過程中，教師的主要任務(wù)就是讓學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)表達進行理性的理解，讓他們了解到二次函數(shù)是一種有效的數(shù)學(xué)模型，可以幫助他們獲得更多的數(shù)學(xué)知識、解題方法和技巧，并充分利用數(shù)學(xué)的價值。

四、反思與總結(jié)

（一）初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運用反思

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有效的實踐活動是一個不可或缺的環(huán)節(jié)，也是拓展學(xué)生知識面和發(fā)展思維的一種重要途徑。學(xué)生在練習(xí)有針對性的問題時，會逐漸認識到數(shù)形結(jié)合方式在解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題中所具有的優(yōu)越性，并且逐漸地將其融入到自己的頭腦中。因此，在習(xí)題時應(yīng)注重選題的質(zhì)量，要充分體現(xiàn)出原有知識點的整體性和新知識之間的關(guān)聯(lián)性，突出數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢。數(shù)形組合提倡通過數(shù)字的交互作用來分析和處理一系列的實際問題，這是一個非常重要的數(shù)學(xué)概念，它具有廣泛的應(yīng)用范圍和解決各種問題的能力，這對初中生來說是非常有意義的。所以，中學(xué)數(shù)學(xué)教師未來應(yīng)該多加努力，通過設(shè)計一系列生動有趣的問題，來吸引學(xué)生的注意力，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的數(shù)形結(jié)合能力，提高學(xué)生的創(chuàng)造力，從而提高他們的數(shù)學(xué)綜合能力。

（二）初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運用總結(jié)

本文認為，數(shù)形結(jié)合思想具有直觀、雙向性強，的特征，要使其在數(shù)學(xué)教學(xué)中得到充分的應(yīng)用，必須抓住教材，找到切入點，使思想的整體滲透有載體和支撐，提高學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想分析問題、解決問題的能力。

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