高中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的實(shí)踐與反思

王浩　陳次光

摘? 要：椅子在凹凸不平的地面上始終能放穩(wěn)，這一常見(jiàn)的生活現(xiàn)象可以作為數(shù)學(xué)建模的良好素材. 在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述這一現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)邏輯，從而積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升自主學(xué)習(xí)能力.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;實(shí)際應(yīng)用;函數(shù)零點(diǎn)

數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)并非獨(dú)立于常規(guī)教學(xué)，而是與常規(guī)教學(xué)相輔相成. 在數(shù)學(xué)常規(guī)教學(xué)中適當(dāng)穿插數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于真實(shí)的生活情境，能讓學(xué)生對(duì)教材知識(shí)的感知更加生動(dòng)、立體. 為了促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的提升，筆者在學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理后，借助日常生活現(xiàn)象（把四只腳的椅子放在不平的地面上，通常只會(huì)有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需要稍微轉(zhuǎn)動(dòng)幾次，就可以使椅子的四只腳同時(shí)著地）帶領(lǐng)學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，感知函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的魅力！

數(shù)學(xué)建模的過(guò)程分為表述、求解、解釋、驗(yàn)證幾個(gè)階段，并需要完成從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型，再?gòu)臄?shù)學(xué)模型到現(xiàn)實(shí)對(duì)象的循環(huán)，如圖1所示.

在實(shí)際建?；顒?dòng)中，筆者將這些步驟有機(jī)融合到課堂各環(huán)節(jié)中，且根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行了適當(dāng)調(diào)整. 現(xiàn)將本次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)過(guò)程呈現(xiàn)如下.

一、先行組織，明確對(duì)象

為了讓學(xué)生更加直觀地感受這一生活現(xiàn)象，筆者把學(xué)生帶到教室外，將一把椅子隨意放置在凹凸不平的地面上，學(xué)生很直觀地看到椅子有三只腳著地，一只腳懸空.

師：在不平的地面上隨意放置椅子，都至少有三只腳著地嗎？為什么？

生₁：是的，因?yàn)椴辉谕粭l直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.

師：現(xiàn)在椅子只有三只腳著地，不穩(wěn)定. 大家有辦法把椅子放穩(wěn)嗎？

學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)動(dòng)椅子，調(diào)整位置，椅子就放穩(wěn)了. 隨后，學(xué)生多次隨意把椅子放置在其他位置，最開(kāi)始椅子往往都只有三只腳著地，但都能通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)的方式放穩(wěn)椅子.

師：經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)，我們可以猜想一個(gè)怎樣的事實(shí)？

生₂：將椅子放在不平的地面上，能通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)椅子使其四只腳著地.

師：很好！這個(gè)生活現(xiàn)象能否用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述并證明？

提出問(wèn)題后，學(xué)生感到新鮮、有趣，但卻無(wú)從下手.

在數(shù)學(xué)建模的準(zhǔn)備階段，要將實(shí)際問(wèn)題中的元素轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)或數(shù)學(xué)語(yǔ)言，教師引導(dǎo)學(xué)生完成這一過(guò)程. 顯然，椅子的四只腳可以抽象為A，B，C，D四點(diǎn)，而地面則可以抽象為曲面. 所以，椅子腳著地，可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述為點(diǎn)到曲面的距離為0，而椅子腳懸空則指點(diǎn)到曲面的距離大于0. 再結(jié)合“不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”，學(xué)生容易得出結(jié)論：任意位置都能保證椅子至少有三只腳著地，即A，B，C，D四點(diǎn)中至少有三點(diǎn)到曲面的距離為0. 另外，為了便于模型的建立，可以進(jìn)行一些適當(dāng)且合理的假設(shè)，如假設(shè)椅子四只腳等長(zhǎng)，則A，B，C，D四點(diǎn)的連線呈矩形.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生動(dòng)手操作，親歷椅子擺放和調(diào)整的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作、提煉研究對(duì)象和運(yùn)用工具的全過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、問(wèn)題引導(dǎo)，建立模型

三、動(dòng)手操作，求解模型

四、課后反思，積累經(jīng)驗(yàn)

本次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的設(shè)計(jì)和實(shí)施建立在“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的教育理念上，力求讓學(xué)生感受運(yùn)用函數(shù)知識(shí)建立模型并求解模型的過(guò)程與方法. 本次數(shù)學(xué)建模活動(dòng)從身邊的實(shí)際現(xiàn)象出發(fā)，學(xué)生更感興趣，更有探究欲望. 從逐步建立并完善模型，到運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)定理求解模型，學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中體會(huì)到了將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活的魅力. 在與學(xué)生共同完成本次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)后，筆者有以下兩點(diǎn)思考.

1. 數(shù)學(xué)建模活動(dòng)應(yīng)該受到更多的關(guān)注

在本次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中，學(xué)生所表現(xiàn)出的積極性和參與度遠(yuǎn)超傳統(tǒng)課堂，從最開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)椅子的動(dòng)手實(shí)踐，到回到教室建立并求解數(shù)學(xué)模型，學(xué)生積極思考、主動(dòng)探索，學(xué)習(xí)狀態(tài)與傳統(tǒng)課堂中的被動(dòng)接受知識(shí)形成鮮明對(duì)比. 雖然應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的習(xí)題比比皆是，但如此應(yīng)用還是令學(xué)生耳目一新. 由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)應(yīng)該在高中階段受到師生的更多關(guān)注.

2. 教師在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)過(guò)程中的指導(dǎo)要適度

雖然數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)激發(fā)了學(xué)生較大的研究熱情，但從教學(xué)實(shí)踐中看到，高一的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程和方法仍然較為陌生，還需要教師加以指導(dǎo)，但教師的指導(dǎo)要適度. 數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)難在建模，教師切勿在建模初期急于求成，直接幫學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)模型，然后將抽象出的數(shù)學(xué)問(wèn)題拋給學(xué)生解答，若此，便丟掉了數(shù)學(xué)建模的靈魂. 好的做法應(yīng)該是通過(guò)多個(gè)小問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際現(xiàn)象進(jìn)行抽絲剝繭，從而將數(shù)學(xué)模型逐步從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái). 學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中能夠體會(huì)并掌握建立數(shù)學(xué)模型的一般方法，從而真正發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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