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    緊扣主線 高效復(fù)習(xí)

    2022-05-30 10:48:04鐘明
    關(guān)鍵詞:思想方法知識(shí)復(fù)習(xí)

    鐘明

    [摘 要]數(shù)列求和是數(shù)列的一個(gè)重要內(nèi)容,也是高考的熱點(diǎn)。數(shù)列求和方法的復(fù)習(xí)至關(guān)重要。緊扣知識(shí)、思想方法和核心素養(yǎng)三大主線復(fù)習(xí)數(shù)列前[n]項(xiàng)求和方法,可使學(xué)生系統(tǒng)復(fù)習(xí)數(shù)列前[n]項(xiàng)和的各種求法,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)高效復(fù)習(xí)。

    [關(guān)鍵詞]知識(shí);思想方法;核心素養(yǎng);數(shù)列前[n]項(xiàng)求和;復(fù)習(xí)

    [中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058(2022)11-0022-03

    在新高考中,數(shù)列大題出現(xiàn)在第一道解答題的位置,更多的是關(guān)注基本方法、基本思想,其中裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法是求數(shù)列前[n]項(xiàng)和的最基本的兩類方法。數(shù)列前[n]項(xiàng)求和方法的復(fù)習(xí)至關(guān)重要。那么,如何有效開展數(shù)列前[n]項(xiàng)求和方法的復(fù)習(xí)呢?筆者認(rèn)為,可緊扣知識(shí)、思想方法、核心素養(yǎng)三大主線進(jìn)行復(fù)習(xí)。

    一、緊扣知識(shí)主線進(jìn)行復(fù)習(xí)

    高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中,學(xué)生有兩個(gè)基本任務(wù),一是溫故知新,二是查漏補(bǔ)缺。教師可指導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)方面進(jìn)行查漏補(bǔ)缺:一是數(shù)學(xué)概念、定理法則方面,梳理哪些還沒有記住,哪些沒有理解,哪些無法運(yùn)用;二是數(shù)學(xué)思想方法和思維方法方面,厘清哪些還不會(huì)用或用得不夠好。在復(fù)習(xí)數(shù)列前[n]項(xiàng)求和方法時(shí),教師應(yīng)緊扣知識(shí)主線引導(dǎo)學(xué)生梳理數(shù)列求和的常見方法。

    (一)公式法

    若題目明確所求的數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列就可以直接采用公式法。其中,等差數(shù)列的求和公式為[Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)d2=d2n2+a1-d2n],等比數(shù)列的求和公式為[Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q(q≠1)]或[Sn=na1(q=1)]。

    (二)分組求和法

    當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的和(或差)的形式時(shí),形如[cn=an+bn](其中[an]和[bn]為等差數(shù)列或?yàn)榈缺葦?shù)列),可以分解為基本數(shù)列(等差數(shù)列或等比數(shù)列)進(jìn)行求和。

    [例1]已知等比數(shù)列[an]中,若[a1=3],公比[q>1],且[3(an+2+an)-10an+1=0(n∈N+)]。

    (1)求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式;

    (2)設(shè)數(shù)列[bn+13an]是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列[bn]的通項(xiàng)公式和前[n]項(xiàng)和[Sn]。

    解:(1)[an=3n]。(解題過程略)

    (2)因?yàn)閇bn+13an]是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,則有[bn+13an=1+2(n-1)],可得[bn=2n-1-13an=2n-1-3n-1],所以[Sn=1+3+…+(2n-1)-(1+3+32+…+3n-1)=n2-12(3n-1) ]。

    評析:對于復(fù)合數(shù)列,若無法直接利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求和,則可將其分解為幾個(gè)容易求和的基本數(shù)列,對復(fù)合數(shù)列通項(xiàng)中的和(差)重新分組與拆分,再利用公式進(jìn)行求和。

    (三)裂項(xiàng)相消法

    裂項(xiàng)相消法主要是把數(shù)列的通項(xiàng)拆分為兩項(xiàng)之差后求和,正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)。應(yīng)用此法時(shí)必須注意哪些項(xiàng)被消除,哪些項(xiàng)被保留,同時(shí)需要掌握一些常見的裂項(xiàng),如[1anan+1=1d1an-1an+1],[1anan+2=12d1an-1an+2 ](其中[an]為等差數(shù)列)。

    [例2][Sn]為數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和,已知[an>0],[an2+2an=4Sn+3]。

    (1)求[an]的通項(xiàng)公式;

    (2)設(shè)[bn=1anan+1],求數(shù)列[bn]的前[n]項(xiàng)和。

    解:(1)[an=2n+1]。

    (2)由(1)可知,[bn=1(2n+1)(2n+3)=1212n+1-12n+3 ],所以數(shù)列[bn]的前[n]項(xiàng)和為[Tn=b1+b2+b3+…+bn][=1213-15+15-17+…+12n+1-12n+3=n3(2n+3)]。

    評析:根據(jù)[an=2n+1]通項(xiàng)特點(diǎn),得[bn=1(2n+1)(2n+3)],顯然分母為等差數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的乘積,符合裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用要求。

    (四)錯(cuò)位相減法

    對于由等差數(shù)列和等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列,形如[cn=an·bn](其中[an]為等差數(shù)列,[bn]為等比數(shù)列),常用錯(cuò)位相減法求和??稍诘仁絻啥送瑫r(shí)乘以等比數(shù)列的公比(或公比的倒數(shù)[1q])后進(jìn)行錯(cuò)位相減,再利用等比數(shù)列的求和公式化簡求值。

    [例3]設(shè)[an]是公比不為1的等比數(shù)列,[a1]為[a2],[a3]的等差中項(xiàng)。

    (1)求[an]的公比;

    (2)若[a1=1],求數(shù)列[nan]的前[n]項(xiàng)和。

    解:(1)[an]的公比為-2。(解題過程略)

    (2)設(shè)[nan]的前[n]項(xiàng)和為[Sn]。由(1)及題意可得[an=(-2)n-1],所以[Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1],[-2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n],兩式相減得[3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+] [(-2)n-1-n×(-2)n=1-(-2)n3-n×(-2)n ],最后化簡得[Sn=19-(3n+1)(-2)n9]。

    評析:錯(cuò)位相減法適用于由一個(gè)等差數(shù)列[an]及一個(gè)等比數(shù)列[bn]對應(yīng)項(xiàng)之積組成的復(fù)合數(shù)列。用錯(cuò)位相減法求解,常會(huì)因?yàn)椴襟E煩瑣、計(jì)算量大,而導(dǎo)致漏項(xiàng)或添項(xiàng)以及符號(hào)出錯(cuò)等。因此在等式兩邊乘公比后,對應(yīng)項(xiàng)的冪指數(shù)會(huì)發(fā)生變化,應(yīng)將相同冪指數(shù)的項(xiàng)對齊,這樣有一個(gè)式子前面空出一項(xiàng),另外一個(gè)式子后面就會(huì)多出一項(xiàng),兩式相減除第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)外,剩下的[n]-1項(xiàng)是一個(gè)等比數(shù)列。

    以知識(shí)為主線引導(dǎo)學(xué)生溫故知新,可讓學(xué)生更清楚各類數(shù)列前[n]項(xiàng)求和方法的基本特點(diǎn)和應(yīng)用要求,同時(shí)強(qiáng)化學(xué)生對基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握。

    二、緊扣思想方法主線進(jìn)行復(fù)習(xí)

    如果說新課的學(xué)習(xí)重在“把書讀厚”,那么復(fù)習(xí)課則要“把書讀薄”。把握知識(shí)和方法的本質(zhì)是“把書讀薄”的重要手段。要讓學(xué)生搞清楚知識(shí)背后所蘊(yùn)含的思想方法與思維方法,教師應(yīng)指導(dǎo)、幫助、督促學(xué)生加強(qiáng)對思想方法與思維方法的梳理與比較。教師應(yīng)緊扣思想方法主線引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)列前[n]項(xiàng)和的求法。

    [例4]已知數(shù)列[an]滿足[a1=1],[an+1=3an+1]。

    (1)證明[an+12]是等比數(shù)列,并求[an]的通項(xiàng)公式;

    (2)證明:[1a1+1a2+…+1an<32]。

    (1)證明:由[an+1=3an+1]得[an+1+12=3an+12],所以[an+1+12an+12=3],則[an+12]是首項(xiàng)為[a1+12=32],公比為3的等比數(shù)列,所以[an+12=32×3n-1],解得[an=3n-12]。

    (2)由(1)知[an=3n-12],所以[1an=23n-1],因?yàn)楫?dāng)[n≥1]時(shí)[,3n-1≥2·3n-1],所以[13n-1≤12·3n-1],于是[1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+13n-1=321-13n<32],所以[1a1+1a2+…+1an<32]。

    評析:本題考查了數(shù)列的概念、遞推公式,等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的前[n]項(xiàng)和公式和放縮法證明不等式,體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

    [例5]已知數(shù)列[an=n2·2n],求數(shù)列前[n]項(xiàng)和[Sn]。

    分析:深層理解數(shù)列前[n]項(xiàng)和[Sn]的定義,用構(gòu)造法求數(shù)列前[n]項(xiàng)和。由[Sn=12×21+22×22+…+(n-1)2×2n-1+n2×2n],[Sn-1=12×21+22×22+…+(n-1)2×2n-1],當(dāng)[n>1]時(shí),[Sn-Sn-1=n2·2n],所以[Sn2n-12×Sn-12n-1=n2 (n≥2)]。利用待定系數(shù)法求出數(shù)列[Sn2n]通項(xiàng),再求[Sn]。

    解:∵[Sn=12×21+22×22+…+(n-1)2×2n-1+n2×2n],

    [Sn-1=12×21+22×22+…+(n-1)2×2n-1],

    ∴當(dāng)[n>1]時(shí),[Sn-Sn-1=n2·2n],

    由[Sn2n-12×Sn-12n-1=n2(n≥2)],利用待定系數(shù)法,

    設(shè)[Sn2n+pn2+qn+r=12Sn-12n-1+p(n-1)2+q(n-1)+r? ],

    [?Sn2n=12×Sn-12n-1-12pn2-q+2p2n+p-q-r2 ],

    所以[-p2=1],[-q+2p2=0],[p-q-r2=0],所以[p=-2],[q=4],[r=-6],

    [∴Sn2n-2n2+4n-6=12Sn-12n-1-2(n-1)2+4(n-1)-6]

    [?Sn2n-2n2+4n-6=S12-2+4-6×12n-1=-32n-1],故[Sn=(n2-2n+3)·2n+1-6]。

    評析:讓學(xué)生在原來的認(rèn)知和知識(shí)框架下深化學(xué)習(xí),把握數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的通性通法和數(shù)學(xué)思想。教師應(yīng)通過審題示范、解題分析示范、解題反思示范,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展,提升數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效果。

    三、緊扣核心素養(yǎng)主線進(jìn)行復(fù)習(xí)

    在復(fù)習(xí)一些重要的知識(shí)與方法時(shí),教師要盡量讓學(xué)生多參與、多體會(huì)、多感悟,不斷培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性,發(fā)展學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科核心素養(yǎng)。教師應(yīng)緊扣核心素養(yǎng)這一主線引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)列前[n]項(xiàng)和的求法。

    [例6]設(shè)等差數(shù)列[an]的公差為[d],點(diǎn)[(an , bn)]在函數(shù)[f(x)=2x]的圖像上[(n∈N*)]。

    (1)若[a1=-2],點(diǎn)[(a8 , 4b7)]在函數(shù)[f(x)]的圖像上,求數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和[Sn];

    (2)若[a1=1],函數(shù)[f(x)]的圖像在點(diǎn)[(a2 , b2)]處的切線在[x]軸上的截距為[2-1ln2],求數(shù)列[anbn]的前[n]項(xiàng)和[Tn]。

    解:(1)由已知得[b7=2a7, b8=2a8=4b7],所以[2a8=4×2a7=2a7+2],則有[a8=a7+2],解得[d=a8-a7=2],又因?yàn)閇a1=-2],所以由等差數(shù)列前[n]項(xiàng)和的公式得[Sn=na1+n(n-1)2d=n2-3n];

    (2)函數(shù)[f(x)=2x]在點(diǎn)[(a2 , b2)]處的切線方程為[y-2a2=(2a2ln2)(x-a2)],其在[x]軸上的截距為[a2-1ln2],且由[a2-1ln2=2-1ln2],得[a2=2],所以[d=a2-a1=1],從而得[an=n , bn=2n],故數(shù)列[anbn]的通項(xiàng)公式為[anbn=n2n],由錯(cuò)位相減法得[Tn=12+222+323+…+n-12n-1+n2n],[12Tn=122+223+324+…+n-12n+n2n+1],兩式相減得[12Tn=12+122+123+…+12n-n2n+1],最后化簡得[Tn=2n+1-n-22n]。

    另也可用構(gòu)造法求解。當(dāng)[n≥2]時(shí),由[Tn-Tn-1=n·12n],得[Tn12n-2Tn-112n-1=n],令[bn=Tn12n]得[bn-2bn-1=n],

    設(shè)[bn+An+B=2(bn-1+A(n-1)+B)],則[A=1 , B=2],

    所以[bn+n+2=(b1+2+2)?2n-1],得[bn=2n+1-n-2(n≥2)],

    所以[bn=Tn12n=2n+1-n-2],當(dāng)[n=1]時(shí),[T1=12]也符合關(guān)系式,所以[Tn=2n+1-n-22n]。

    評析:本題的第(1)問以函數(shù)為載體,以“點(diǎn)在函數(shù)圖像上”為切入點(diǎn)得到數(shù)列的遞推關(guān)系式,考查等差數(shù)列前[n]項(xiàng)和的知識(shí)。第(2)問以導(dǎo)數(shù)為工具,以曲線的切線方程為切入點(diǎn),以“直線在[x]軸上的截距為[2-1ln2]”為線索,利用方程思想求公差[d],又以[anbn]的通項(xiàng)公式識(shí)別“數(shù)學(xué)模型”,最終用錯(cuò)位相減法(或構(gòu)造法)解決問題。本題有效考查了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

    綜上可知,在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中,教師應(yīng)緊扣知識(shí)、思想方法和核心素養(yǎng)三大主線引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí),使學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、方法,進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的高階思維,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

    [? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

    [1]? 王瑞丁.數(shù)列求和面面觀[J].中學(xué)教學(xué)參考,2021(20):27-29.

    [2]? 陳豪,陳弈龍.基于2020年高考全國1卷第17題一類問題的研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(華南師范大學(xué)版),2021(1):16-18.

    [3]? 呂曾鋒.數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的四大視角:以“數(shù)列”為例[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2021(1):13-15.

    (責(zé)任編輯 黃春香)

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