大概念教學視角下初中“二次函數(shù)”的單元教學設(shè)計一則

【摘 要】 二次函數(shù)是初中數(shù)學的一個重、難點，它是培養(yǎng)學生數(shù)學思想和能力的良好載體，具有銜接初、高中函數(shù)學習的作用.但學生在二次函數(shù)部分的得分率相對較低，究其原因是學生主要以單個知識點學習為主，學習知識碎片化、不系統(tǒng).本文以促進初中生的深度學習為目的，研究重點是以大概念的思想方法作為單元支架進行單元設(shè)計，構(gòu)建邏輯性強的學習框架，將零散的知識概括為某一個“大概念”的形式，便于學生整體性地學習，促進學生深入思考，培養(yǎng)知識遷移運用的能力.

【關(guān)鍵詞】 大概念教學;單元教學設(shè)計;深度學習;二次函數(shù)

1 研究背景

《普通高中課程方案（2017年版2020年修訂）》中明確指出：“重視以學科大概念為核心，以主題為引領(lǐng)，使課程內(nèi)容情境化，促進學科核心素養(yǎng)的落實.”[1]大概念是經(jīng)過檢驗，位于學科中心位置的概念性知識[2].黎加厚教授提出深度學習是指學習者在理解的基礎(chǔ)上，批判性地學習和將所學知識和思想融入原有的認知結(jié)構(gòu)中，并能遷移運用到新情境，做出決策和解決問題的學習[3].數(shù)學深度學習是以數(shù)學學科的核心內(nèi)容為載體，在教師引導(dǎo)下，圍繞主題或任務(wù)，全身心參與學習活動，開展數(shù)學能力培養(yǎng)的思維活動，核心素養(yǎng)導(dǎo)向下培養(yǎng)關(guān)鍵能力[4].

由于課程緊、教學任務(wù)繁重等原因，教學大多是按教材編排順序和課時要求來學習，導(dǎo)致學習的知識零散、停留在表面，遷移運用的能力較差.大概念的內(nèi)涵和思想方法正好彌補了這些缺陷，可通過大概念教學視角下進行單元設(shè)計來落實核心素養(yǎng)的發(fā)展和深度學習，如圖1.

2 研究思路

研究思路分為四大部分，即內(nèi)容分析、單元設(shè)計、實施過程、反思環(huán)節(jié).通過文獻分析二次函數(shù)單元設(shè)計的理論和研究情況，圍繞深度學習，從大概念教學視角下，以單元為載體進行教學設(shè)計.內(nèi)容分析環(huán)節(jié)，依據(jù)課程標準，對比不同版本教材中二次函數(shù)內(nèi)容編排的特點，分析不同設(shè)置的優(yōu)缺點，綜合三個版本優(yōu)化內(nèi)容進行單元設(shè)計.

3 二次函數(shù)單元教學設(shè)計

二次函數(shù)是初中數(shù)學的一個重、難點，銜接了初、高中函數(shù)的學習，也是一個培養(yǎng)學生數(shù)學思想和能力很好的素材，所以以“二次函數(shù)”為例具有現(xiàn)實意義.

大概念是大單元的上位概念，大單元主要從學科大概念的角度出發(fā)，依據(jù)核心問題和知識之間的聯(lián)系，將邏輯緊密的幾個單元或者一個單元的內(nèi)容分解，再根據(jù)學習的核心問題進行重組和優(yōu)化.布魯納提出：任何學科都擁有一個基本結(jié)構(gòu).大概念下的單元教學設(shè)計旨在體現(xiàn)這一思想和期望，圍繞大概念建立良好的學科基本結(jié)構(gòu)，并圍繞這一結(jié)構(gòu)進行單元教學[1].因此，大概念教學理念的實施建立在單元教學的基礎(chǔ)上，進行單元設(shè)計是基本步驟.

3.1 課標分析

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011版）》要求通過實際問題的分析體會二次函數(shù)的意義，會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，借助圖象研究函數(shù)性質(zhì)，采用配方法將二次函數(shù)的一般形式化為y=a（x-h）2+k的形式，根據(jù)y=a（x-h）2+k直接得出二次函數(shù)的頂點坐標、開口方向和對稱軸.根據(jù)函數(shù)和方程之間的聯(lián)系，求方程的近似解，知道確定二次函數(shù)的條件，同時，能夠解決實際問題.體會所蘊含的數(shù)學思想方法，并提高學生的抽象概括、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)處理等基本能力[5].

按上述課標的要求，在義務(wù)教育階段，模型思想作為十大核心概念被提出，但沒有單獨板塊學習.實際上，數(shù)學建模素養(yǎng)在初中很多地方有滲透，在函數(shù)和方程等模型中的滲透尤為明顯，因此，在本單元中的素養(yǎng)確定數(shù)學建模素養(yǎng)[6].

3.2 教材分析

表1從不同維度對三版教材進行比較分析，三者存在的共同點：情景選取與生活比較貼切，類型基本相同.不同點：二次函數(shù)所處位置、內(nèi)容呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)、信息技術(shù)的使用、總結(jié)方式.人教版中二次函數(shù)緊接在一元二次方程的學習之后，兩者有緊密聯(lián)系，緊接著學習利于知識的遷移與理解，其他兩個版本都分隔開.內(nèi)容呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)上，人教版較為詳細，有系統(tǒng)的歸納，以“總—分—總”的結(jié)構(gòu)，北師大版和蘇科版對學生的基礎(chǔ)水平要求比較高，以探索性學習為主，北師大版是“分—總”型.另外，人教版和蘇科版都使用了幾何畫板，蘇科版中在網(wǎng)格中作圖且以對照的學習方式，這對學生深度理解二次函數(shù)具有一定的作用.北師大版中將確定二次函數(shù)的表達式作為單獨的一節(jié)，加深學生認識二次函數(shù)的形式，這個部分保留.三個版本都包含閱讀性材料，能夠拓展學生課外知識，加深對函數(shù)的理解.所以，課外閱讀可以結(jié)合使用.總結(jié)方式上，人教版和北師大版以問題串和思維導(dǎo)圖方式梳理知識，有助于在學生認知中構(gòu)建一個完整的學習框架.

3.3 學情分析

依據(jù)北師大版教材的內(nèi)容編排順序，一次函數(shù)、反比例函數(shù)和一元二次方程編排在二次函數(shù)前，學生已體會了函數(shù)的內(nèi)涵和基本學習方法.二次函數(shù)和對應(yīng)的方程有緊密聯(lián)系，類比方程系數(shù)的確定方法，學生很容易得出函數(shù)的系數(shù).思想方法上，可以類比先前函數(shù)的學習方法和活動經(jīng)驗，探索二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).從學生的認知角度，初三學生思維活躍、具備較強的觀察能力，通過觀察一些現(xiàn)象，能找出一些規(guī)律，和能用簡單的語言概括事物的基本特點.還可從完成作業(yè)、回答問題和學習態(tài)度的情況分析，評估學生的知識與能力水平，進而發(fā)現(xiàn)學生薄弱點，有針對性設(shè)計教學.另外，教學設(shè)計應(yīng)遵循面向大多數(shù)學生，兼顧少部分需要拔高的學生.因此，需要有層次的設(shè)計任務(wù)和問題.

3.4 單元學習目標分析

單元學習目標依據(jù)三維目標融合確定，實際教學中，三者是緊密聯(lián)系，在過程中學習知識和技能，掌握一些數(shù)學的學習方法，體會二次函數(shù)單元蘊含的數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想.情感態(tài)度與價值觀是更高層次的維度，是基于前面兩個的基礎(chǔ)上，在學習過程的熏陶下逐漸形成，需要一個長期的過程進行影響.二次函數(shù)的單元學習目標，如表2.

3.5 教學過程

3.5.1 整體縱觀單元

一個單元包含許多小節(jié)，單元統(tǒng)領(lǐng)小節(jié).首先，需要整體把握單元學習內(nèi)容，如圖2.

情境導(dǎo)入：以噴泉、投球和拋物線型的拱橋?qū)?，以視頻播放的形式.

學生行為：讓學生觀察軌跡形狀，初步感受本單元的學習對象.

整體目標：學生閱讀章前節(jié)的學習目標.

學習脈絡(luò)：（1）學習對象是什么？（2）我們學習一次函數(shù)時，依次學習了哪些內(nèi)容？（3）類比一次函數(shù)的學習，將大致按什么邏輯順序?qū)W習二次函數(shù)？

設(shè)計意圖 體會二次函數(shù)在生活中的應(yīng)用，整體感受本章學習內(nèi)容，明確整體學習目標.

依據(jù)學習任務(wù)的需要設(shè)計學習活動，包括獨立思考、合作交流、成果展示和解決問題四個環(huán)節(jié)，從知識和方法方面小結(jié)，達到利用新知解決問題，培養(yǎng)遷移運用的目標，具體流程如圖3.以下節(jié)選a的值如何影響二次函數(shù)圖象的課例為例.

課例1 探究a的正負如何影響函數(shù)圖象.

活動1：畫二次函數(shù)y=x2的圖象.

復(fù)習回顧：作圖步驟是什么？

預(yù)設(shè)：存在的難點學生不知道x應(yīng)該取哪些值，為了突破難點，引導(dǎo)學生盡可能的多取一些點，取的點盡可能涉及負數(shù)、0和正數(shù).

師：在黑板上繪制直角坐標系，之后，巡視學生作圖情況.

展示成果：學生展示作的圖并分享想法，根據(jù)學生展示和表述的情況，給予及時鼓勵和評價.

追問：x可以取哪些值？不妨多取一些點，使x取互為相反數(shù)的兩個數(shù)時，觀察結(jié)果.

（1）二次函數(shù)y=x2的列表，如表3.

（2）在直角坐標系中描點.

（3）用光滑的曲線連接各點，便得到函數(shù)y=x2的圖象，如圖4.

觀察思考：教師在黑板上演示作圖過程，學生觀察圖象并思考以下幾個問題.

（1）你能描述二次函數(shù)的形狀嗎？

（2）圖象與x軸有交點嗎？如果有，交點坐標是什么？

（3）圖象是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？請找出幾對對稱點.

（4）當x<0時，隨著x值的增大，y的值如何變化？當x>0時呢？

（5）當x取什么值時，y的值最??？最小值是什么？你是如何知道的？

合作交流：小組相互交流上述問題，并匯報小組討論結(jié)果.

設(shè)計意圖 培養(yǎng)學生獨立思考和合作交流的能力.

突破難點：可利用學生熟知的生活情景克服讀圖能力弱的問題，將從左到右觀察圖象呈“下降”或“上升”狀態(tài)形象地類比“下”或“爬”滑梯.“下”或“爬”滑梯引起高度的變化，對應(yīng)到函數(shù)中，即x的變化引起y相應(yīng)的增大或減小.

設(shè)計意圖 借助學生熟悉的情景，作類比幫助學生形象理解.

反思回顧：通過上面的活動，存在什么疑問？或理解錯誤的原因是什么？活動2：作二次函數(shù)y=-x2的圖象，如圖5.

設(shè)計意圖 對照學習和系統(tǒng)歸納便于學生的區(qū)別和理解.

問題思考：想一想它和二次函數(shù)y=x2的圖象有什么關(guān)系？

小組交流：梳理y=-x2的圖象和y=x2的圖象的關(guān)系，分享想法.

總結(jié)歸納：（1）知識點：從二次函數(shù)y=ax2的圖象的形狀、對稱性、增減性和頂點坐標方面總結(jié)，分a>0和a<0兩種情況討論.（2）數(shù)學思想：分類討論、數(shù)形結(jié)合等.

拓展閱讀：完成北師大版九年級下冊33頁的讀一讀.

遷移應(yīng)用：正方形的邊長為a，面積為S，試畫出S隨a的變化而變化的圖象.

設(shè)計意圖 熟悉函數(shù)圖象的畫法，以實際背景促進學生對二次函數(shù)的理解.

課后作業(yè)：在同一個直角坐標系中作y=x2、y=12x2和y=2x2的圖象，并分別找出它們的開口方向、對稱軸、頂點坐標和當x<0時，y隨x增大，y如何變化，當x>0時呢？

設(shè)計意圖 熟悉作圖步驟，通過觀察函數(shù)圖象得出函數(shù)性質(zhì).同時，為下節(jié)內(nèi)容的學習奠定基礎(chǔ).

課例2 探究a的大小如何影響函數(shù)圖象.

展示成果：呈現(xiàn)學生所作的圖，觀察和表述三個圖象的相同點和不同點.

設(shè)計意圖 給學生展示的機會，培養(yǎng)學生的自信心和表達能力.

明確要求：請同學們從開口方向、頂點坐標、對稱軸和y隨x的變化如何變化等方面敘述.

板書設(shè)計：

相同點：開口都向上，頂點坐標都為（0，0），對稱軸都為y軸，x<0時，y隨x增大而減小，x>0時，y隨x增大而增大.不同點：開口的大小不同.

思考：二次函數(shù)圖象開口大小不一樣的原因是什么？a的值和開口的大小有什么關(guān)系？

活動1：在同一個坐標系中，作y=-x2，y=-12x2和y=-2x2的圖象，如圖6.

y=-2x2與y=2x2的圖象是關(guān)于x軸對稱，它們a的值有什么關(guān)系？

觀察：靜態(tài)與動態(tài)展示圖象隨a值的變化情況.幾何畫板展示動態(tài)過程，如圖7.

設(shè)計意圖 利用幾何畫板展示，更加形象，學生通過觀察能夠直觀感受a值對開口大小的影響.

小結(jié)：a的值決定二次函數(shù)圖象的開口方向和大小，a>0，開口向上，a<0，開口向下，a越大，開口越小，即函數(shù)圖象越靠近y軸.

反思：從知識和方法目標方面進行初判.

3.5.2 單元復(fù)習歸納

（1）以問題串梳理章節(jié)知識.

（2）思維導(dǎo)圖歸納知識體系.

設(shè)計意圖 梳理單元知識內(nèi)容，知識結(jié)構(gòu)圖幫助學生理解與記憶.

4 結(jié)語

課標為基準，核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，大概念教學視角下進行單元設(shè)計，采用“總—分—總”結(jié)構(gòu)進行學習.同時，以問題或解決任務(wù)為驅(qū)動，分解任務(wù)層層遞進引導(dǎo)，提問開放性的問題促進學生的深入思考.利用現(xiàn)代信息技術(shù)加以輔助，特別是動態(tài)的展示，給予學生直觀的感受，對突破二次函數(shù)抽象、枯燥的難點有積極作用，實現(xiàn)學生在大概念教學視角下進行系統(tǒng)學習，改變學生學習知識零散的現(xiàn)象，幫助學生形成完整的知識體系.

參考文獻

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作者簡介 胡曉韻（1995—），女，貴州畢節(jié)人，碩士研究生;主要從事中學數(shù)學研究.