優(yōu)化問題解決策略，提升邏輯推理素養(yǎng)

[摘? 要] 邏輯推理是學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，多角度探索論證思路，促進(jìn)理性思維走向理性精神的重要方式，也是學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，提升有邏輯、有條理思考和解決數(shù)學(xué)問題的必備能力. 文章以一道初中幾何問題的解答為例，探討了初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的策略.

[關(guān)鍵詞] 問題解決;邏輯推理;初中幾何

邏輯推理貫穿整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程，而提升邏輯推理能力對(duì)于提升學(xué)生的思維能力和思維品質(zhì)具有重要的意義. 根據(jù)邏輯推理方式的不同，邏輯推理可分為合情推理和演繹推理兩種形式，其中前者的命題范圍是由小到大，其主要作用是發(fā)現(xiàn)結(jié)論，結(jié)果是或然的，而后者的命題范圍是由大到小，其主要作用是證明結(jié)論，結(jié)果是必然的. 初中的學(xué)生正處于從“形象思維”向“邏輯思維”轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵階段，在初中階段提升學(xué)生的邏輯素養(yǎng)，其合情和演繹兩種邏輯推理形式都不可偏廢[1]，因此，下文以一道幾何問題的解答為例，深入探究邏輯推理素養(yǎng)如何在初中數(shù)學(xué)問題解決中生根落地.

例題呈現(xiàn)及題意分析

如圖1所示，圓外接于△ABC，其中AB=AC，若D為弧BC上的一動(dòng)點(diǎn)，然后連接BD，CD，AD，試求BD，CD，AD之間的數(shù)量關(guān)系. 若要獲得具體的數(shù)量關(guān)系，還需要滿足或者添加什么條件？

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有關(guān)圖形與幾何領(lǐng)域的問題基本上都是圍繞基本圖形、圖形變化以及圖形的性質(zhì)與判定來開展的，其解題過程本身就是一個(gè)蘊(yùn)含合情推理和演繹推理的推理過程，在一定程度上可以認(rèn)為是促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)和推理能力的良好載體. 而上述所呈現(xiàn)的例題，對(duì)于初中學(xué)生而言，解答這類動(dòng)點(diǎn)幾何問題是比較困難的，究其原因：一是點(diǎn)D是弧BC上的一動(dòng)點(diǎn)，所求解的BD，CD，AD的長度是不斷變化的;二是BD，CD，AD三者之間的數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，并且目標(biāo)并不明確;三是這是一個(gè)綜合性開放問題，條件、結(jié)論以及解題策略都需要自己尋找.

解題策略及解法感悟

問題解決過程就是信息解構(gòu)與知識(shí)建構(gòu)的過程，在有關(guān)圖形與幾何領(lǐng)域的問題教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)從具體問題情境中解析其已知條件、求證結(jié)論，即首先通過類比、歸納等合情推理方式探索論證解題思路，理解其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，在此基礎(chǔ)上，再通過演繹推理驗(yàn)證結(jié)果的合理性，不斷優(yōu)化推理方法和邏輯推理思路[2].

1. 特殊情況

對(duì)于這種數(shù)量關(guān)系不明確的題目，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生采取“猜想—驗(yàn)證—證明”的方式，從一些特殊情況入手進(jìn)行解答. 由于題目中的已知條件就是△ABC是等腰三角形，因此，不妨從這一條件入手，找到BD，CD，AD這三者之間的數(shù)量關(guān)系，再從變量和不變量角度出發(fā)，歸納總結(jié)出一般性的結(jié)論.

（1）△ABC是等邊三角形

當(dāng)AB=AC=BC時(shí)，我們不妨選取D為弧BC的中點(diǎn)，如圖2所示.

因?yàn)椤螦BD=∠ACD=90°，∠BAD=∠CAD=30°，所以AD=2BD=2CD，從而獲得AD=BD+CD. 又如，當(dāng)D與B重合時(shí)，則AD=AB，BD+CD=BC，因?yàn)锳B=BC，所以AD=BD+CD.

通過上述幾個(gè)特殊位置的求解，學(xué)生很容易通過合情推理的方式獲得BD，AD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，即AD=BD+CD. 但上述結(jié)論是通過合情推理所獲得的，其結(jié)論本身就具有或然性，因此，還需要通過演繹推理的方式進(jìn)行證明.

值得一提的是，由于證明三條線段之間的數(shù)量關(guān)系比較困難，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過旋轉(zhuǎn)或者截長補(bǔ)短的方式將其轉(zhuǎn)化為兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）△ABC是等腰直角三角形

如圖3所示，∠BAC=90°，我們不妨選取D為弧BC的中點(diǎn)，顯然此時(shí)四邊形ABDC就是正方形.

顯然，通過上述幾個(gè)特殊位置，學(xué)生很容易通過合情推理獲得BD，AD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，即BD+CD=CD. 但上述結(jié)論是通過合情推理所獲得的，其結(jié)論本身就具有或然性，因此，還需要通過演繹推理的方式進(jìn)行證明.

（3）△ABC是頂角為120°的等腰三角形

如圖4所示，∠BAC=120°，類比上述探究策略和方式，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過合情推理獲得BD，AD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，即BD+CD=AD.

2. 一般情況

經(jīng)過上述特殊情況的探究，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了BD，AD，CD之間的數(shù)量關(guān)系與△ABC的形狀有關(guān)，并且還將三條線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成了兩條線段之間的關(guān)系，即BD+CD與AD之間的關(guān)系. 此時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生通過如下轉(zhuǎn)化的方式將其轉(zhuǎn)化為一般情況.

如圖5所示，延長DB到點(diǎn)E，使得BE=DC，然后連接AE.

顯然，要獲得BD，CD，AD之間的關(guān)系，就是需要添加等腰三角形ABC中底邊長度與腰的長度之間的比值.

3. 問題拓展

學(xué)生通過觀察、猜想、驗(yàn)證、證明等步驟發(fā)展了自己的推理能力，提高了自己發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，但上述邏輯推理過程是就題論題，在一定程度上還不利于學(xué)生的全面發(fā)展，因此，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探究更為一般的拓展問題.

（1）動(dòng)點(diǎn)D在等腰三角形ABC腰所對(duì)應(yīng)的劣弧上

如圖6所示，已知D為弧AB上的一動(dòng)點(diǎn)，AB=AC，試求BD，CD，AD之間的關(guān)系.

（2）動(dòng)點(diǎn)D為等腰三角形ABC外接圓上的任何一點(diǎn)

由于點(diǎn)D的位置不確定，所以就需要學(xué)生分類討論，進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化為上述原題和拓展類題目. 值得說明的是，由于分類討論的過程就是對(duì)問題共性的抽象過程，在此期間，學(xué)生多角度思考問題，其本身就是一種邏輯推理方式.

（3）從等腰三角形到特殊四邊形

上述所研究的問題都是三角形，那么將三角形替換為四邊形，則更有利于學(xué)生深度發(fā)展自己的邏輯推理能力.

如圖7所示，已知圓外接于正方形ABCD，若P為圓上的任何一點(diǎn)，然后連接正方形ABCD的任何三個(gè)頂點(diǎn)，則探究這三條線段之間的關(guān)系.

總之，邏輯推理素養(yǎng)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步形成和發(fā)展的，因此，當(dāng)學(xué)生在遇到一些較為復(fù)雜的問題時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從一些特殊情況著手，不斷獲取數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并以此問題為導(dǎo)向，通過變式問題的方式不斷促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出命題，多角度探索論證思路，努力促使學(xué)生由理性思維走向理性精神，進(jìn)而不斷提高學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)[3].

參考文獻(xiàn)：

[1] 肖冬. 在核心素養(yǎng)培養(yǎng)的背景下再思初中數(shù)學(xué)教學(xué)中邏輯思維能力的培養(yǎng)[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（32）：45+48.

[2] 徐曉華. 基于邏輯推理素養(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)策略探析——以“直線與平面垂直的判定”為例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（33）：43-44.

[3] 陳贇. 邏輯推理核心素養(yǎng)下初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略與實(shí)踐——以“三角形穩(wěn)定性”為例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（20）：16-17.

作者簡介：閔峰（1966—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.