六個(gè)轉(zhuǎn)變：從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向

王祥芬

摘? 要：2021年高考數(shù)學(xué)試題很好地實(shí)現(xiàn)了從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的轉(zhuǎn)變. 以2021年平面向量及其應(yīng)用、概率與統(tǒng)計(jì)高考試題為例，論述了考查目的從關(guān)注知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)科育人、考查目標(biāo)從問題解決轉(zhuǎn)變?yōu)樘骄磕芰Α⒖疾榍榫硰膶W(xué)科知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)檎鎸?shí)情境、試題條件從結(jié)構(gòu)良好轉(zhuǎn)變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)不良、試題要素從單一因素轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)合因素、試題結(jié)構(gòu)從知識(shí)碎片轉(zhuǎn)變?yōu)橄到y(tǒng)整體等六個(gè)方面.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);素養(yǎng)導(dǎo)向;思路分析;試題評(píng)析

為全面貫徹落實(shí)全國教育大會(huì)精神，教育部考試中心發(fā)布了《中國高考評(píng)價(jià)體系》（以下簡稱《體系》），提出了“四層”高考考查內(nèi)容，即核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力和必備知識(shí).《體系》確立了高考學(xué)科素養(yǎng)的考查目標(biāo)，成為高考命題和備考的重要指南. 與以往的考試大綱相比，《體系》不僅考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和學(xué)生能力的提升，更注重考查對(duì)學(xué)生素養(yǎng)的培育，考查學(xué)生在德智體美勞方面的綜合素質(zhì)，關(guān)注學(xué)生的全面發(fā)展、全面培養(yǎng).《體系》標(biāo)志著高考正在實(shí)現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的轉(zhuǎn)變.

2021年共有10套高考數(shù)學(xué)試卷，分別為全國甲卷（文、理科）、全國乙卷（文、理科）、全國新高考Ⅰ卷、全國新高考Ⅱ卷、天津卷、北京卷、上海卷和浙江卷. 試卷中的平面向量及其應(yīng)用、概率與統(tǒng)計(jì)試題考查了向量運(yùn)算、向量基本定理、向量的應(yīng)用、計(jì)數(shù)原理、概率、統(tǒng)計(jì)等重點(diǎn)內(nèi)容，重視考查學(xué)生理性思維、核心素養(yǎng)、綜合能力，注重聯(lián)系實(shí)際、學(xué)以致用，圍繞現(xiàn)代化建設(shè)新成就和科學(xué)技術(shù)發(fā)展新成果設(shè)計(jì)真實(shí)問題情境，注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，等等. 同時(shí)，這些試題增加了開放性和探究性，以及多項(xiàng)選擇題、數(shù)據(jù)分析題、結(jié)構(gòu)不良題和雙空填空題等題型，在結(jié)構(gòu)上有所創(chuàng)新，打破了固有模式，聚焦了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，突出了對(duì)關(guān)鍵能力的考查，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)的科學(xué)選拔功能和育人導(dǎo)向.

與以往高考數(shù)學(xué)試題相比，2021年高考數(shù)學(xué)試題從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的轉(zhuǎn)變體現(xiàn)在如下六個(gè)方面.

一、考查目的從關(guān)注知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)科育人

2021年高考數(shù)學(xué)試題不僅注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的考查，還更多地關(guān)注學(xué)生的核心價(jià)值、道德品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感，倡導(dǎo)學(xué)生積極參與社會(huì)公共事務(wù)，并能結(jié)合熟悉的知識(shí)嫁接文本信息解答實(shí)際問題. 例如，全國新高考Ⅰ卷第18題以“一帶一路”知識(shí)競賽為背景與國事關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)了立德樹人的命題原則;全國乙卷理科第6題以北京冬奧會(huì)為背景考查排列組合內(nèi)容;天津卷第14題以學(xué)生熟知的傳統(tǒng)猜謎語活動(dòng)為背景考查概率問題;等等. 這些試題的考查目的從關(guān)注知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)注學(xué)生的價(jià)值觀、思維品質(zhì)，落實(shí)德智體美勞全面發(fā)展的教育方針.

例1 （全國新高考Ⅰ卷·18）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束. A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分;B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分.

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記[X]為小明的累計(jì)得分，求[X]的分布列;

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

思路分析：（1）由題意，若小明先回答A類問題，得分[X]的所有可能取值為[0]，[20]，[100]，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列即可.

（2）如果小明先回答B(yǎng)類問題，求出得分的分布列和數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的大小.

【評(píng)析】此題以“一帶一路”知識(shí)競賽為情境，倡導(dǎo)學(xué)生關(guān)注國家發(fā)展戰(zhàn)略，關(guān)注我國經(jīng)濟(jì)建設(shè)、科技發(fā)展和大國外交等領(lǐng)域的成就，增強(qiáng)學(xué)生的家國情懷、民族自豪感與自信心. 考查學(xué)生對(duì)離散型隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)字特征期望的理解，并能應(yīng)用數(shù)學(xué)期望的意義解答實(shí)際問題. 從學(xué)生答題情況來看，得分并不高. 該題并不是一道容易題，而是一道考查學(xué)生數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的中檔題，只有平時(shí)腳踏實(shí)地學(xué)習(xí)、勤于思考的學(xué)生才能得滿分，體現(xiàn)出高考考查目的從關(guān)注知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)科育人.

例2 （全國乙卷·理6）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（? ? ）.

（A）60種 ? ? ? （B）120種

（C）240種 ? （D）480種

思路分析：根據(jù)題意，共有[C25×A44=240]種不同的分配方案. 故答案選C.

【評(píng)析】以北京冬奧會(huì)志愿者的培訓(xùn)方案為命題背景，具有鮮明的時(shí)代氣息，體現(xiàn)了中國的志愿精神，倡導(dǎo)學(xué)生承擔(dān)社會(huì)責(zé)任. 同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注冬奧會(huì)，關(guān)注體育運(yùn)動(dòng)，加強(qiáng)體育鍛煉，強(qiáng)健體魄，實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量的學(xué)習(xí)和生活，具有積極的教育意義. 在考查排列組合的應(yīng)用的同時(shí)，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)了高考對(duì)核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的考查要求.

例3 （天津卷·14）甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方獲勝，否則本次平局. 已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為[56]和[15]，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為________;3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為________.

思路分析：根據(jù)題意可得，一次活動(dòng)中，甲獲勝的含義為甲猜對(duì)且乙猜錯(cuò)，所以概率為[56×45=23]. 因此，在3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次分為兩種情況，概率為[C23×232×13+233=2027]. 故答案為[23]和[2027].

【評(píng)析】以學(xué)生熟知的傳統(tǒng)猜謎語活動(dòng)為背景考查互斥的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

二、考查目標(biāo)從問題解決轉(zhuǎn)變?yōu)樘骄磕芰?/p>

素養(yǎng)導(dǎo)向的高考試題注重對(duì)學(xué)生探究能力的考查，考查學(xué)生面對(duì)生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探究情境時(shí)，組織整合相應(yīng)的知識(shí)與能力、運(yùn)用不同的方法探究問題的綜合品質(zhì). 全國新高考Ⅱ卷第18題中的存在性問題，需要學(xué)生根據(jù)題目條件，判斷符合條件的對(duì)象是否存在，變換了題目的設(shè)問角度，考查了學(xué)生的邏輯推理能力和探究能力;全國新高考Ⅱ卷第21題通過探究微生物臨近滅絕的概率與三次方程根的關(guān)系，得出期望，以滅絕概率與1的大小關(guān)系解決關(guān)系問題后，又追問結(jié)論的實(shí)際含義，層層遞進(jìn)地考查了學(xué)生獲取信息、加工信息的探究能力;全國甲卷文（理）科第17題、全國乙卷文（理）科第17題都設(shè)置了新的問題，學(xué)生不僅要解決問題，還要分析結(jié)果，提出新觀點(diǎn)或發(fā)現(xiàn)新問題，培養(yǎng)探究問題的能力.

例4 （全國新高考Ⅱ卷·21）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第[0]代，經(jīng)過一次繁殖后為第[1]代，再經(jīng)過一次繁殖后為第[2]代，……，該生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)[X]表示[1]個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù). [PX=i=pi i=0，1，2，3].

（1）已知[p0=0.4]，[p1=0.3]，[p2=0.2]，[p3=0.1]，求[EX];

（2）設(shè)[p]表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，[p]是關(guān)于[x]的方程[p0+p1x+p2x2+p3x3=x]的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)[EX≤1]時(shí)，[p=1]，當(dāng)[EX>1]時(shí)，[p<1];

（3）根據(jù)你的理解說明第（2）小題結(jié)論的實(shí)際含義.

思路分析：（1）[E（X）=1].

（2）不妨設(shè)[fx=p3x3+p2x2+p1-1x+p0]. 由[p3+][p2+p1+p0=1]，可得[fx=p3x3+p2x2-p2+p0+p3x+p0]. 這樣就把方程的最小正實(shí)根問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題. 研究導(dǎo)函數(shù)[fx=3p3x2+2p2x-p2+p0+p3]的零點(diǎn)，找出原函數(shù)[fx]的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合[f1=0]及極值點(diǎn)的范圍，可得[fx]的最小正零點(diǎn).

（3）意義：當(dāng)1個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)小于或等于1時(shí)，若干代后該種微生物必然滅絕;當(dāng)繁殖后代的平均數(shù)超過1時(shí)，則若干代后該種微生物還有繼續(xù)繁殖的可能.

【評(píng)析】該題以生命科學(xué)中某種微生物的自身繁殖為背景，探究若干代后這種微生物存在的條件或滅絕的原因. 試題情境來源于生命科學(xué)中的真實(shí)問題，體現(xiàn)了概率知識(shí)在生命科學(xué)中的具體應(yīng)用. 試題考查學(xué)生是否理解1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)[X]的分布列和數(shù)學(xué)期望的含義，理解微生物滅絕的概率[p]和數(shù)學(xué)模型[p0+p1x+][p2x2+p3x3=x]的含義;考查了數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)，以及綜合應(yīng)用概率、方程、函數(shù)和不等式等知識(shí)解決實(shí)際問題的探究能力. 該題考查知識(shí)跨度較大，對(duì)學(xué)生的綜合探究能力要求較高，對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平有較好的檢測和區(qū)分度.

例5 （全國乙卷·理 / 文17）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如表1所示.

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為[x]和[y]，樣本方差分別記為[s21]和[s22].

（1）求[x，y，s21，s22];

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高.（如果[y-x≥2s21+s2210]，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高.）

思路分析：（1）由平均數(shù)和樣本方差的定義可知[x=10，y=10.3，s21=0.036，s22=0.04].

（2）根據(jù)題目判斷新設(shè)備是否有顯著提高的依據(jù)，并結(jié)合第（1）小題的結(jié)論計(jì)算[y-x]與[2s21+s2210]的結(jié)果，可知新設(shè)備的指標(biāo)均值較舊設(shè)備有顯著提高.

【評(píng)析】試題以生產(chǎn)高精產(chǎn)品的新、舊設(shè)備為原型，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的數(shù)字特征解決問題，根據(jù)新、舊設(shè)備各生產(chǎn)同樣多的產(chǎn)品得到的指標(biāo)數(shù)據(jù)，將判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)與舊設(shè)備比較是否有顯著提高的問題轉(zhuǎn)化為判斷[y-x≥2s21+s2210]是否成立的問題. 該題考查學(xué)生對(duì)平均數(shù)和方差公式的理解與應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注科技生產(chǎn)和發(fā)展，體會(huì)科技創(chuàng)新的必要性.

例6 （全國新高考Ⅱ卷·18）在[△ABC]中，角[A，][B，C]所對(duì)的邊長分別為[a，b，c，b=a+1，c=a+2.]

（1）若[2sinC=3sinA]，求[△ABC]的面積;

（2）是否存在正整數(shù)[a]，使得[△ABC]為鈍角三角形？若存在，求出[a]的值;若不存在，說明理由.

思路分析：（1）由正弦定理，可得[2c=3a]. 結(jié)合已知條件求出[a]的值，進(jìn)一步求得[b]和[c]的值，利用余弦定理及同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出[sinB]，再利用三角形面積公式可以求得結(jié)果.

（2）分析可知，角[C]為鈍角. 由[cosC<0]，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，可以求得整數(shù)[a]的值為[2].

【評(píng)析】該題的背景是三角形的邊長、面積問題及三角形形狀的判定，內(nèi)容貼近學(xué)生的認(rèn)知. 已知[△ABC]的邊長分別為[a，a+1，a+2]，結(jié)合余弦定理即可求解三角形的面積;第（2）小題判斷是否存在正整數(shù)[a]使得[△ABC]是鈍角三角形，并進(jìn)行推理和說明理由. 試題設(shè)計(jì)具有探究性和開放性，重點(diǎn)考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

三、考查情境從學(xué)科知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)檎鎸?shí)情境

情境是實(shí)現(xiàn)價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基的綜合考查的載體. 情境即問題情境，是真實(shí)的問題背景，情境要源于學(xué)生的生活實(shí)際，要與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系. 對(duì)于學(xué)生而言，真實(shí)可信的情境可以使學(xué)生產(chǎn)生研究問題的動(dòng)力，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題. 全國甲卷理科第8題和全國乙卷理科第9題通過選取測量珠穆朗瑪峰和海島的高度等真實(shí)素材，再現(xiàn)學(xué)科產(chǎn)生的場景或現(xiàn)實(shí)的情境，學(xué)生在真實(shí)存在的情境的背景下運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，全面而綜合地展現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);北京卷第18題以新冠病毒、核酸檢測研究為題材，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)，增強(qiáng)社會(huì)責(zé)任感.

例7 （全國甲卷·理8）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8 848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一. 如圖1，是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有[A，B，C]三點(diǎn)，且[A，B，C]在同一水平面上的投影[A，B，C]滿足[∠AC′B′=45°]，[∠ABC=60°]. 由點(diǎn)[C]測得點(diǎn)[B]的仰角為[15°]，[BB]與[CC]的差為100;由點(diǎn)[B]測得點(diǎn)[A]的仰角為[45°]，則[A，C]兩點(diǎn)到水平面[ABC]的高度差[AA-CC]約為（? ? ）.（[3≈1.732].）

思路分析：通過添加輔助線，將所求量[AA-CC]轉(zhuǎn)化到直角三角形中. 通過分析可知將所求量[AA-CC]轉(zhuǎn)化為求[AB+100]的長度，借助正弦定理求得[AB]，進(jìn)而得到答案為B.

【評(píng)析】該題以中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰高度為背景設(shè)計(jì)解三角形問題，這是我國第三次公布地球最高峰的海拔數(shù)據(jù)，向世界展示了中國的登山實(shí)力和測量水平. 該題考查學(xué)生看圖和厘清數(shù)量關(guān)系的能力，用此測量法計(jì)算點(diǎn)[A，C]到水平面[ABC]的高度差的問題. 題目背景真實(shí)，聯(lián)系實(shí)際，要求學(xué)生應(yīng)用線線關(guān)系、線面關(guān)系和點(diǎn)面關(guān)系等幾何知識(shí)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，考查學(xué)生運(yùn)用正弦定理解決實(shí)際問題的能力.

例8 （全國乙卷·理9）魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高. 如圖2，點(diǎn)[E]，[H]，[G]在水平線[AC]上，[DE]和[FG]是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，[EG]稱為“表距”，[GC]和[EH]都稱為“表目距”，[GC]與[EH]的差稱為“表目距的差”，則海島的高[AB]的值為（? ? ）.

（A）[表高×表距表目距的差+]表高

（B）[表高×表距表目距的差-]表高

（C）[表高×表距表目距的差+]表距

（D）[表高×表距表目距的差-]表距

思路分析：由相似三角形的性質(zhì)，知[DEAB=EHAH]，[FGAB=CGAC]. 而已知[DE=FG]，所以由比例的性質(zhì)得到[DEAB=EHAH=CGAC=CG-EHAC-AH=CG-EHCH]. 而[CH=CE-EH=][CG-EH+EG]，即[AB=CG-EH+EGCG-EH×DE=EG×DECG-EH+][DE=表高×表距表目距的差][+]表高. 故答案選A.

【評(píng)析】該題是我國古代數(shù)學(xué)文化的經(jīng)典問題——重差，出自魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽的著作《海島算經(jīng)》. 以著作中的測量方法為背景，考查學(xué)生根據(jù)測量中的相關(guān)條件推出海島高度的計(jì)算公式，以及運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，讓學(xué)生感悟我國古代數(shù)學(xué)家的智慧. 將數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化作為真實(shí)情境鑲嵌于數(shù)學(xué)問題之中，是近幾年高考數(shù)學(xué)試題的新特點(diǎn)，需要學(xué)生具備較好的數(shù)學(xué)閱讀能力，理解題意并注意試題的各種表述.

例9 （北京卷·18）在核酸檢測中，“[k]合1”混采核酸檢測是指：先將[k]個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測，如果這[k]個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果為陰性，檢測結(jié)束;如果這[k]個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測，得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.

現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確.

（1）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測.

① 如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);

② 已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為[111]. 設(shè)[X]是檢測的總次數(shù)，求[X]的分布列與數(shù)學(xué)期望[EX.]

（2）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測，設(shè)[Y]是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望[EY]與（1）中[EX]的大小.（結(jié)論不要求證明.）

思路分析：（1）① 對(duì)每組進(jìn)行檢測，需要10次. 再對(duì)結(jié)果為陽性的組中的每個(gè)人進(jìn)行檢測，需要10次. 因此總檢測次數(shù)為20次.

② 由題意，得[X]可以取20，30.

所以[PX=20=111]，[PX=30=1-111=1011].

所以[EX=20×111+30×1011=32011].

（2）由題意，得[Y]可以取25，30.

所以兩名感染者在同一組的概率為[P1=20×C22×C398C5100=][499]，不在同一組的概率為[P2=9599].

則[EY=25×499+30×9599=2 95099>EX].

【評(píng)析】新冠病毒核酸“[k]合1”混采檢測技術(shù)的研發(fā)大幅度提高了檢測效率. 該題以此為背景進(jìn)行設(shè)計(jì)，目的是讓學(xué)生應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解釋大規(guī)模核酸檢測中混采技術(shù)的原理，體會(huì)數(shù)學(xué)在科學(xué)防疫方面的應(yīng)用價(jià)值. 真實(shí)的問題情境展示了我國科學(xué)抗疫的智慧和成果.

四、試題條件從結(jié)構(gòu)良好轉(zhuǎn)變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)不良

學(xué)生學(xué)習(xí)中常見的試題一般是結(jié)構(gòu)良好試題，條件不多不少，需要解決的問題目標(biāo)明確，有規(guī)范的思路和解法. 然而，現(xiàn)實(shí)生活中的問題多是結(jié)構(gòu)不良型，具有條件模糊、解決方案多樣、結(jié)果開放等特點(diǎn)，需要學(xué)生多角度綜合地思考問題. 近幾年的高考數(shù)學(xué)試題中逐漸出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良問題. 例如，全國新高考Ⅱ卷第14題、全國甲卷理科第18題和北京卷第16題等設(shè)置了結(jié)構(gòu)不良試題，在給出的幾個(gè)條件中要求學(xué)生先選擇后補(bǔ)充，體現(xiàn)了一定程度上的開放性. 開放性試題的設(shè)置較好地體現(xiàn)了新課程的理念，更全面地考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例10 （北京卷·16）在[△ABC]中，[c=2bcosB，][∠C=2π3].

（1）求[∠B];

（2）再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使[△ABC]存在且唯一確定，求[BC]邊上中線的長.

條件①：[c=][2b];條件②：[△ABC]的周長為[4+][23];條件③：[△ABC]的面積為[334].

思路分析：（1）根據(jù)題意，可求得[∠B=π6].

（2）若選擇條件①：由正弦定理求解，可得[cb=][3]，與[c=2b]矛盾，故這樣的三角形不存在;若選擇條件②：由正弦定理結(jié)合周長得出[a=b=2，c=23]，再由余弦定理可以求得邊[BC]上的中線的長度為[7];若選擇條件③：由面積公式可以求得邊長[a=b=3]，再由余弦定理求得邊[BC]上的中線的長度為[212].

【評(píng)析】以解三角形為背景設(shè)置結(jié)構(gòu)不良試題，題目給出的其實(shí)是“已知三角形的三個(gè)角度，再選擇附加的條件求邊長”的問題. 試題所給的三個(gè)不確定條件是平行的，即無論選擇哪個(gè)條件試題的難易程度都適中，給了學(xué)生很大的可操作空間，是一道妙題. 相信這類題型將是新高考的趨勢.

五、試題要素從單一因素轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)合因素

高考要求學(xué)生能夠觸類旁通、融會(huì)貫通，既包括同一層面的交互融合，也包括不同層面之間的融會(huì)貫通. 試題突出數(shù)學(xué)各分支內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系和思想方法的貫通，從而考查知識(shí)的復(fù)合性.

例11 （天津卷·15）在邊長為1的等邊三角形[ABC]中，點(diǎn)[D]是線段[BC]上的動(dòng)點(diǎn)，[DE⊥AB]且交[AB]于點(diǎn)[E]，[DF∥AB]交[AC]于點(diǎn)[F]. 則[2BE+DF]的值為? ? ? ;[DE+DF · DA]的最小值為? ? ? .

思路分析：一是通過向量的幾何屬性進(jìn)行求解. 設(shè)[BE=x]，由[2BE+DF2=4BE2+4BE · DF+DF2]可以求出第一空;將[DE+DF · DA]轉(zhuǎn)化為關(guān)于[x]的關(guān)系式即可求出最值. 二是通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算的代數(shù)屬性進(jìn)行求解.

【評(píng)析】此題以平面幾何為背景，以平行、垂直、角度和長度為載體，考查向量的和、數(shù)乘、數(shù)量積及模的運(yùn)算. 題目條件繁多，關(guān)系較為復(fù)雜，解決問題的方法多樣，給學(xué)生提供了很大的發(fā)揮空間. 通過動(dòng)點(diǎn)位置的巧妙設(shè)計(jì)建立函數(shù)模型，將所求問題轉(zhuǎn)化為在某個(gè)范圍內(nèi)求解函數(shù)的最值問題，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)要求較高.

六、試題結(jié)構(gòu)從知識(shí)碎片轉(zhuǎn)變?yōu)橄到y(tǒng)整體

2021年的高考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)了很多大單元的知識(shí)考查，考查知識(shí)的聯(lián)系性. 這些試題不是片面地考查某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)或單一技能，而是把眾多碎片化的數(shù)學(xué)知識(shí)融合成一個(gè)整體. 這個(gè)整體可以是數(shù)學(xué)主題、觀點(diǎn)或思想方法. 通常通過命制多項(xiàng)選擇題突出數(shù)學(xué)主干知識(shí)及知識(shí)之間的聯(lián)系性，從而考查學(xué)生是否具有良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 例如，全國新高考Ⅰ卷、全國新高考Ⅱ卷都有四個(gè)多項(xiàng)選擇題，圍繞數(shù)學(xué)的大情境、大問題、大單元開展多角度、多知識(shí)、多層次的探索，將知識(shí)碎片轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)整體進(jìn)行考查，以深度檢測學(xué)生的思維水平.

例12 （全國新高考Ⅰ卷·9）有一組樣本數(shù)據(jù)[x1，][x2，…，xn]，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)[y1，y2，…，][yn]，其中[yi=xi+c i=1，2，…，n]，[c]為非零常數(shù)，則（? ? ）.

（A）兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

（B）兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

（C）兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

（D）兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

思路分析：利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系[yi=xi+c]，根據(jù)公式[Ey=Ex+c]，[Dy=Dx]，可以判斷樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差是否相同，就可以判斷選項(xiàng)[A]和選項(xiàng)[C]的正誤;根據(jù)中位數(shù)、極差的概念可以判斷選項(xiàng)[B]和選項(xiàng)[D]的正誤. 故正確答案為選項(xiàng)[C]和選項(xiàng)[D].

【評(píng)析】人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第二冊(cè)第九章“統(tǒng)計(jì)”中的“用樣本估計(jì)總體”練習(xí)的第2題和習(xí)題9.2的第4題中都推導(dǎo)了上述兩個(gè)公式. 用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想，總體集中趨勢的估計(jì)要素比較多，有平均值、中位數(shù)、眾數(shù)等，總體離散程度的估計(jì)有極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等. 該題將這些知識(shí)串成一個(gè)整體進(jìn)行考查.

例13 （全國新高考Ⅰ卷·10）已知點(diǎn)[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)，[P1cosα，sinα，P2cosβ，-sinβ，P3cosα+β，sinα+β，][A1，0]，則（? ? ）.

（A）[OP1=OP2]

（B）[AP1=AP2]

（C）[OA · OP3=OP1 · OP2]

（D）[OA · OP1=OP2 · OP3]

思路分析：一是寫出[OP1， OP2， OP3， OA， AP1，][AP2]的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求向量的模，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和（差）公式化簡，即可判斷正誤. 二是通過向量的幾何屬性，在單位圓中構(gòu)造角度[α，β，-β，α+β]等，結(jié)合向量數(shù)量積的定義得出答案，難點(diǎn)在于圖形的構(gòu)造.

【評(píng)析】此題涉及兩角和的余弦公式、平面向量的數(shù)量積、向量的模，是向量單元的基本概念和基本運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)、平面向量綜合問題的分析與解決能力. 試題聚焦知識(shí)的交會(huì)，將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，設(shè)問新穎，綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

綜上所述，教師要把握高考考查從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的六個(gè)轉(zhuǎn)變，素養(yǎng)導(dǎo)向落實(shí)“四基”，制定合適的教學(xué)策略有效備考. 在日常教學(xué)中，要立足數(shù)學(xué)內(nèi)容本身，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)體系;立足精準(zhǔn)落實(shí)基礎(chǔ)，發(fā)揮教材的引領(lǐng)功能;立足知識(shí)交會(huì)綜合，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力;立足數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);立足研究高考試題，把握數(shù)學(xué)命題趨勢，凸顯教學(xué)的實(shí)效性.

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