項(xiàng)目學(xué)習(xí)：用向量發(fā)現(xiàn)三角形中的“美”

張永剛 趙婧一 常青

摘? 要：以項(xiàng)目學(xué)習(xí)的方式開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)——用向量法研究三角形的性質(zhì)，以學(xué)術(shù)任務(wù)分解為問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，以項(xiàng)目評(píng)價(jià)指標(biāo)為調(diào)控指引，以形成數(shù)學(xué)“定理”為項(xiàng)目作品. 項(xiàng)目實(shí)施分三個(gè)階段，對(duì)應(yīng)課上三個(gè)課時(shí)及課下的充分探究. 強(qiáng)調(diào)展示交流，智慧分享，完善作品，形成項(xiàng)目報(bào)告. 并積累探究經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)之“美”.

關(guān)鍵詞：項(xiàng)目學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)探究活動(dòng);向量法;三角形;數(shù)學(xué)美

三角形是幾何中最簡(jiǎn)單的封閉圖形，也是最重要的幾何圖形之一. 三角形的性質(zhì)非常豐富，是聯(lián)系各種幾何圖形的紐帶，也是學(xué)習(xí)幾何知識(shí)、培養(yǎng)邏輯推理能力、發(fā)展理性思維的最佳載體之一. 以三角形為研究對(duì)象，用向量法對(duì)性質(zhì)進(jìn)行再研究，尤其是將研究對(duì)象聚焦在對(duì)三角形的中線與重心、角平分線與內(nèi)心、中垂線與外心、高與垂心等問(wèn)題上，既能使學(xué)生在已有認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上更加系統(tǒng)地掌握三角形的性質(zhì)，又能讓學(xué)生充分體驗(yàn)向量工具的強(qiáng)大優(yōu)勢(shì)，形成主動(dòng)借助向量工具解決問(wèn)題的意識(shí)，加深學(xué)生理解向量法在研究幾何問(wèn)題中的作用，積累“研究一個(gè)幾何對(duì)象”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步明確研究一個(gè)幾何圖形的內(nèi)容、路徑和方法等. 在對(duì)三角形性質(zhì)的研究中，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)形成較為完善的體驗(yàn)，發(fā)展自主學(xué)習(xí)能力，提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力，積累探究經(jīng)驗(yàn).

一、項(xiàng)目設(shè)計(jì)與實(shí)施

1. 項(xiàng)目?jī)?nèi)容和內(nèi)容解析

（1）內(nèi)容.

用向量法表示和證明平面幾何中已學(xué)的三角形的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)和證明三角形的其他性質(zhì)，感受數(shù)學(xué)結(jié)論在結(jié)構(gòu)上的“美”.

建議使用三個(gè)課時(shí).

課前：布置任務(wù)，學(xué)生閱讀教材，查閱文獻(xiàn)，獨(dú)立探究，教師在匯總學(xué)生的問(wèn)題后根據(jù)學(xué)生情況與學(xué)生共同確定項(xiàng)目研究課題.

第1課時(shí)：開(kāi)題報(bào)告，通過(guò)示范探究活動(dòng)積累探究經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)提煉用向量法研究三角形性質(zhì)的一般觀念，確定研究對(duì)象、研究視角和研究路徑. 課下學(xué)生先自主探索，再小組合作探索.

第2課時(shí)：中期匯報(bào)，分組展示發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題的脈絡(luò)，分享交流開(kāi)拓思路，完善論證過(guò)程，開(kāi)展項(xiàng)目中期評(píng)價(jià). 課下學(xué)生進(jìn)一步探索，完善、修正探究成果.

第3課時(shí)：全面展示項(xiàng)目產(chǎn)品，完成研究報(bào)告. 課后作業(yè)——完善論文，形成項(xiàng)目作品.

（2）內(nèi)容解析.

用向量法研究三角形的性質(zhì)，研究方法是向量法，研究對(duì)象是三角形的性質(zhì).

三角形的性質(zhì)根據(jù)三角形的要素與相關(guān)要素間的關(guān)系可概述為五個(gè)層次.

第一層次：定義.

第二層次：要素間的相互關(guān)系. 例如，邊角的相等關(guān)系——等邊對(duì)等角、等角對(duì)等邊;邊角的不等關(guān)系——大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊;三邊的定性關(guān)系——兩邊之和大于第三邊;內(nèi)角的定量關(guān)系——內(nèi)角和等于180°;等等.

第三層次：要素、相關(guān)要素間的相互關(guān)系. 例如，外角與內(nèi)角的關(guān)系——外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和;外角之間的關(guān)系——外角之和為360°;中線的位置關(guān)系——三條中線交于一點(diǎn)（重心）;高的位置關(guān)系——三條高交于一點(diǎn)（垂心）;角平分線的位置關(guān)系——三條角平分線交于一點(diǎn)（內(nèi)心）;三邊的垂直平分線的位置關(guān)系——三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)（外心）;三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)（旁心）;三邊中點(diǎn)連線與三邊的位置關(guān)系、大小關(guān)系——兩邊中點(diǎn)連線平行于第三邊且等于第三邊的一半;等等.

第四層次：相關(guān)要素的性質(zhì)研究. 例如，重心的性質(zhì)有：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2∶1;重心和三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線所成的三個(gè)三角形面積相等;平面內(nèi)任意一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和中，重心使其取最小值;等等. 運(yùn)用坐標(biāo)法和向量法，還可以將重心與三角形三個(gè)頂點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行量化表達(dá).

第五層次：相關(guān)要素性質(zhì)間的聯(lián)系，與其他圖形之間的聯(lián)系. 例如，三角形的“五心”之間的關(guān)系;三角形與其他幾何圖形之間的關(guān)系. 例如，三角形與直線、四邊形、圓等結(jié)合，會(huì)有怎樣的性質(zhì)？等等.

用向量法進(jìn)行研究，可以用向量表示要素之間的關(guān)系，借助向量的線性運(yùn)算研究與方向有關(guān)的問(wèn)題. 例如，平行、點(diǎn)分線段成比例等. 借助向量的數(shù)量積運(yùn)算研究與度量有關(guān)的問(wèn)題. 例如，長(zhǎng)度、夾角、垂直等. 嘗試轉(zhuǎn)變基底，簡(jiǎn)化運(yùn)算，化簡(jiǎn)結(jié)論后再對(duì)其進(jìn)行歸納、演繹，不斷提出新的問(wèn)題，這是用向量研究幾何問(wèn)題形成代數(shù)發(fā)現(xiàn)的一般觀念.

用向量法對(duì)三角形性質(zhì)進(jìn)行再研究，重在形成研究一個(gè)幾何圖形的一般觀念. 先對(duì)三角形性質(zhì)進(jìn)行分層梳理，形成探究發(fā)現(xiàn)的外在目標(biāo)，再借助不同向量運(yùn)算針對(duì)解決不同的幾何問(wèn)題，開(kāi)展探索嘗試，形成發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)的內(nèi)在動(dòng)力，兩者相連，就構(gòu)成了發(fā)展網(wǎng)絡(luò).（網(wǎng)絡(luò)圖見(jiàn)本文對(duì)應(yīng)線上資源.）

數(shù)學(xué)探究的研究起點(diǎn)是數(shù)學(xué)問(wèn)題，所以整個(gè)探究就是從網(wǎng)絡(luò)圖中的問(wèn)題“閉合回路”，即[AB+BC+][CA=0]出發(fā)，應(yīng)用類比、特殊化、一般化等方法，不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程.

數(shù)學(xué)探究是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，開(kāi)展自主探究、合作研究并最終解決問(wèn)題的過(guò)程. 具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問(wèn)題的思路和方案，通過(guò)自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論.

最后嘗試從數(shù)學(xué)的角度刻畫(huà)審美的共性，主要包括簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、周期、和諧等. 學(xué)生在感受美的同時(shí)記憶和掌握具有“美”感的結(jié)論. 學(xué)會(huì)審美不僅可以陶冶情操，而且能夠改善思維品質(zhì).

綜上所述，確定本單元的教學(xué)重點(diǎn)是：聚焦用向量法對(duì)三角形性質(zhì)的探究，系統(tǒng)掌握三角形的性質(zhì)，積累探究經(jīng)驗(yàn).

2. 項(xiàng)目目標(biāo)及目標(biāo)解析

（1）目標(biāo).

① 經(jīng)歷用向量法研究三角形性質(zhì)的過(guò)程，會(huì)用向量符號(hào)表達(dá)三角形的幾何性質(zhì)，掌握三角形的性質(zhì)，理解向量法在研究幾何問(wèn)題中的作用.

② 通過(guò)開(kāi)展用向量法研究三角形性質(zhì)的探究活動(dòng)，了解探究，經(jīng)歷提出、發(fā)現(xiàn)、證明或反駁的過(guò)程，積累探究經(jīng)驗(yàn).

③ 通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)完整的體驗(yàn)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)，感受數(shù)學(xué)“美”.

（2）目標(biāo)解析.

① 能分層、有序梳理三角形的性質(zhì)，能用向量符號(hào)表達(dá)已知的三角形性質(zhì)，通過(guò)自主實(shí)驗(yàn)與合作交流找出三角形的一些性質(zhì)，并用向量法合理表達(dá);能借助向量運(yùn)算對(duì)三角形性質(zhì)進(jìn)行論證，形成美觀的數(shù)學(xué)結(jié)論;選擇不同的基底對(duì)性質(zhì)進(jìn)行論證，能舉例說(shuō)明向量法與平面幾何綜合法在論證和表達(dá)形式上的特點(diǎn).

② 能通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究，嘗試各種向量的運(yùn)算，形成具有數(shù)學(xué)“美”的結(jié)論，并對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行幾何解釋，或?qū)Y(jié)果產(chǎn)生疑問(wèn)并且能夠借助已有知識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行論證或反駁;面臨逐漸深入的探究，能夠大膽合理猜想、主動(dòng)駁斥論證、探討解決方案，直至提出新的問(wèn)題，形成探索發(fā)現(xiàn)的一般路徑.

③ 體驗(yàn)向量法在探索和證明幾何圖形性質(zhì)中的作用，得到一些三角形的性質(zhì)，整理成具有數(shù)學(xué)“美”的結(jié)論，并撰寫(xiě)和交流小論文（即項(xiàng)目產(chǎn)品），能在已有成果的基礎(chǔ)上，通過(guò)類比、一般化等方法發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題;會(huì)有邏輯地表達(dá)和交流，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

3. 項(xiàng)目問(wèn)題診斷分析

在平面幾何中，學(xué)生已研究過(guò)三角形并掌握了三角形的一些基本性質(zhì).

本項(xiàng)目的教學(xué)難點(diǎn)之一是如何開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng). 為破解此難點(diǎn)，教師要加強(qiáng)設(shè)計(jì)和實(shí)施指導(dǎo). 首先，要指導(dǎo)學(xué)生在課前進(jìn)行選題，讓學(xué)生打開(kāi)思路，提出問(wèn)題. 在第一節(jié)課上，給予學(xué)生示范引導(dǎo)——怎樣用向量法證明三角形的性質(zhì)，并發(fā)現(xiàn)值得研究的問(wèn)題. 其次，要指導(dǎo)學(xué)生的推導(dǎo)過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生克服困難堅(jiān)持下去. 組織項(xiàng)目中期交流，激發(fā)思維，促進(jìn)更深的探索研究. 最后，組織結(jié)項(xiàng)匯報(bào)，梳理思路，整理成果，完成數(shù)學(xué)探究.

本項(xiàng)目的教學(xué)難點(diǎn)之二是如何發(fā)現(xiàn)系列的有價(jià)值的數(shù)學(xué)結(jié)論. 學(xué)生對(duì)用平面向量解決幾何問(wèn)題具備了一定的方法和能力，但對(duì)向量法在研究幾何問(wèn)題中的優(yōu)勢(shì)并未全面、系統(tǒng)體驗(yàn)與掌握. 他們能夠探索出三角形的一些性質(zhì)，但還不能用向量法有序、有目的地探究發(fā)現(xiàn). 為破解此難點(diǎn)，要給予學(xué)生有效的指導(dǎo)：針對(duì)學(xué)生無(wú)序的、感性的探索，引導(dǎo)學(xué)生先分層梳理三角形的性質(zhì)，再按照向量運(yùn)算的特點(diǎn)進(jìn)行整理，啟發(fā)學(xué)生找到用向量法展開(kāi)探究的幾條思路，即向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積、兩種運(yùn)算的結(jié)合. 探究基礎(chǔ)是已有的三角形的性質(zhì)，用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待它們，用向量方法對(duì)它們進(jìn)行運(yùn)算，就是發(fā)現(xiàn)之路.

4. 項(xiàng)目支持條件分析

本單元在探索初始階段，可以直接通過(guò)繪制圖形，合理轉(zhuǎn)化向量，探索和發(fā)現(xiàn)結(jié)論. 隨著探究的深入，讓學(xué)生自主借助GeoGebra、幾何畫(huà)板等軟件改變?nèi)切涡螤詈拖蛄糠较虻?，直觀驗(yàn)證結(jié)論的適用范圍，或提出新的猜想.

5. 教學(xué)方式設(shè)計(jì)

在教師的帶領(lǐng)下，學(xué)生利用項(xiàng)目學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行探究活動(dòng).

6. 項(xiàng)目研究規(guī)劃

以“讓我發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)‘美”為項(xiàng)目的驅(qū)動(dòng)問(wèn)題，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、和諧美，提升思維品質(zhì). 以三角形為載體、向量法為方法逐步展開(kāi)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，研究三角形的性質(zhì). 學(xué)生假定自己是一個(gè)從事數(shù)學(xué)研究的科研人員，從學(xué)術(shù)真實(shí)的數(shù)學(xué)情境入手，通過(guò)實(shí)驗(yàn)或借助信息技術(shù)提出（發(fā)現(xiàn)）數(shù)學(xué)猜想，分小組合作探究、論證反駁，形成具有一定推廣價(jià)值的數(shù)學(xué)結(jié)論，最終形成項(xiàng)目產(chǎn)品——自己命名的“定理”，并對(duì)自己發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)“定理”嘗試從數(shù)學(xué)的角度刻畫(huà)審美的共性. 根據(jù)每個(gè)階段形成的階段性項(xiàng)目產(chǎn)品，開(kāi)展現(xiàn)場(chǎng)質(zhì)性評(píng)價(jià). 最終在結(jié)題活動(dòng)中展示項(xiàng)目產(chǎn)品，撰寫(xiě)論文，形成項(xiàng)目作品，教師分別給出項(xiàng)目產(chǎn)品評(píng)價(jià).

7. 項(xiàng)目設(shè)計(jì)與實(shí)施過(guò)程

課前：布置任務(wù)，確定項(xiàng)目研究課題.

說(shuō)明：因?yàn)槭堑谝淮巫鰯?shù)學(xué)探究，所以課上、課下的活動(dòng)都是教師指導(dǎo)學(xué)生去做的.

引導(dǎo)語(yǔ)：（項(xiàng)目研究背景）三角形是幾何中最簡(jiǎn)單的封閉圖形，也是最重要的幾何圖形之一. 三角形的性質(zhì)非常豐富，是聯(lián)系各種幾何圖形的紐帶，現(xiàn)在就讓我們帶上向量這一神奇的工具，展開(kāi)我們奇妙的探究之旅吧！

任務(wù)1：閱讀人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》必修第二冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）中“用向量法研究三角形的性質(zhì)”的內(nèi)容，梳理你對(duì)“數(shù)學(xué)探究”的認(rèn)識(shí)和理解.

師生活動(dòng)：學(xué)生自主完成閱讀，交流對(duì)“數(shù)學(xué)探究”的認(rèn)識(shí)和理解. 教師給出評(píng)價(jià).

預(yù)設(shè)答案：數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是從一個(gè)數(shù)學(xué)自身的問(wèn)題出發(fā)，探索其解決辦法，并進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)和提出有意義的問(wèn)題，猜想合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問(wèn)題的思路和方案，是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng). 問(wèn)題是開(kāi)放的，成果是多樣的.

【設(shè)計(jì)意圖】闡述課題研究的必要性，激發(fā)學(xué)生的研究興趣，讓學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)探究活動(dòng).

任務(wù)2：試以學(xué)習(xí)小組為單位，先獨(dú)立思考，之后與小組內(nèi)成員共同完成如下“項(xiàng)目作業(yè)”.

（1）回顧初中研究三角形的過(guò)程，從研究思路、內(nèi)容、方法等角度進(jìn)行梳理，并列出已經(jīng)得到的結(jié)論.

（2）用向量法對(duì)已有結(jié)論進(jìn)行證明，總結(jié)用向量法處理幾何問(wèn)題的基本程序，并與平面幾何中的推理過(guò)程進(jìn)行比較，闡述各自特點(diǎn).

（3）閱讀教材中“探究三角形重心的性質(zhì)”的示范. 談?wù)勈痉吨惺侨绾伟l(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的？如何探索與論證的？仿照示例提出項(xiàng)目實(shí)施規(guī)劃.

預(yù)設(shè)師生活動(dòng)：學(xué)生分小組按照要求完成項(xiàng)目作業(yè)，教師批閱并評(píng)價(jià).

預(yù)設(shè)答案：（1）學(xué)生需要從研究一個(gè)幾何圖形的“基本套路”出發(fā)，有結(jié)構(gòu)、有系統(tǒng)地進(jìn)行梳理.

① 研究思路.

確定研究對(duì)象—發(fā)現(xiàn)性質(zhì)—證明性質(zhì)—研究特例（判定、性質(zhì)）.

② 研究?jī)?nèi)容.

三角形組成要素（邊、角）、相關(guān)要素（外角、高、中線、角平分線）之間的位置或數(shù)量關(guān)系. 例如，角與角的關(guān)系（內(nèi)角和為180°）;邊與角的關(guān)系（大邊對(duì)大角、等角對(duì)等邊）;邊與邊的關(guān)系（兩邊之和大于第三邊）;中線與邊的關(guān)系（中線過(guò)一邊中點(diǎn)）;中線與中線的關(guān)系（三條中線交于一點(diǎn)）.

③ 研究方法.

通過(guò)對(duì)若干具體三角形的度量、觀察、實(shí)驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)共性，得出猜想，再通過(guò)邏輯推理證明得到有關(guān)性質(zhì).

從三角形的性質(zhì)角度來(lái)看. 一方面，特殊要素一般化. 例如，銳角三角形中三條垂線交于一點(diǎn)，那么在一般三角形中還成立嗎？另一方面，一般要素特殊化. 例如，余弦定理中的已知角為直角，則可將余弦定理轉(zhuǎn)化為勾股定理.

從向量法角度來(lái)看. 一方面，是運(yùn)算方法推進(jìn)研究，按照線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算及其聯(lián)合的角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題;另一方面，是運(yùn)算對(duì)象推進(jìn)研究，即對(duì)哪些元素進(jìn)行運(yùn)算發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.

（2）對(duì)比向量法與平面幾何綜合法，實(shí)際上兩者沒(méi)有絕對(duì)的優(yōu)劣，但向量是研究幾何的工具，是將幾何問(wèn)題代數(shù)化，用計(jì)算發(fā)現(xiàn)、解決問(wèn)題，因此向量工具的使用本身就是一種進(jìn)步.

（3）示例中首先是發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題：通過(guò)“重心”在物理與幾何中的重要性，三角形兩條中線一定會(huì)交于一點(diǎn)，第三條中線是否過(guò)這個(gè)點(diǎn)呢？雖然我們?cè)鐚?duì)其有所共識(shí)，但從嚴(yán)謹(jǐn)性的角度來(lái)看，是需要證明的. 引發(fā)對(duì)其性質(zhì)探究的必要性. 然后，用向量法探索、論證：用向量法“三步曲”，證明“三角形的三條中線交于一點(diǎn)”. 最后，反思探究過(guò)程、類比發(fā)現(xiàn)新命題. 通過(guò)對(duì)探究過(guò)程的反思，觀察過(guò)程中得到的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)“三角形的重心是中線的三等分點(diǎn)”這個(gè)新的結(jié)論.

實(shí)際教學(xué)情況：學(xué)生對(duì)三角形的性質(zhì)缺乏整體認(rèn)知，容易割裂性質(zhì)之間的聯(lián)系，表述性質(zhì)雜亂無(wú)章，教師鼓勵(lì)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)表述性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生按照三角形要素及其關(guān)系進(jìn)行分層梳理.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生提前形成自我認(rèn)知，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，為后期逐漸深入研究做準(zhǔn)備，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng).

第1課時(shí)：示范研究，啟動(dòng)項(xiàng)目.

引導(dǎo)語(yǔ)：（項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)任務(wù)）數(shù)學(xué)是唯美的，數(shù)學(xué)美大致包含簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、周期美、和諧美等. 龐加萊認(rèn)為，感覺(jué)到數(shù)學(xué)的美，感覺(jué)到數(shù)與形的協(xié)調(diào)，感覺(jué)到幾何的優(yōu)雅，這是所有真正的數(shù)學(xué)家都清楚的美的感覺(jué). 讓我們也做一次數(shù)學(xué)家，發(fā)現(xiàn)美、體驗(yàn)美、感受美！

環(huán)節(jié)1：?jiǎn)?dòng)項(xiàng)目，布置任務(wù).

項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)問(wèn)題：以三角形為研究對(duì)象，用向量法對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行再研究，尤其是將研究對(duì)象聚焦在對(duì)三角形的中線與重心、高線與垂心、角平分線與內(nèi)心、中垂線與外心等問(wèn)題上，你還能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？你的結(jié)論符合數(shù)學(xué)的審美標(biāo)準(zhǔn)嗎？證明你的發(fā)現(xiàn)，并像數(shù)學(xué)家那樣給它“命名”吧！

項(xiàng)目實(shí)施要求與建議：（1）在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，小組集體討論探究方案，確定研究思路. 小組成員各自展開(kāi)獨(dú)立探究，并以專題作業(yè)的形式撰寫(xiě)研究報(bào)告. 小組內(nèi)進(jìn)行交流討論，完善研究成果，并形成一份小組研究報(bào)告或項(xiàng)目作品論文，在全班進(jìn)行成果交流、評(píng)價(jià).

（2）充分利用信息技術(shù)手段（如GeoGebra軟件），可能會(huì)有更加豐富的成果.

（3）為你們收獲的“定理”命名，注意留存過(guò)程性記錄，重要活動(dòng)與討論都要有文字與圖片記錄. 每組成員原則上不超過(guò)六人.

（4）采用統(tǒng)一規(guī)范的符號(hào)和圖形，以便交流探討.

規(guī)范表示：如圖1，在[△ABC]中，點(diǎn)[D，E，F(xiàn)]分別是邊[BC，CA，AB]的中點(diǎn)，點(diǎn)[G]是重心. 為了符號(hào)表示的一致性，我們習(xí)慣在[△ABC]中，用點(diǎn)[G]表示重心，點(diǎn)I表示內(nèi)心，點(diǎn)O表示外心，點(diǎn)H表示垂心.

【設(shè)計(jì)意圖】以終為始，用驅(qū)動(dòng)問(wèn)題激發(fā)學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)探究的欲望，給出項(xiàng)目實(shí)施的要求、規(guī)范使用的符號(hào)及圖形語(yǔ)言，明確探究任務(wù)和最后的成果，讓學(xué)生對(duì)項(xiàng)目有整體的認(rèn)知.

環(huán)節(jié)2：示范探究，指導(dǎo)方法.

探究任務(wù)：教材在證明三角形三條中線交于一點(diǎn)的同時(shí)，“順便”發(fā)現(xiàn)了重心的一個(gè)性質(zhì)——重心到頂點(diǎn)的距離與重心到其對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2∶1. 顯然，中線與重心的性質(zhì)還沒(méi)有被完全挖掘，試沿著這條線索繼續(xù)探索屬于我們自己的“定理”吧！

問(wèn)題1：面積是三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，結(jié)合圖1，你能“順便”得到與面積有關(guān)的結(jié)論嗎？

師生活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生觀察教材中關(guān)于三角形中線交于一點(diǎn)的證明過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生嘗試發(fā)現(xiàn)結(jié)論，并給出證明. 讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程.

預(yù)設(shè)答案：（1）發(fā)現(xiàn)面積關(guān)系.

如圖1，每條中線等分三角形的面積，當(dāng)三條中線交于一點(diǎn)后必有：[S△AFG=S△BFG=S△BDG=S△CDG=S△CEG=][S△AEG][=16S△ABC，] 于是得到以下結(jié)論.

結(jié)論1：三角形重心與頂點(diǎn)的連線將三角形分為面積相等的三部分，即[S△ABG=S△BCG=S△CAG=13S△ABC.]

（2）發(fā)現(xiàn)中線的向量表達(dá)式.

結(jié)論2：[AD=12AB+12AC.]

把中線向量回歸到邊所在的向量：[AD=12AB+][12AC， BE=12BA+12BC， CF=12CA+12CB，] 將三個(gè)式子疊加，得到以下結(jié)論.

結(jié)論3：[AD+BE+CF=0.]

（3）重心的向量表達(dá)式.

在結(jié)論3兩邊同乘[-23，] 就可以得到結(jié)論4.

結(jié)論4：點(diǎn)G為△ABC的重心的充要條件是[GA+][GB+GC=0.]

證明：如圖1，可知[2GD=GB+GC.]

由[GA+GB+GC=0，] 得[-GA=GB+GC.]

所以[-GA=2GD.]

所以點(diǎn)G在中線AD上.

同理可得，點(diǎn)G在中線[BE，CF]上.

故點(diǎn)G為△ABC的重心.

在結(jié)論3兩邊同乘[13]，就可以得到結(jié)論5.

結(jié)論5：三角形與它的中位線三角形（其各邊中點(diǎn)連線圍成的三角形）共重心. 如圖2，即有[GD+GE+][GF=0.]

（4）把點(diǎn)G一般化.

如圖3，如果把重心[G]換為任意一點(diǎn)[P]，則有[GA=]

[PA-PG， GB=PB-PG， GC=PC-PG.] 代入結(jié)論4，

得[0=PA+PB+PC-3PG.]

結(jié)論6：對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，關(guān)于△ABC有[PA+PB+PC=3PG].

特別地，當(dāng)點(diǎn)[P]與重心[G]重合時(shí)[PG=0，] 此時(shí)[GA+GB+GC=0.]

以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)論6也可以看作重心的坐標(biāo)表示[GxA+xB+xC3， yA+yB+yC3.]

追問(wèn)：上述探究過(guò)程中用到了哪些研究方法？從三角形和向量?jī)蓚€(gè)角度進(jìn)行分析.

師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試總結(jié)，教師予以補(bǔ)充、完善.

從三角形的角度來(lái)看，以上所有結(jié)論都是圍繞重心進(jìn)行探究的，結(jié)論1與面積相關(guān)，結(jié)論2至結(jié)論5是與重心有關(guān)的不同線段組成的向量表達(dá)式，結(jié)論6是通過(guò)重心一般化得到的.

從向量法的角度來(lái)看，結(jié)論2始于向量的加法法則，結(jié)論3至結(jié)論5是結(jié)合三角形中線段的特點(diǎn)進(jìn)行的數(shù)乘運(yùn)算，結(jié)論6利用了向量中的閉合回路.

實(shí)際教學(xué)情況：部分學(xué)生在探究過(guò)程中喜歡利用傳統(tǒng)幾何方法推理論證，不愿意主動(dòng)應(yīng)用向量法，不會(huì)自覺(jué)應(yīng)用向量的不同運(yùn)算方法發(fā)現(xiàn)新的關(guān)系. 教師可以以這一系列發(fā)現(xiàn)為契機(jī)，進(jìn)一步闡述向量作為工具的優(yōu)越性，即向量具備運(yùn)算與推理兩方面的優(yōu)勢(shì).

【設(shè)計(jì)意圖】激發(fā)學(xué)生的探究興趣，并讓學(xué)生初步了解如何依據(jù)研究對(duì)象（三角形）的特點(diǎn)，利用工具（向量）進(jìn)行探索發(fā)現(xiàn)，為后續(xù)自主探究奠基.

問(wèn)題2：由問(wèn)題1可知，發(fā)現(xiàn)“定理”似乎并不是一件難事. 反思發(fā)現(xiàn)與論證的過(guò)程，與平時(shí)解題是類似的. 如果把解題比作“配鑰匙”，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)就是要解密整個(gè)鎖的構(gòu)造原理，就是在“造鎖”. 那么，究竟是什么向量關(guān)系把三角形的性質(zhì)都“鎖”起來(lái)了呢？三角形中最基本的向量關(guān)系是什么？在上述探究過(guò)程中，哪些地方用到了這個(gè)關(guān)系？

預(yù)設(shè)答案：三角形中最基本的向量關(guān)系為閉合回路[AB+BC+CA=0.] 證明三角形中線交于一點(diǎn)依據(jù)的就是這個(gè)閉合回路，因此它是獲得以上系列結(jié)論的基礎(chǔ).

實(shí)際教學(xué)情況：學(xué)生基本能給出準(zhǔn)確回答，但是在提出此問(wèn)題前他們未感受到基本回路的重要性.

【設(shè)計(jì)意圖】厘清探究的起點(diǎn)，為學(xué)生搭建探究支架，提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

環(huán)節(jié)3：梳理方法，形成方案.

任務(wù)要求：梳理結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，把發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的脈絡(luò)繪制成思維導(dǎo)圖，歸納研究?jī)?nèi)容、視角、方法和路徑，提煉用向量法研究三角形性質(zhì)的一般觀念.

師生活動(dòng)：學(xué)生自主梳理，之后展示發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的脈絡(luò)，提煉用向量法研究三角形性質(zhì)的一般觀念.

預(yù)設(shè)答案：（1）從研究對(duì)象及方法來(lái)看：三角形的豐富性質(zhì)蘊(yùn)含在邊與角、頂點(diǎn)與邊、特殊的點(diǎn)與邊、點(diǎn)與線、線與線的關(guān)系中，于是我們把主要研究對(duì)象確定為上述幾何量. 通過(guò)觀察它們之間的聯(lián)系，采用一般化、特殊化、類比等方法發(fā)現(xiàn)值得研究的問(wèn)題.

教材中論證了勾股定理，我們可以把三角形的形狀一般化探究出余弦定理;教材論證了三條中線交于一點(diǎn)即重心，我們可以類比研究角平分線與內(nèi)心，中垂線與外心. 因此，我們把主要研究路徑確定為“類比、特殊—一般—特殊”.

（2）從研究工具來(lái)看：向量是實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合研究幾何問(wèn)題的重要工具，三角形的許多性質(zhì)都能轉(zhuǎn)化成向量的運(yùn)算加以論證，三角形的性質(zhì)可以借助向量運(yùn)算不斷拓展.

在證明三角形中線交于一點(diǎn)時(shí)，用向量法研究三角形的幾何性質(zhì)，嘗試合理選擇基底，可以使運(yùn)算更加簡(jiǎn)潔. 在進(jìn)一步探索發(fā)現(xiàn)如上結(jié)論1到結(jié)論6的過(guò)程中，了解了用向量的線性運(yùn)算通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)結(jié)論的途徑，知道了探究的起點(diǎn)——三角形閉合回路[AB+BC+][CA=0.]

問(wèn)題3：我們發(fā)現(xiàn)用向量研究平面幾何的核心是運(yùn)算，之前的探究都集中在線性運(yùn)算，能否用數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行探索發(fā)現(xiàn)呢？將兩種運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)還能發(fā)現(xiàn)其他結(jié)論嗎？

預(yù)設(shè)答案：（1）用數(shù)量積計(jì)算中線模長(zhǎng).

如圖2，從結(jié)論2出發(fā)，進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算. 由[AD=][12AB+AC，] 得[AD2=14AB+AC2=14AB2+AC2+4AD2-CB22.]

化簡(jiǎn)得中線長(zhǎng)公式.

結(jié)論7：[AD2=12AB2+12AC2-14CB2.]

上述用數(shù)量積的算法比較常見(jiàn)，如果放在平行四邊形中不難得到以下結(jié)論.

結(jié)論8：平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和.

（2）將點(diǎn)D的位置一般化.

如果將中線長(zhǎng)問(wèn)題一般化，使點(diǎn)D仍然在邊BC上，但不一定是中點(diǎn).

如圖4，設(shè)[CD=λCB，] 借助三角閉合回路拆分向量，得[AD-AC=λAB-AC，] 即有三點(diǎn)共線的充要條件.

結(jié)論9：[AD=λAB+1-λAC.]

平方后用余弦定理?yè)Q掉數(shù)量積，得到如下結(jié)論.

結(jié)論10：[AD2=λAB2+1-λAC2-λ1-λCB2.]

特別地，當(dāng)[λ=12]時(shí)，為中線長(zhǎng)公式.

追問(wèn)：你能從教材中找到上述探究推進(jìn)思路的身影嗎？談一談你對(duì)向量法研究幾何問(wèn)題的一般套路的理解.

預(yù)設(shè)答案：（1）教材第32頁(yè)的例9，定比分點(diǎn)公式的探究體現(xiàn)了從特殊到一般的研究路徑.

（2）教材中余弦定理與正弦定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程借助了向量的數(shù)量積運(yùn)算.

教師講解：數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，開(kāi)展自主探究、合作研究并最終解決問(wèn)題的過(guò)程. 具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問(wèn)題的思路和方案，通過(guò)自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論. 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容. 因此，數(shù)學(xué)探究的基本程序及對(duì)應(yīng)行為如圖5所示.

實(shí)際教學(xué)情況：學(xué)生初涉數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，僅憑教師闡述《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）給出的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的概念很難真正理解其內(nèi)涵，這就需要教師在第1課時(shí)后的課下活動(dòng)中，通過(guò)不斷指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)為的“探究成果”，解釋何為真正的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，即我們究竟要做什么. 這樣更能促進(jìn)學(xué)生理解探究的真諦.

【設(shè)計(jì)意圖】在梳理、總結(jié)環(huán)節(jié)2中研究?jī)?nèi)容、思路和方法的基礎(chǔ)上，又補(bǔ)充了利用向量的數(shù)量積進(jìn)行探究的實(shí)例，理解用向量法研究三角形性質(zhì)的一般觀念，掌握探究，并讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的本質(zhì)，積累探究經(jīng)驗(yàn).

環(huán)節(jié)4：布置作業(yè)，自主探究.

項(xiàng)目作業(yè)：延續(xù)上述探究過(guò)程，還能提出哪些有價(jià)值的問(wèn)題？在自主探究的基礎(chǔ)上，以小組為單位完成中期報(bào)告. 注意梳理問(wèn)題發(fā)現(xiàn)的脈絡(luò)，完善思維導(dǎo)圖.

要求：在兩周之內(nèi)完成，期間可以求助教師，也要經(jīng)常開(kāi)展小組內(nèi)的討論交流.

師生活動(dòng)：學(xué)生課下完成. 教師監(jiān)督、指導(dǎo)，并批閱學(xué)生的探究成果，梳理出中期報(bào)告的基本思路.

【設(shè)計(jì)意圖】給學(xué)生充足的時(shí)間，讓學(xué)生進(jìn)行深度探究，在教師的指導(dǎo)下開(kāi)展真正的數(shù)學(xué)探究.

實(shí)際教學(xué)情況：（1）大多數(shù)學(xué)生容易把數(shù)學(xué)探究活動(dòng)誤認(rèn)為習(xí)題課，實(shí)際操作中可能會(huì)將以往在解題中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，或直接查閱資料獲得的結(jié)論，逐一羅列，再加以證明. 教師應(yīng)及時(shí)追問(wèn)這些結(jié)論是如何被發(fā)現(xiàn)的（習(xí)題是如何被設(shè)計(jì)出來(lái)的），引導(dǎo)學(xué)生利用已有結(jié)論按照三角形性質(zhì)的五個(gè)層次及向量法的“三步曲”展開(kāi)探究.

（2）部分學(xué)生在探究過(guò)程中會(huì)利用查閱資料得到的一些結(jié)論，“執(zhí)果索因”探索來(lái)源，這樣容易造成各個(gè)結(jié)論之間彼此孤立，導(dǎo)致探究成果雜亂無(wú)章. 教師可以引導(dǎo)學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖，借助邏輯鏈條有序串聯(lián)，進(jìn)一步厘清探究發(fā)現(xiàn)的路徑，雙向遞進(jìn).

（3）部分學(xué)生在探究過(guò)程中不會(huì)自覺(jué)地應(yīng)用向量的不同運(yùn)算方法發(fā)現(xiàn)新的關(guān)系，尤其對(duì)數(shù)量積運(yùn)算運(yùn)用的意識(shí)薄弱. 教師可以引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)兩類向量運(yùn)算的探究方向，進(jìn)行不定向探索，對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行化簡(jiǎn)，在運(yùn)算過(guò)程中提取有價(jià)值的向量表達(dá)式. 同時(shí)，進(jìn)一步指出向量具備運(yùn)算與推理兩方面的優(yōu)勢(shì)，強(qiáng)化樹(shù)立向量工具的優(yōu)越性.

（4）教師指導(dǎo)學(xué)生按照不同的探究路徑梳理自己的探究成果，不斷強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的認(rèn)知，針對(duì)學(xué)生在探究過(guò)程中遇到的問(wèn)題與障礙，篩選、收集示范展示案例，按照一定的邏輯關(guān)系，對(duì)學(xué)生探究獲得的結(jié)論進(jìn)行排序，指導(dǎo)學(xué)生為第2課時(shí)的展示交流做好準(zhǔn)備. 具體內(nèi)容見(jiàn)第2課時(shí)的展示.

第2課時(shí)：項(xiàng)目研究中期交流.

環(huán)節(jié)1：展示成果，啟迪思維.

具體任務(wù)：大家經(jīng)過(guò)前期的探究各自收獲了一些成果，也遇到了一些困難，深切感受到提出一個(gè)有價(jià)值的問(wèn)題比論證一個(gè)已有的結(jié)論困難得多. 因此，我們把本次中期匯報(bào)的重點(diǎn)確定為展示并交流“發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的脈絡(luò)”.

師生活動(dòng)：教師在課前對(duì)學(xué)生的成果進(jìn)行整理，課上引導(dǎo)學(xué)生按照在第1課時(shí)環(huán)節(jié)2及環(huán)節(jié)3中總結(jié)出來(lái)的研究思路有序地、系統(tǒng)地表述研究成果，重點(diǎn)展示發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題的過(guò)程，小組間相互評(píng)價(jià)，提出下一步研究的建議.

實(shí)際教學(xué)情況：以三角形“向量閉合回路”為起點(diǎn)，按照向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算為兩條展示方向，分層展示三角形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，注重強(qiáng)調(diào)性質(zhì)之間的聯(lián)系.

例如，三角形重心與頂點(diǎn)的連線將三角形的面積三等分[S△ABG=S△BCG=S△CAG=13S△ABC.] 將重心一般化會(huì)有什么類似結(jié)論？利用GeoGebra軟件發(fā)現(xiàn)，在[△ABC]中，[G]是重心，[GA+GB+GC=0]已經(jīng)呈現(xiàn)，再把上式中[GA， GB， GC]分別作任意伸縮[GA=xGA， GB=yGB，][GC=zGC，] 即[?x，y，z∈R+，] 使得[xGA+yGB+zGC=0.] 此時(shí)點(diǎn)[G]是[△ABC]內(nèi)任意一點(diǎn)，收獲如下一般性結(jié)論.

結(jié)論11：對(duì)于[△ABC]內(nèi)任意一點(diǎn)P，有[S△APBPA+][S△BPCPB+S△CPAPC=0. ]

再由一般到特殊：可將點(diǎn)P位置特殊化，分別讓點(diǎn)P與“四心”之一重合能收獲什么成果呢？

在[△ABC]中，點(diǎn)[G]表示重心，點(diǎn)I表示內(nèi)心，點(diǎn)O表示外心，點(diǎn)H表示垂心. 得[GA+GB+GC=0.]

結(jié)論12：對(duì)于[△ABC]的內(nèi)心I，有[aIA+bIB+][cIC=0.]

結(jié)論13：對(duì)于[△ABC]的外心O，有[sin2A · OA+][sin2B · OB+sin2C · ?OC=0.]

結(jié)論14：對(duì)于[△ABC]的垂心H，有[tanA · ?OA+][tanB · OB+tanC · ?OC=0.]

由于外心與垂心不一定在三角形內(nèi)部，因此可以把點(diǎn)P再一般化到[△ABC]所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P，還會(huì)有類似結(jié)論嗎？

環(huán)節(jié)2：布置作業(yè)，完善成果.

項(xiàng)目專題作業(yè)：（1）對(duì)已有成果整理所成的資料中的論證過(guò)程進(jìn)行仔細(xì)閱讀并糾錯(cuò)，對(duì)重大邏輯缺陷進(jìn)行修訂.

（2）對(duì)本組未能想到的問(wèn)題開(kāi)展探究，或?qū)⑻骄窟M(jìn)一步延伸，同時(shí)完成結(jié)題報(bào)告.

要求：小組課下活動(dòng)完成，一周之內(nèi)完成.

實(shí)際教學(xué)情況：（1）學(xué)生此時(shí)容易滿足于某一組結(jié)論的發(fā)現(xiàn)和論證，裹足不前. 教師可以引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)小組間研討，取長(zhǎng)補(bǔ)短，同時(shí)給予學(xué)生精神上的鼓勵(lì)與支持，促進(jìn)探究活動(dòng)不斷深入推進(jìn).

（2）隨著探究的深入，三角形中的要素和相關(guān)要素會(huì)變得生疏、關(guān)系復(fù)雜，探究對(duì)象的直觀性降低，計(jì)算難度提升，導(dǎo)致探究推進(jìn)的難度增加. 教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)借助GeoGebra軟件等信息技術(shù)手段，提升圖形直觀性. 合理確定基底，降低運(yùn)算的復(fù)雜性.

（3）學(xué)生對(duì)評(píng)價(jià)方案的理解較為單一，普遍認(rèn)為評(píng)價(jià)即為量化評(píng)價(jià). 教師應(yīng)該引導(dǎo)并鼓勵(lì)學(xué)生提前相互審閱探究成果，結(jié)合該組在活動(dòng)中的綜合表現(xiàn)，對(duì)比自我表現(xiàn)，認(rèn)真撰寫(xiě)客觀公正、富有創(chuàng)意、言辭優(yōu)美且富有數(shù)學(xué)韻味的結(jié)題評(píng)價(jià)語(yǔ).

（4）學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，按照展示要求制作演示文稿，撰寫(xiě)結(jié)題報(bào)告.

第3課時(shí)：項(xiàng)目作品，展示分享.

環(huán)節(jié)1：分組匯報(bào)，成果分享.

師生活動(dòng)：小組項(xiàng)目負(fù)責(zé)人匯報(bào)成果，其他成員補(bǔ)充并做好記錄，認(rèn)真反思，取長(zhǎng)補(bǔ)短，教師記錄對(duì)該組的質(zhì)疑，匯報(bào)后可以提問(wèn)，指出各組的優(yōu)、缺點(diǎn).

實(shí)際教學(xué)情況：經(jīng)過(guò)前期充分的探究和認(rèn)真的梳理，學(xué)生此次匯報(bào)非常精彩.（匯報(bào)成果見(jiàn)本文對(duì)應(yīng)線上資源.）

環(huán)節(jié)2：項(xiàng)目總結(jié)，反思升華.

師生活動(dòng)：學(xué)生談對(duì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的體會(huì)，以及在活動(dòng)中的收獲. 師生共同評(píng)出優(yōu)勝小組. 教師做出結(jié)題評(píng)價(jià). 教師針對(duì)學(xué)生在活動(dòng)中的表現(xiàn)為各小組撰寫(xiě)結(jié)題詞.

實(shí)際教學(xué)情況：由于要求學(xué)生用相互撰寫(xiě)結(jié)題詞的方法開(kāi)展小組間結(jié)題評(píng)價(jià)，這就需要學(xué)生仔細(xì)閱讀與研究其他組收獲的成果與結(jié)題報(bào)告. 因此，小組互評(píng)也是開(kāi)展二次探究相互借鑒的極佳平臺(tái). 大量語(yǔ)言優(yōu)美、客觀公正的結(jié)題詞出現(xiàn)，也是對(duì)學(xué)生勞動(dòng)成果的一種肯定，更能激發(fā)學(xué)生的探究興趣.

二、教學(xué)反思

1. 課下苦耕耘，課上展風(fēng)采

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)方式的一種有效途徑. 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的主陣地是在課下，課上、課下各有其功能. 課下是開(kāi)展深度探究的時(shí)間，課上是展示交流、互相啟迪的場(chǎng)所.

本次探究活動(dòng)，學(xué)生課下活動(dòng)的時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于課上的時(shí)間. 第一次課下活動(dòng)是在啟動(dòng)項(xiàng)目之前，學(xué)生自主閱讀教材了解數(shù)學(xué)探究，了解探究的內(nèi)容、方法等. 第二次課下活動(dòng)是在第1課時(shí)之后，這是一個(gè)艱辛漫長(zhǎng)的過(guò)程，也是沖破思維定式、超越自我、探索成果、收獲成就感、體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究樂(lè)趣的過(guò)程. 第三次課下活動(dòng)是在第2課時(shí)之后，學(xué)生經(jīng)歷了項(xiàng)目研究的中期交流，相互啟迪思維，總體思考，構(gòu)建了探索研究的思維框架，完善了自我研究成果. 第四次課下活動(dòng)是在第3課時(shí)之后，完善成果、發(fā)布成果、完成數(shù)學(xué)探究. 課下探究的方式包括自主探究、小組合作探究，以及教師幫助之下的探究.

課堂上的交流與展示讓學(xué)生進(jìn)行思維碰撞是必要的，但必須是在學(xué)生經(jīng)歷了課前的思考并形成一定的認(rèn)知之后. 而且算法的設(shè)計(jì)、結(jié)論的駁斥與論證都需要學(xué)生置身于一個(gè)安靜的環(huán)境，通過(guò)思考，不斷試錯(cuò)，才能最終收獲成果，僅憑課堂上的45分鐘是無(wú)法完成的. 因此，真正的數(shù)學(xué)探究一定要保證學(xué)生充足的自主探究時(shí)間.

2. 興趣開(kāi)路，成就感引領(lǐng)，攀登“美”的高峰

以項(xiàng)目學(xué)習(xí)的方式開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，更能讓學(xué)生在做項(xiàng)目的過(guò)程中不斷獲得“成就感”，使其探究興趣得以保持.

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，嘗試從數(shù)學(xué)的角度刻畫(huà)審美的共性，主要包括簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、周期、和諧等. 學(xué)生反復(fù)嘗試向量運(yùn)算，在眾多結(jié)論中確定何為終點(diǎn). 在探究的過(guò)程中，由于選擇方法不佳，他們陷入了繁雜計(jì)算的泥坑，但是他們沒(méi)有放棄，幾次反思之后，終于一躍而出，雖然過(guò)程艱辛，但是也有意外收獲. 針對(duì)相同的問(wèn)題，不同的小組選擇了相同的思路，但是卻選擇了不同的基底，于是解法難易度的差別很大，但是這兩條路沒(méi)有優(yōu)劣之分. 選擇簡(jiǎn)潔的路，能夠快速達(dá)成目標(biāo)，享受了數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔美帶來(lái)的成就感;選擇復(fù)雜的路，獲得了額外的收獲，享受了數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美. 他們一路前行、一路探索，直到一個(gè)符合數(shù)學(xué)美的結(jié)論出現(xiàn). 一個(gè)“美”的結(jié)論，讓人賞心悅目，更容易留下深刻印象. 這一個(gè)個(gè)“美”的結(jié)論，就是攀登數(shù)學(xué)高峰的階梯，在這個(gè)探究活動(dòng)中，學(xué)生充分感受到了. 特別是最后總結(jié)出來(lái)的結(jié)構(gòu)圖，帶領(lǐng)學(xué)生攀登到了“美”的高峰.

這一次探究活動(dòng)，無(wú)論對(duì)教師還是對(duì)學(xué)生都是全新的體驗(yàn). 雖然問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、解決都是由學(xué)生完成的，但是教師必須有充分的準(zhǔn)備. 一方面，教師要對(duì)所探究問(wèn)題的解決有系統(tǒng)的分析和研究;另一方面，教師要對(duì)探究過(guò)程中出現(xiàn)的任何問(wèn)題有敏銳的認(rèn)知，并給予學(xué)生方法的指導(dǎo)及精神的鼓舞，讓數(shù)學(xué)探究歷經(jīng)艱險(xiǎn)達(dá)到成功. 以成功激勵(lì)成功，以成功激發(fā)興趣. 數(shù)學(xué)探究讓教學(xué)回歸數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本真，蕩滌心靈、陶冶情操. 這次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，使學(xué)生真切感受到了數(shù)學(xué)探究的魅力，開(kāi)拓了學(xué)生的思維，增加了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心，是值得去做且應(yīng)該去做的.

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