一道中考平行四邊形面積問題的探解

劉迎 左效平

真題呈現(xiàn)

（2020·山東·臨沂）如圖1，P是面積為S的[?]ABCD內(nèi)任意一點，△PAD的面積為[S1]，△PBC的面積為[S2]，則（）.

A. [S1] + [S2] > [S2]? ? ? ? ? ? ?B. [S1] + [S2] < [S2]

C. [S1] + [S2] = [S2]? ? ? ? ? ? ? D. [S1] + [S2]與點P的位置有關(guān)

精講精析

解法1：構(gòu)造共高法

如圖2 ，過點P作EF⊥AD，交AD于點E，交BC于點F，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD = BC，AD[?]BC，EF⊥BC，

∴S = BC[·]EF，[S1] = [AD·PE2]，[S2] = [BC·PF2]，

∴[S1] + [S2] = [AD·PE2] + [BC·PF2] = [BC·（PE+PF）2].

∵EF = PE + PF，∴[S1] + [S2] = [BC·EF2] = [S2].

故選C.

解法2：構(gòu)造平行四邊形法

如圖3，過點P作EF[?]AD，交DC于點E，交AB于點F，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形AFED是平行四邊形，四邊形BCEF是平行四邊形，

∴[S1] = [12][S?AFED]，[S2] = [12][S?BCEF]，

∴[S1] + [S2] = [12]（[S?AFED] + [S?BCEF]）.

∵[S?AFED] + [S?BCEF] = S，∴[S1] + [S2] = [S2]. 故選C.

規(guī)律：1.平行四邊形內(nèi)共頂點兩個三角形的面積和等于平行四邊形的面積的一半;2.平行四邊形另一組對邊構(gòu)成的共頂點的兩個三角形的面積和一定是平行四邊形的面積的一半.

引申探究

結(jié)論1：如圖3，P是面積為S的[?]ABCD內(nèi)任意一點，△PAD的面積為[S1]，△PBC的面積為[S2]，△PCD的面積為[S3]，△PAB的面積為[S4]，則（1）[S1] + [S2] = [S2];（2）[S3] + [S4] = [S2];（3）[S1] + [S2] = [S3] + [S4].

結(jié)論2：如圖4，P是[?]ABCD內(nèi)任意一點，△PAD的面積為[S1]，△PAB的面積為[S2]，△PAC的面積為[S3]，則[S3] = [S2] - [S1].

解析：設(shè)△PCB的面積為[S4]，△PCD的面積為[S5]，[?]ABCD的面積為S，

根據(jù)題意，得[S3] = S - [S1] - [S5] - [S△ABC] = S - [S1] - [S5] - [S2] = [S2 - S5] - [S1] = [S2] - [S1].

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時間：10分鐘

1. P是?ABCD內(nèi)任意一點，且△PBA的面積為5，△PAD的面積為2，則△PAC的面積為 .（答案見第25頁）

2. P是?ABCD內(nèi)任意一點，且△PAD的面積為5，△PAC的面積為2，則△PBA的面積為 .（答案見第25頁）

難度系數(shù)：★★★★ 解題時間：15分鐘

3.如圖5，平行四邊形ABCD的邊AB，CD的中點分別為E，F(xiàn)，分別以AD，BC為邊在平行四邊形ABCD的內(nèi)部作等邊三角形ADG和等邊三角形BCH. （1）連接FH，EG，求證：四邊形EHFG是平行四邊形;（2）若平行四邊形ABCD的面積為S，等邊三角形ADG的面積為[S1]，求陰影四邊形EHFG的面積.（答案見第25頁）

（作者單位：山東省沂源縣沂河源學(xué)校，山東省沂源縣徐家莊中心學(xué)校）