淺談數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)習(xí)中的運(yùn)用

秦麗娜

[摘? 要] 兒童思維方式以具體形象為主，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)數(shù)學(xué)問題與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將某些抽象的問題具體化、直觀化、生動(dòng)化，從而使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙和諧地結(jié)合在一起，并利用這種結(jié)合尋找問題的解決方案，符合兒童的認(rèn)知規(guī)律。這既揭示了數(shù)學(xué)含義及其幾何意義，又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;教學(xué)策略;數(shù)學(xué)思想方法

日本數(shù)學(xué)家米山國藏說過，“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點(diǎn)等，這些隨時(shí)隨地地發(fā)生作用，使人終身受益?！边@句話深刻揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)的核心靈魂并不在于其知識(shí)本身，而是在于數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法。數(shù)形結(jié)合作為一種貫穿數(shù)學(xué)學(xué)科始終的數(shù)學(xué)思想方法，通過“數(shù)”與“形”之間的對(duì)應(yīng)與轉(zhuǎn)化，使得復(fù)雜問題簡單化、具體化，成為便捷解題、把握數(shù)學(xué)核心本質(zhì)的最佳途徑之一，對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)有極大的幫助。

[?]一、巧用數(shù)形結(jié)合，理解數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是小學(xué)階段的重點(diǎn)學(xué)習(xí)模塊，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的思維基礎(chǔ)和知識(shí)基礎(chǔ)。學(xué)生在數(shù)學(xué)計(jì)算過程中的馬虎、對(duì)概念混淆不清、濫用數(shù)學(xué)規(guī)律和運(yùn)算法則、不明白圖形之間的關(guān)系等常見問題，都是由于學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解模糊不清而導(dǎo)致的。在傳統(tǒng)的教育模式下，教師的教學(xué)重心往往放在讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念死記硬背上，而忽視了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和認(rèn)知，從而造成了學(xué)生對(duì)概念的機(jī)械化記憶和理解，這種教學(xué)模式極大地阻礙了學(xué)生數(shù)學(xué)成績的提升，也難以讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。而在數(shù)學(xué)概念中巧妙地滲透數(shù)形結(jié)合，能夠?qū)⒛：摹⒒逎臄?shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為直觀的、易于學(xué)生接受的信息，從而幫助學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵進(jìn)行深度剖析和理解，達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果。

案例1? 分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（第二課時(shí)）

本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)掌握一些整數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，從“整數(shù)”到“分?jǐn)?shù)”的學(xué)習(xí)，是數(shù)的概念的一次拓展與延伸，也是一次質(zhì)的飛躍。教材主要利用學(xué)生所熟悉的具體事例，通過演示與操作，使學(xué)生逐步形成對(duì)分?jǐn)?shù)的正確表象，建立對(duì)分?jǐn)?shù)的初步概念。筆者根據(jù)以往的教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的概念理解不夠透徹，導(dǎo)致他們在作業(yè)和考試中頻頻出錯(cuò)。因此，為了突破這一教學(xué)難點(diǎn)，筆者在教學(xué)中融合數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生建立直觀的印象，促進(jìn)學(xué)生深入理解分?jǐn)?shù)的概念。

學(xué)生經(jīng)過第一課時(shí)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)，在本節(jié)課的教學(xué)中，筆者通過對(duì)“分?jǐn)?shù)墻”的解讀，滲透著數(shù)形結(jié)合思想，一方面幫助學(xué)生回顧第一課時(shí)的內(nèi)容，另一方面為學(xué)生進(jìn)一步探索分?jǐn)?shù)的性質(zhì)做好鋪墊。

結(jié)合“分?jǐn)?shù)墻”解決以下問題（圖1）：

（1）在“分?jǐn)?shù)墻”中，你能找到哪些分?jǐn)?shù)？并將它們按照從小到大的順序進(jìn)行排列。相同的長方形，平均分的份數(shù)越____（多/少），分?jǐn)?shù)單位越____（大/?。?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)越____（多/少），得到的分?jǐn)?shù)就越____（大/?。?，反之，分?jǐn)?shù)越____（大/小）。

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)分?jǐn)?shù)的尋找和排序，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)“分?jǐn)?shù)墻”中的基本規(guī)律，初步了解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

（2）1里面有幾個(gè)，幾個(gè)……幾個(gè)？

設(shè)計(jì)意圖：從分?jǐn)?shù)的意義出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生先通過對(duì)一張長方形紙的平均分找到問題中所要的分?jǐn)?shù)，然后利用“分?jǐn)?shù)墻”驗(yàn)證自己答案的正確性。在此過程中，筆者著重讓學(xué)生一個(gè)分?jǐn)?shù)單位一個(gè)分?jǐn)?shù)單位地?cái)?shù)，感受每個(gè)分?jǐn)?shù)里究竟有幾個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子就是幾，這樣有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)結(jié)構(gòu)形式的理解。

（3）哪幾個(gè)分?jǐn)?shù)相加的和等于1？你能提出類似的數(shù)學(xué)問題并解答嗎？

設(shè)計(jì)意圖：將學(xué)習(xí)的權(quán)利交還給學(xué)生，讓他們自問自答，并在此過程中再次體會(huì)分的份數(shù)與取的份數(shù)相等時(shí)，也就是分子與分母相等時(shí)，這個(gè)分?jǐn)?shù)的值與“1”相等。

（4）寫分?jǐn)?shù)時(shí)，可以按照大格將鐘面分成12份，也可以從分鐘的角度將鐘面分成60份，這樣用分?jǐn)?shù)表示出的結(jié)果就不相同（圖2）。分針從12旋轉(zhuǎn)到下面各個(gè)位置，所經(jīng)過的區(qū)域占整個(gè)鐘面的幾分之幾？用分?jǐn)?shù)表示出來。

“分?jǐn)?shù)墻”是按照“幾個(gè)幾分之一就是幾分之幾”的原理，對(duì)真分?jǐn)?shù)和1進(jìn)行分解而得到的數(shù)學(xué)模型。在本節(jié)課的教學(xué)中，利用“分?jǐn)?shù)墻”可以讓學(xué)生直觀地判斷分?jǐn)?shù)大小，而且也可以進(jìn)行同分母分?jǐn)?shù)的加減法運(yùn)算，這為學(xué)生發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)奠定了很好的基礎(chǔ)，也在潛移默化中培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想。

[?]二、巧用數(shù)形結(jié)合，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中增加了“幾何直觀”核心概念，主要是利用圖表描述和分析問題，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。數(shù)形結(jié)合是充分運(yùn)用“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)性和“形”的直觀性，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，通過圖形的描述和代數(shù)的論證來研究數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是幾何直觀，將代數(shù)問題“幾何化”。

“模型思想”是新教材的十大核心詞之一。由于小學(xué)生的年齡較小，影響了他們構(gòu)建模型的效率，所以在新課標(biāo)背景下，教師更多的是引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)規(guī)律，這對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率大有裨益。

案例2? 乘法分配律模型

“運(yùn)算律”是高度概括的運(yùn)算知識(shí)，是人們經(jīng)過大量的計(jì)算與實(shí)踐得出的經(jīng)驗(yàn)和結(jié)論。乘法分配律是小學(xué)階段學(xué)生最難理解和掌握的運(yùn)算定律，其原因是它包含了兩種運(yùn)算，且在大部分的課堂教學(xué)中，教師更多關(guān)注的是乘法分配律的死記硬背和實(shí)際應(yīng)用，而忽視了對(duì)其算理的推導(dǎo)過程，導(dǎo)致學(xué)生未能真正理解乘法分配律的本質(zhì)。因此，在“乘法分配律”的復(fù)習(xí)課中，筆者通過多種表征促進(jìn)學(xué)生加深對(duì)乘法分配律的理解，學(xué)會(huì)從不同的角度闡釋乘法分配律的意義，從而構(gòu)建乘法分配律的數(shù)學(xué)模型。

兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們分別與這個(gè)數(shù)相乘，再將積相加，這叫作乘法分配律。用代數(shù)式來表示：c×（a+b）=c×a+c×b。

（1）在三年級(jí)口算與筆算中構(gòu)建乘法分配律的模型。

在兩位數(shù)乘一位數(shù)中：12×3=36，（10+2）×3=10×3+2×3，求14×12。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生在口算12×3和筆算14×12中探尋乘法分配律的規(guī)律，并借助圖3中的小棒圖和直觀點(diǎn)子圖進(jìn)一步體會(huì)乘法分配律的意義。

（2）在解決相遇問題中構(gòu)建乘法分配律的模型。

小林和小云兩人從家出發(fā)，騎車相向而行，其中，兩人的騎車速度分別為0.25千米/分、0.2千米/分，10分鐘后兩人騎車相遇，求小林家和小云家的距離。

（0.25+0.2）×10=0.25×10+0.2×10。

從以上問題的兩種解決方法來看，其核心本質(zhì)就是乘法分配律。小林家和小云家的距離，等于小林和小云分別騎車10分鐘的路程之和，也等于小林和小云每分鐘的路程之和乘10（分鐘）。這一計(jì)算過程，就是乘法分配律的計(jì)算模型。

（3）在長方形的周長和面積計(jì)算中構(gòu)建乘法分配律的模型。

長方形的周長是多少？

長方形周長=長+長+寬+寬=2×長+2×寬;

長方形周長=（長+寬）×2=2×長+2×寬。

兩個(gè)長方形的面積一共是多少？

a×c表示的是左邊長方形的面積，b×c表示的是右邊長方形的面積，將兩個(gè)長方形面積相加，得到的就是大長方形的面積。直接從圖6來看，大長方形的長就是a+b，寬為c，（a+b）×c即為大長方形的面積。

對(duì)學(xué)生而言，幾何圖形來得直觀易懂。這樣通過對(duì)一系列數(shù)學(xué)問題的探討，學(xué)生從中概括和提煉出乘法分配律的模型。

[?]三、巧用數(shù)形結(jié)合，解決數(shù)學(xué)問題

用數(shù)形結(jié)合思想幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，是一種符合小學(xué)生年齡特征的方法。簡單來說，“形”就是“生活”，“數(shù)”就是“數(shù)學(xué)”，數(shù)形結(jié)合就是指在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，對(duì)于“數(shù)”的問題，借助“形”去觀察;對(duì)于“形”的問題，借助“數(shù)”去思考。

案例3? 平均數(shù)問題

有6個(gè)數(shù)排成一行，它們的平均數(shù)是27，已知前4個(gè)數(shù)的平均數(shù)是23，后3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是34，第4個(gè)數(shù)是多少？

很多學(xué)生讀題后，思緒比較混亂，難以找到解決問題的突破口。事實(shí)上，在解決問題過程中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，能讓題目中的條件一目了然，讓抽象的問題變得直觀化、具體化，有利于學(xué)生對(duì)問題的分析和求解。

題目中的6個(gè)數(shù)，可以用6個(gè)圓圈來表示，由于它們的平均數(shù)是27，于是可以求出它們的總和為27×6=162。前4個(gè)數(shù)的平均數(shù)為23，它們的總和為23×4=92，后3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是34，它們的總和為34×3=102，那么剛才計(jì)算的數(shù)與第4個(gè)數(shù)有什么關(guān)系呢？前4個(gè)數(shù)的總和為92，后3個(gè)數(shù)的總和為102，結(jié)合圖形我們可以發(fā)現(xiàn)，將兩個(gè)結(jié)果相加時(shí)，第4個(gè)數(shù)被重復(fù)加了一次，所以第4個(gè)數(shù)就等于92+102-162=32。（如圖7）

數(shù)形結(jié)合是一種常用的教學(xué)模式和思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中巧妙地利用數(shù)形結(jié)合，可以幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念、建立數(shù)學(xué)模型、厘清數(shù)量，找到解決問題的突破口，有利于他們高效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，促進(jìn)興趣的培養(yǎng)、智力的開發(fā)和能力的增強(qiáng)，為今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。