淺談矩陣的初等行變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用

張亞龍

摘要：本文從矩陣的初等行變換出發(fā)，分別提出在矩陣、向量組、線性方程組、矩陣的特征向量、二次型中的一些應(yīng)用，并呈現(xiàn)對(duì)應(yīng)例題，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)矩陣的初等行變換的理解與應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：初等行變換;矩陣;向量組;線性方程組

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）21-0029-03

目前，《線性代數(shù)》這門課程是理工科和經(jīng)管類必開設(shè)的一門課程，主要內(nèi)容包括行列式、矩陣、線性方程組、向量組、相似矩陣、二次型等.矩陣的初等行變換貫穿在整個(gè)線性代數(shù)的內(nèi)容中，為了方便學(xué)生學(xué)習(xí)，下面歸納總結(jié)了關(guān)于矩陣初等行變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用.

1 矩陣中的應(yīng)用

1.1 求矩陣的逆

若矩陣A可逆，則A-1也可逆，A-1可以表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積，因此可由矩陣的初等行變換求A-1，即（A，E）初等行變換（E，A-1），我們將矩陣A和單位矩陣E都做初等行變換，當(dāng)矩陣A化為單位矩陣E時(shí)，單位矩陣E就變成了A-1.

例1求矩陣A=1-20

120

221的逆.

解作一個(gè)3×6的矩陣（A，E），并對(duì)其做矩陣的初等行變換.

（A，E）=1-20100

120010

221001→

10012120

010-14140

001-12-321=（E，A-1）.

因此，A-1=12120

-14140

-12-321.

1.2 求矩陣的秩

矩陣秩的定義是非零子式的最高階數(shù)，我們知道初等變換不改變矩陣的秩，對(duì)矩陣A做初等行變換化為行階梯形矩陣B，由行列式的性質(zhì)可知，矩陣A和矩陣B的非零子式最高階數(shù)相同，所以矩陣A與矩陣B的秩相等.

例2求矩陣A=1-1210

10011

2-2420

03001的秩.

解對(duì)矩陣A做初等行變換化為行階梯形矩陣.

A=1-1210

10011

2-2420

03001→1-1210

01-201

0060-2

00000=B

因?yàn)榫仃嘊中有三個(gè)非零行，即R（B）=3，所以R（A）=3.

2 在向量組中應(yīng)用

2.1 求向量組的秩

由于任何矩陣A，它的行秩=列秩=R（A），因此我們只需將向量組中的向量均按列構(gòu)成一個(gè)矩陣A，向量組的秩就等于矩陣A的秩.

例3求向量組α1=（1，-2，2），α2=（1，-4，0），α3=（1，-2，2）的秩.

解以αT1，αT2，αT3為列向量構(gòu)成矩陣A，并對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換，把A化為階梯形矩陣B.

A=111

-2-4-2

202→111

0-20

0-20→111

010

000=B，得R（A）=R（B）=2，又因?yàn)橄蛄拷Mα1，α2，α3的秩等于矩陣A的秩，即向量組α1，α2，α3的秩為2.

2.2 求向量組的極大無關(guān)組

由于初等行變換不改變矩陣列向量的線性關(guān)系，因此可由初等行變換求解向量組的極大無關(guān)組.

例4求向量組α1=（1，2，3，0），α2=（-1，-2，0，3），α3=（2，4，6，0），α4=（1，-2，-1，0）的一個(gè)極大線性無關(guān)組.

解以αT1，αT2，αT3，αT4為列向量構(gòu)成矩陣A，并對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換，把A化為行最簡(jiǎn)形矩陣B.

A=1-121

2-24-2

306-1

0300→1020

0100

0001

0000=B

非零行首非零元1所在的列作極大線性無關(guān)組，因此向量組α1，α2，α3，α4的一個(gè)極大線性無關(guān)組為α1，α2，α4.

3 在線性方程組中的應(yīng)用

通過一系列的初等行變換，將系數(shù)矩陣或增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣，判斷方程組是否有解，有解的情況下，求出通解.

3.1 解齊次線性方程組

例5求解齊次線性方程組

2x1+x2-x3+3x4=0

x1+2x2+3x3+x4=0

3x2+7x3-x4=0

x1-x2-4x3+2x4=0

解對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換，化為行最簡(jiǎn)形矩陣，A=21-13

1231

037-1

1-1-42

→1231

0173-13

0000

0000→10-5353

0173-13

0000

0000

得同解方程組為x1=53x3-53x4

x2=-73x3+13x4其中x3，x4為自由未知量，令自由未知量x3

x4依次取1

0，0

1，得基礎(chǔ)解系η1=53

-73

1

0，η2=-53

13

0

1，所以齊次線性方程組的通解為c1η1+c2η2，（c1，c2為任意常數(shù)）.

3.2 解非齊次線性方程組

例6求非齊次線性方程組x1+x2=5

2x1+x2+x3+2x4=1

5x1+3x2+2x3+2x4=3的通解.

解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換，化為行最簡(jiǎn)形矩陣.

B=11005

21121

53223→

1012-4

01-1-29

000-2-4→1010-8

01-1013

00012

可以得出系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，并且小于未知量的個(gè)數(shù)，因此方程組有無數(shù)個(gè)解.即它的同解方程組為x1=-x3-8

x2=x3+13

x4=2，其中x3為自由未知量，令自由未知量x3=0，得特解α0=-8

13

0

2.

導(dǎo)出組的同解方程組為x1=-x3

x2=x3

x4=0，其中x3為自由未知量，令x3=1，得對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系η=-1

1

1

0，所以線性方程組的通解為α0+cη=-8

13

0

2+c-1

1

1

0，其中c為任意常數(shù).

4 在矩陣特征向量中的應(yīng)用

上面我們介紹了用初等行變換求解線性方程組，計(jì)算矩陣的特征向量就會(huì)涉及到解齊次線性方程組.

例7求矩陣A=22-2

25-4

-2-45的特征向量.

解由A-λE=2-λ2-2

25-λ-4

-2-45-λ=-（1-λ）2（λ-10）=0，得矩陣的特征值λ1=10，λ2=λ3=1.

當(dāng)特征值λ1=10時(shí)，解齊次線性方程組（A-10E）X=0，即A-10E=-82-2

2-5-4

-2-45→201

011

000→1012

011

000得基礎(chǔ)解系η1=-12

-1

1，故A的對(duì)應(yīng)于特征值λ1=10的全部特征向量為c1-12

-1

1，其中c1為任意非零常數(shù).

當(dāng)λ2=λ3=1時(shí)，解齊次線性方程組（A-E）X=0，即A-E=12-2

24-4

-2-44→12-2

000

000，

其基礎(chǔ)解系為η2=-2

1

0，η3=2

0

1，故A的對(duì)應(yīng)于特征值λ2=λ3=1的全部特征向量為c2-2

1

0+c32

0

1，其中c2，c3是不全為零的任意常數(shù).

矩陣的初等行變換貫穿于整個(gè)線性代數(shù)章節(jié)中，熟練應(yīng)用初等行變換是學(xué)好線性代數(shù)的基礎(chǔ)，學(xué)生要在平時(shí)學(xué)習(xí)中，學(xué)會(huì)歸納總結(jié)，使每個(gè)知識(shí)點(diǎn)建立聯(lián)系.

參考文獻(xiàn)：

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 郝秀梅，姜慶華.線性代數(shù)[M].北京：經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，2017.

[責(zé)任編輯：李璟]