解答數(shù)列求和問題的常用方法

華云

數(shù)列求和問題比較常見.解答這類問題，不僅要熟練掌握等差、等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)、前n項和公式，還要熟悉一些常用的求和方法，如分組求和法、裂項相消法、倒序相加法以及錯位相減法.各種求和方法的特點和適用范圍均不相同，下面結(jié)合例題，對求解數(shù)列求和問題的四種常用方法進行探討，

一、分組求和法

有些數(shù)列由多個等差、等比、常數(shù)列構(gòu)成，此時，可將該數(shù)列中的各項進行合理的拆分，并使其重新組合成幾個通項公式不同的等差、等比、常數(shù)列，再根據(jù)等差或等比數(shù)列的前n項和公式進行求和，最后將所得的結(jié)果相加并化簡，即可得到數(shù)列的和.

二、裂項相消法

運用裂項相消法求和，關(guān)鍵是研究數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)，將其拆分為兩項之差的形式，使得在求和過程中前一項和后一項能夠抵消，從而快速求得數(shù)列的和.在對數(shù)列的通項公式進行裂項時，要進行合理的配湊、變形，如將分母拆分、在分子上添項、減項、湊系數(shù)等.

三、錯位相減法

若一個數(shù)列的各項由一個等差數(shù)列的對應(yīng)項和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項的乘積構(gòu)成，則可采用錯位相減法來求數(shù)列的和.首先根據(jù)數(shù)列的通項公式列出數(shù)列的前n項和的表達式，然后在前n項和的表達式左右同時乘以等比數(shù)列的公比，再將兩式錯開一位相減，最后根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式進行求和即可，

在求數(shù)列的前n項和時要注意以下幾點：（1）仔細研究數(shù)列的通項公式，對其進行合理的變形，如拆分為幾個常見的數(shù)列、裂項;（2）對和式進行分析、變形，如在和式的左右同時乘以一個常數(shù)、將和式中各項的順序顛倒;（3）將問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題，或簡單的計算問題.

（作者單位：甘肅省隴南市宕昌縣第一中學）