和式型Cauchy中值定理、推論及證明

楊金輝

【摘要】文章敘述并證明了和式型獵auchy中值第一定理，給出了線性型推論.并通過加強結(jié)論，敘述并證明了和式型獵auchy中值第二定理，給出了線性型推論.

【關鍵詞】和式型獵auchy中值定理;柯西中值定理推廣;連續(xù)函數(shù)オ

引 言 中值定理在微積分理論中占有極其重要的地位，它的應用也非常廣泛.由于合分比定理的條件過于苛刻，尋找區(qū)間中兩個函數(shù)的兩點的函數(shù)值之比來代替兩個函數(shù)兩端點的函數(shù)值的線性組合之比，就顯得尤為關鍵.考慮到加法的普遍性，創(chuàng)新性地研究出和式型獵auchy中值第一定理和第二定理.在一般性未必滿足的情況下，給出了線性型的推論.

一、和式型獵auchy中值第一定理及其推論

首先給出和式型獵auchy中值第一定理，敘述如下:

定理1(和式型獵auchy中值第一定理)設函數(shù)ゝ(x)與ゞ(x)滿足

(ⅰ)f(x)與g(x)在［a,b］內(nèi)連續(xù)，

(ⅱ)g(x)在［a,b］內(nèi)不變號,且g(x)≠0，

則存在μ∈［a,b］,使得

f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

證明 設函數(shù)φ(x)=f(x)[]g(x),則函數(shù)φ(x)在［a,b］上連續(xù).由于g(x)≠0，不妨設g(x)>0恒成立.

若f(a)[]g(a)>f(a)+f(b)[]g(a)+g(b)或f(b)[]g(b)>f(a)+f(b)[]g(a)+g(b),

取μ=a或b即可.

若f(a)[]g(a)>f(a)+f(b)[]g(a)+g(b)且f(b)[]g(b)>f(a)+f(b)[]g(a)+g(b)，

前式移項，化簡可得

f(a)g(b)>f(b)g(a)，

后式移項，化簡可得

f(a)g(b)

顯然矛盾.

同理f(a)[]g(a)

φ(a)-f(a)+f(b)[]g(a)+g(b)φ(b)-f(a)+f(b)[]g(a)+g(b)<0.

由連續(xù)函數(shù)柯西中值定理可知必存在μ∈［a,b］,

使f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

證畢.

推論1(和式型獵auchy中值第一定理線性型推論)設函數(shù)f(x)與g(x)滿足

(ⅰ)f(x)與g(x)在［a,b］內(nèi)連續(xù)，

(ⅱ)g(x)在［a,b］內(nèi)不變號,且g(x)≠0，

(ⅲ)存在非零實數(shù)n1,n2滿足

n1g(a)+n2g(b)≠0，

則存在μ∈［a,b］,使得

f(μ)[]g(μ)=n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b).

證明 設函數(shù)φ(x)=f(x)[]g(x),則函數(shù)φ(x)在［a,b］上連續(xù).由于g(x)≠0，不妨設g(x)>0恒成立.

若f(a)[]g(a)=n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)或f(b)[]g(b)=n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)，

取μ=a或b即可.

若f(a)[]g(a)>n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)且f(b)[]g(b)>n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)，

前式等號左邊分子分母都乘以n1移項，化簡可得

n1n2［f(a)g(b)-f(b)g(a)］>0，

后式等號左邊分子分母都乘以n2移項，化簡可得

n1n2［f(a)g(b)-f(b)g(a)］<0，

顯然矛盾.同理

f(a)[]g(a)

也可得到矛盾.故

φ(a)-n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)φ(b)-n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)<0.

由連續(xù)函數(shù)柯西中值定理可知必存在μ∈［a,b］,使

f(μ)[]g(μ)=n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b).

證畢.

二、和式型獵auchy中值第二定理及其推論

事實上，可以適當加強第一定理中的條件，得到第二定理：

定理2(和式型獵auchy中值第二定理)設函數(shù)ゝ(x)與ゞ(x)滿足

(ⅰ)f(x)與g(x)在［a,b］內(nèi)連續(xù)，

(ⅱ)g(x)在［a,b］內(nèi)不變號,且g(x)≠0，

(ⅲ)對于第一定理中的某個μ，有

［f(a)-f(μ)］［g(b)-g(μ)］>0或［f(b)-f(μ)］?［g(a)-猤(μ)］>0，

則存在μ1,μ2∈［a,b］,使得

f(μ1)[]g(μ2)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b)，且μ1≠μ2.

證明 設函數(shù)φ(x)=f(x)[]g(x),則函數(shù)φ(x)在［a,b］上連續(xù).由于g(x)≠0，不妨設g(x)>0恒成立.

由第一定理知，存在μ∈［a,b］,使

f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

不妨設這個μ即為條件(ⅲ)中的μ,且有

［f(a)-f(μ)］［g(b)-g(μ)］>0成立.

顯然μ∈［a,b］.

(1)若f(a)+f(b)=0，即f(μ)=0，此時取μ1=μ,μ2取異于μ1且在［a,b］中的點即可.

(2)若f(a)+f(b)>0,即f(μ)>0，

①若f(a)-f(μ)>0,g(b)-g(μ)>0,可得

f(a)>0,m=f(a)[]f(μ)>1,n=g(b)[]g(μ)>1.

若m>n>1,由f(x)的連續(xù)性可知靚酞1∈(a,μ)使得

f(μ1)[]f(μ)=n.

即f(μ1)[]f(μ)=g(b)[]g(μ),f(μ1)[]g(b)=f(μ)[]g(μ).

取μ2=b即可，此時有

f(μ1)[]g(μ2)=f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

若n>m>1,由g(x)的連續(xù)性可知靚酞2∈(μ,b)使得

g(μ2)[]g(μ)=m.

即f(a)[]f(μ)=g(μ2)[]g(μ),f(a)[]g(μ2)=f(μ)[]g(μ).

取μ1=a即可，此時有

f(μ1）[]g(μ2)=f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

若m=n>1,

即f(a)[]f(μ)=g(b)[]g(μ),f(a)[]g(b)=f(μ)[]g(μ).

取μ1=a,μ2=b即可，此時有

f(μ1)[]g(μ2)=f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

②若f(a)-f(μ)<0,g(b)-g(μ)<0,設

m=f(a)[]f(μ)<1,n=g(b)[]g(μ)<1.

若f(a)>0,類似①中的討論可證得.

若f(a)<0,由于f(μ)>0,以及連續(xù)函數(shù)的保號性,必靚酞1∈(a,μ)使得

f(μ1)[]f(μ)=n.

從而有f(μ1)[]f(μ)=g(b)[]g(μ),f(μ1)[]g(b)=f(μ)[]g(μ).

取μ2=b,此時有

f(μ1)[]g(μ2)=f(μ)[]g(μ)=f(a)+f(b)[]g(a)+g(b).

(3)若f(a)+f(b)<0,即f(μ)<0.討論方法與(2)類似，在此不再贅述.

結(jié)合和式型獵auchy中值第二定理和和式型獵auchy中值第一定理的推論，可得和式型獵auchy中值第二定理的推論.

推論2(和式型獵auchy中值第二定理線性型推論)設函數(shù)f(x)與g(x)滿足

(ⅰ)f(x)與g(x)在［a,b］內(nèi)連續(xù)，

(ⅱ)g(x)在［a,b］內(nèi)不變號,且g(x)≠0，

(ⅲ)對于第一定理中的某個μ，有

［f(a)-f(μ)］［g(b)-g(μ)］>0或ィ踗(b)-f(μ)］［g(a)-猤(μ)］>0，

(ⅳ)存在非零實數(shù)n1，n2滿足

n1g(a)+n2g(b)≠0，

則存在μ1,μ2∈［a,b］,使得

f(μ1)[]g(μ2)=n1f(a)+n2f(b)[]n1g(a)+n2g(b)，且μ1≠μ2∈［a,b］.

オ

【參考文獻】オ

華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第三版)上冊［M］.北京:高等教育出版社，2001：125-133.オ