靈活運(yùn)用向量法，快速解答立體幾何問(wèn)題

李曉慶

向量法是解答立體幾何問(wèn)題的重要方法.運(yùn)用向量法解題，往往需根據(jù)空間幾何圖形的特點(diǎn)，找到三條相互垂直且交于一點(diǎn)的直線，建立空間直角坐標(biāo)系，然后用向量的坐標(biāo)形式表示問(wèn)題中的點(diǎn)、線段、平面，再通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得問(wèn)題的答案.向量法可用于判斷空間線面的位置關(guān)系、求二面角的大小、求線面角的大小、求空間距離.下面結(jié)合實(shí)例，探討一下如何運(yùn)用向量法解答立體幾何問(wèn)題.

一、判斷空間線面的位置關(guān)系

空間線面的位置關(guān)系主要有垂直、平行、相交、直線在平面內(nèi)等.運(yùn)用向量法判斷空間線面的位置關(guān)系，需在建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方向向量以及平面的法向量.設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，當(dāng)∥，即=λ時(shí)，直線與該平面垂直;當(dāng)⊥時(shí)，直線與該平面平行或直線在平面內(nèi);若與既不平行也不垂直，則直線與平面相交.

例1.如圖1，在正方體 ABCD -A1B1C1D1中，點(diǎn) P在線段 BC1上運(yùn)動(dòng)，試判斷平面 PA1C 與平面 AB1D1的位置關(guān)系.

解答本題，需先根據(jù)正方體的特點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，然后求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)、各條線段的方向向量，再根據(jù)直線與平面垂直的判定定理：若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意兩條直線，則這條直線垂直與這個(gè)平面.設(shè)出法向量 n，使其與 AB1、 AD1垂直，建立關(guān)系式即可求得法向量 n，證明 CA1//n，最后根據(jù)面面垂直的判定定理證明面 PA1C ⊥平面 AB1D1.在運(yùn)用向量法判斷空間線面的位置關(guān)系時(shí)，一定要明確：（1）若 a= λb ，則 a∥ b ;（2）若 a?b =0，則 a⊥ b .

二、求二面角的大小

根據(jù)向量的數(shù)量積公式可知兩個(gè)向量 u、v 的夾角的余弦為 cos α= |u?v||u|?|v|.在運(yùn)用向量法求二面角的大小時(shí)，可根據(jù)題意求得兩個(gè)半平面的法向量 u、v ，然后根據(jù)夾角公式 cos α= |u?v||u|?|v|求得二面角的余弦值.

根據(jù)法向量與平面的位置關(guān)系可知，二面角的兩個(gè)半平面的法向量的夾角與二面角的平面角相等或互補(bǔ).因此在求得兩個(gè)半平面的法向量的夾角后，要根據(jù)圖形判斷二面角為鈍角還是為銳角，再根據(jù)余弦值來(lái)確定二面角的大小.

三、解答空間距離問(wèn)題

我們知道，空間距離包括點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、異面直線之間的距離、直線與平面的距離、平面與平面之間的距離，而這些距離都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線或點(diǎn)到平面的距離.對(duì)于點(diǎn)到直線的距離，可直接運(yùn)用平面幾何中的點(diǎn)到直線的距離公式求得;若求平面外一點(diǎn) P 到平面α的距離，需在平面α內(nèi)選取一點(diǎn) A ，求得斜線 PA 的方向向量與平面的法向量 n，再由向量的數(shù)量積公式得cos α=||AP?n|| AP ?|n|（α為）AP與n的夾角 ， 則 P 點(diǎn)到平面的距離為 d =|| AP cos α=||AP?n|n|.

在建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求得平面 ADF 的法向量和斜線 DE 的方向向量，將其代入公式 d =|a?n||n|進(jìn)行求解即可.

由上述分析可知，運(yùn)用向量法求解立體幾何問(wèn)題，需根據(jù)立體幾何中的性質(zhì)、定理、定義來(lái)明確點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，靈活運(yùn)用空間向量的運(yùn)算法則，尤其要熟記數(shù)量積公式、向量的模的公式.總之，運(yùn)用向量法，可將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算問(wèn)題，這有利于轉(zhuǎn)換解題的思路，提升解題的效率.