怎樣借助數(shù)學(xué)思想求角的度數(shù)

孫乾

求角度問題是初中幾何中的常見問題.在具體求解時除了需運用角的平分線性質(zhì)，角的和、差、倍、分等運算技巧以及一些基本圖形的性質(zhì)外，還需合理借助相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，如分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想等來解題.下面舉例進行分析說明.

一、借助分類討論思想求角的度數(shù)

所謂分類討論思想，就是當(dāng)要求解的問題包含兩種或兩種以上的可能情況時，需要根據(jù)不同的情況進行分類討論，分析、綜合結(jié)論，得到答案.在求角度時，若問題存在多種情形，就需要采用分類討論思想，對每種情形加以具體討論.進行分類討論時需要注意兩點：一是確保分類標準統(tǒng)一;二是討論全面，確保不重、不漏.

例1 已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度數(shù).

分析：本題沒有圖，作圖時應(yīng)考慮 OC 落在∠AOB的內(nèi)部和外部兩種情況. 解：（1）如圖1，當(dāng)OC 落在∠AOB的內(nèi)部時，

∵ OM 平分∠AOB，ON 平分∠BOC，

∴∠AOM=12∠AOB=12×100°=50°，∠BON=12∠BOC=12×60°=30°，

∴∠MON=∠AOB -∠AOM -∠BON=100° - 50°-30°=20°;

（2）如圖2，當(dāng)OC 落在∠AOB的外部時，∵ OM 平分∠AOB，ON 平分∠BOC，∴∠BOM=12∠AOB=50°，∠BON=12∠BOC=30°，∴∠MON=∠BOM+∠BON=50°+30°=80°.

評析：當(dāng)圖形之間的位置關(guān)系不明確時，往往要進行分類討論，不能片面考慮一種情況從而造成漏解.尤其在解答無圖幾何題時一定要慎重，要利用分類的思想分析滿足條件的圖形有幾種情形，確保解答的完整性.

二、借助整體思想求角的度數(shù)

整體思想就是從整體的角度思考問題，即將局部放在整體中去觀察、分析、探究問題.在求解與三角形有關(guān)的角度問題時，局部求解比較困難，就可利用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和及三角形的三個內(nèi)角的和等于180 等相關(guān)定理，運用整體思想求解，進而使問題化繁為簡，化難為易.

例2 如圖3，BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，BE與CF 交于G，如果∠BDC=140°，∠BGC=110°，則∠A=______.

分析：連接 BC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DBC +∠DCB=40°，∠GBC +∠GCB=70°，所以∠GBD +∠GCD=30°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABG +∠ACG=30°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠A=80° . 解：連接 BC，如圖4，

∵∠BDC=140°，

∴∠DBC +∠DCB=180° - 140°=40°，

∵∠BGC=110°，

∴∠GBC +∠GCB=180° - 110°=70°，

∴∠GBD +∠GCD=70° - 40°=30°，

∵ BE是∠ACG的平分線，CF是∠ACD的平分線，

∴∠ABG +∠ACG=∠GBD +∠GCD=30°，在ΔABC中，∠A=180° - 40° - 30° - 30°=80° .

故答案為：80° .

評析：整體代換是一種重要的解題策略.在解題時，當(dāng)單個對象無法求出時，可考慮將幾個單個的對象作為一個整體來考慮.在解答本題過程中多次運用了整體思想，才使問題順利得解.

三、借助轉(zhuǎn)化思想求角的度數(shù)

轉(zhuǎn)化思想就是將未知的、陌生的、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡單的問題來解答的一種思想方法.在求解角度問題中運用轉(zhuǎn)化思想可將題干中的條件、結(jié)論轉(zhuǎn)化，從而將分散的條件適當(dāng)集中，使線段與線段，角與角，形與形之間建立聯(lián)系. 例3在小學(xué)階段我們已經(jīng)掌握了三角形內(nèi)角性質(zhì)：三角形的三個內(nèi)角之和等于180°，如圖 5 所示，△ABC的內(nèi)角和∠1+∠2+∠3=180°，請回答下列問題：

（1）對于圖 6中的四邊形 ABCD，其內(nèi)角和∠1+∠2+∠3+∠4=_______;

（2）（2）平角等于180°，試求圖 5中∠4+∠5+∠6的大小，以及圖 6中∠5+∠6+∠7+∠8的大小.

分析：題目初始引出了三角形的內(nèi)角和知識，實則是引導(dǎo)同學(xué)們運用該知識進行角度之和問題的轉(zhuǎn)化.計算角度之和常用的方法有兩種：一是直接將多角之和轉(zhuǎn)化為一角，然后計算該角的大小;二是結(jié)合等角轉(zhuǎn)化，將所求角度轉(zhuǎn)化為相關(guān)角之間的數(shù)量關(guān)系，即等角代換.

解：（1）已知三角形的內(nèi)角和為180°，則可以通過添加輔助線，將四邊形 ABCD 轉(zhuǎn)化為兩個三角形，連接 AC，顯然四邊形的內(nèi)角和等于兩個三角形內(nèi)角和的疊加，所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°×2=360°.

（2）根據(jù)平角定義可知：圖5中，∠4+∠5+∠6=180°-∠1 + 180°-∠2 + 180°-∠3=540°-（∠1+∠2+∠3）=360°;

圖6中，∠5+∠6+∠7+∠8=180°-∠1+180°-∠2+180°-∠3+180°-∠4=720°-（∠1+∠2+∠3+∠4）=360°.

評析：在上面的解題過程中，計算圖形中的角度之和，采用了恒等代換的策略，將所求角度之和轉(zhuǎn)化為關(guān)聯(lián)角的和差關(guān)系，進而利用三角形內(nèi)角和等相關(guān)知識來解答.

四、借助方程思想求角的度數(shù)

方程思想就是將數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，運用數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為方程模型，即將問題中的已知量與未知量轉(zhuǎn)化為一元一次方程或二元一次方程組，從而求解問題.在求解幾何角度問題時，可以根據(jù)三角形內(nèi)角和、外角和以及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系構(gòu)建關(guān)于幾何角的方程. 例4 如圖7所示，D 和 E 分別是△ABC的邊 BC、AC 上的點，已知∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∠BAD=30°，試求∠EDC的度數(shù).

分析：題目所示圖形存在多個三角形，題干給出了相應(yīng)的角度關(guān)系，可利用方程思想，設(shè)出其中的未知角，根據(jù)其中的內(nèi)角和、外角和構(gòu)建方程，從而確定角度.

解：設(shè)∠EDC=x，∠B=∠C=y.

∵∠ADC為△ABD的外角，由外角性質(zhì)可知∠ADC=∠B +∠BAD=y +30°.

由∠AED為△CDE的外角，

得∠ADE=∠AED=∠EDC +∠C=x + y.

由于∠ADC=∠ADE +∠EDC，

則y + 30°=x + y + x，

解得x=15°，

所以∠EDC=15°.

評析：上述解法充分利用了方程思想，設(shè)出未知角，根據(jù)三角形外角性質(zhì)，以及幾何等量關(guān)系構(gòu)建方程.方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要思想，不僅適用于常規(guī)的代數(shù)問題，在求解線段、角度問題中同樣有著重要作用.

上期《〈不等式與不等式組〉鞏固練習(xí)》參考答案

1.A;2.D;3.A;4.B;5.B;6.1;7.6; 8. b < c < a ;9. a > 34 ;10. 25 < t < 28 ;

11.（1）不等式組的解集為-4 < x ≤ 2 ; （2） m的整數(shù)值為-1、0、1、2.

12.解：（1）設(shè)購買 A 種型號健身器材 x 套，B 種型號健身器材 y 套，依題意得：ìí?x30+0yx=+5400，0y=16000，

解得：.

答：購買 A 種型號健身器材 40 套，B 種型號健身器材10套.

（2）設(shè)購買 A 種型號健身器材 m 套，則購買 B 種型號健身器材 （50 - m） 套，

依題意得：，

解得：m≥19.5，

又∵ m為整數(shù)，

∴m的最小值為20.

答：A 種型號健身器材至少要購買20套.

上期《〈銳角三角函數(shù)〉拓展精練》參考答案

1.B;2.B;3.A;4.A;5. 3 3 + 3或3 3 - 3 ; 6.2.4;7. 66 ;8. 265 ; 9（. 1）BC的長為7; （2）∠ACB的正切值為6.

10.解：（1）由題意得：∠CAE=15°， AB=30（米），

∵∠CBE是ΔABC的一個外角，

∴∠ACB=∠CBE -∠CAE=15°，

∴∠ACB=∠CAE=15°，

∴AB=BC=30（米），

∴斜坡 BC的長為30（米）;

（2）在RtΔCBE中，∠DBE=53°，BC=30（米），

∴CE=12 BC=15（米），BE=3CE=15 3（米），在RtΔDEB中，∠DBE=53°，

∴DE=BE ? tan 53° ≈ 15 3×43=30 3（米），

∴DC=DE - CE=20 3 - 15 ≈ 20（米），

∴這棵大樹 CD的高度約為20（米）.