解二元一次方程組常用的“消元”方法

桂雪娟

將含有兩個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一次的兩個方程聯(lián)立起來，就構(gòu)成了二元一次方程組. 二元一次方程組的解就是組成這個方程組的兩個方程的公共解.解二元一次方程組的基本思路是消元.下面就常用的“消元”方法進(jìn)行分析說明.

一、代入消元法

代入消元法就是在解二元一次方程組時，把其中一個方程的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，再代入到另一個方程中，進(jìn)而達(dá)到消元的目的.基本步驟是：第一步，變形.即從二元一次方程組中選取一個系數(shù)較簡單的方程，然后把它變?yōu)橛煤粋€未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)的形式;第二步，代入.即將變形后的方程代入到另一方程中消去某個未知數(shù)，使方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于另一個未知數(shù)的一元一次方程，解出此方程，進(jìn)而得到該未知數(shù)的值;第三步，回代.把所求得的未知數(shù)的值代回到變形后的方程中，得出另一未知數(shù)的值，再用大括號把兩個未知數(shù)的值聯(lián)立起來;第四步，檢驗(yàn).把所得的兩個未知數(shù)的值代入另一方程中進(jìn)行檢驗(yàn)，若成立，則是原方程組的解.

例1 解下列方程組：

分析：觀察兩個方程組的特點(diǎn)，可以看出在方程組（1）中，方程①中x的系數(shù)為1，故可以直接利用代入消元法求解;方程組（2）并非一般形式，先要把它整理成一般形式，再利用代入消元法求解.

解：（1）由方程①移項(xiàng)可得x=2y + 4，

把x=2y + 4代入方程②中，可得2（2y + 4） + 3y=1，

解得y=- 1，

把y=- 1代入①中可得x=2，

所以有：x=2，

y=-1.

經(jīng)檢驗(yàn)可知，原方程組的解為x=2，y=-1.

（2）通過整理，原方程組可以轉(zhuǎn)化為

5x - 11y=-1③，

-x + 5y=3④，

由方程④可知x=5y - 3.

把x=5y - 3代入方程③中，可得5（5y - 3） - 11y=- 1，即14y=14，解得y=1.

把y=1代入x=5y - 3中，可得x=2，

x=2，

y=1.

經(jīng)檢驗(yàn)可知，原方程組的解為x=2，

評注：在解二元一次方程組時，若方程組中某一個未知數(shù)的系數(shù)是1或-1，或者是可以將某一項(xiàng)作為一個整體，便于代入另一個方程中時，常常借助代入消元法進(jìn)行求解.

二、加減消元法

加減消元法即通過將方程組中的兩個方程相加或相減消去某個未知數(shù)，從而將兩個方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于另一個未知數(shù)的一元一次方程，進(jìn)行求解.在運(yùn)用加減消元法解二元一次方程組時，要注意仔細(xì)觀察兩個方程中的同一個未知數(shù)的系數(shù)，若發(fā)現(xiàn)系數(shù)互為相反數(shù)，則利用相加消元法求解;若發(fā)現(xiàn)系數(shù)相同，則利用相減消元法求解;若兩個系數(shù)既不相等，也不互為相反數(shù)，則需要運(yùn)用等式性質(zhì)，把方程兩邊同乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，使未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)，再借助加減消元法求解.

分析：（1）觀察方程組，可以發(fā)現(xiàn)，兩個方程中未知數(shù)y的系數(shù)相同，這樣只需要把兩個方程相減，消去未知數(shù)y，得到關(guān)于x的一元一次方程即可解題.（2）觀察方程組，很容易看出，兩個方程中的未知數(shù)x、y的系數(shù)既不相同，也沒有互為相反數(shù)，此時需要運(yùn)用等式性質(zhì)把同一未知數(shù)的系數(shù)轉(zhuǎn)化為相同，因此需要將方程①兩邊同時乘以2，方程②兩邊同時乘以3，再兩式相加，消去未知數(shù)y，得到關(guān)于x的一元一次方程即可解題.

解：（1）由方程②-①可得2x=2，

解得x=1.

把x=1代入①中可得y=- 3，

x=1，

y=-3.

經(jīng)檢驗(yàn)可知，原方程組的解為x=1，y=-3.

（2）方程①×2可得8x + 6y=6③;方程②×3可得9x - 6y=45④，

③+④可得17x=51，解得x=3.

把x=3代入方程①中，可得y=- 3，

x=3，

y=-3.

經(jīng)檢驗(yàn)可知，原方程組的解為x=3，y=-3.

評注：在解二元一次方程組時，若兩個方程的同一個未知數(shù)的系數(shù)相同，或系數(shù)互為相反數(shù)，或者成倍數(shù)關(guān)系，此時可利用加減消元法去破解.

總之，代入消元法和加減消元法都是解二元一次方程組最基本、最常見的消元方法，兩者既存在相通點(diǎn)，又具有不同點(diǎn).同學(xué)們在解二元一次方程組時，一定要對方程中的各項(xiàng)進(jìn)行認(rèn)真觀察、分析，根據(jù)其具體特點(diǎn)，選擇最佳的求解方法.