關注建模過程 培育核心素養(yǎng)

林玉芬

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，小學階段，核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：數(shù)感、量感、符號意識、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、數(shù)據(jù)意識、模型意識、應用意識、創(chuàng)新意識。在核心素養(yǎng)觀念下，通過運算律的教學可以培養(yǎng)學生的模型意識和推理意識，發(fā)展數(shù)感。教學中，教師不能只關注運算律的表象特征，還應關注運算律的內(nèi)涵和教學價值。運算律不僅運用在簡便的運算中，還滲透在整個小學數(shù)學學習的過程中，如多位數(shù)的乘法是以乘法分配律作為有效支撐、多位數(shù)加法是以加法結合律作為重要支撐、加法交換律和乘法交換律是驗算的依據(jù)等。在教學運算律時，教師要讓學生親歷建模的一般過程：先通過觀察和比較大量的例子，初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立模型;再聯(lián)系已學知識或生活實例解釋模型，運用不完全歸納法驗證規(guī)律成立后表述模型;最后，應用模型解決實際問題。下面以北師大版《義務教育教科書·數(shù)學》四年級上冊“乘法分配律”為例，探討如何關注建模過程，培育核心素養(yǎng)。

一、 實施前測，確定教學路徑

乘法分配律的學習是學生在學習了乘法的意義、四則運算、加法交換和結合律、乘法交換和結合律的基礎上進行的，乘法分配律是簡算的依據(jù)，對提高學生的計算能力有著重要的作用。在上本節(jié)課之前，學生對乘法分配律已經(jīng)有了一定的感知，如教科書從二年級學習的乘法口訣開始滲透乘法分配律，三年級用點子圖探索一位數(shù)乘兩位數(shù)或三位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)計算方法的過程，長方形的周長、相遇問題等，這都是在借助圖形直觀，使學生體會基于乘法分配律的算理。為了優(yōu)化教學過程，我進行了前測，出示題目：求出4個25與4個75的和。結果有10%的學生用連加，有75%的學生用25×4+75×4，只有15%的學生用（25+75） ×4進行計算，他們用的是湊整法，并未提到用乘法分配律簡算。這說明，學生已掌握了乘法的意義，但對乘法分配律的結構并未認知，缺乏簡算意識。因此，教學中教師應利用學生已有的類比、遷移、抽象、建模、符號化思想等經(jīng)驗，促進學生建構乘法分配律模型，并重視對算理表述及簡算價值的滲透，幫助學生由感性認識上升為理性認識。基于此，我確定本課的教學目標是：讓學生經(jīng)歷乘法分配律的探索過程，會用字母表示;讓學生初步學會用觀察、比較、歸納等方法進行意義建構，積累數(shù)學活動經(jīng)驗;在探索活動中，培養(yǎng)學生團結合作、積極交流的習慣。我確定本課的教學重點是：讓學生發(fā)現(xiàn)乘法分配律，并用字母表示;確定本節(jié)課的教學難點是：乘法分配律的意義建構。

“雙減”政策要求“提質(zhì)增效”，課程標準則要求“在數(shù)學課程中，要幫助學生建立數(shù)感、符號意識，發(fā)展運算能力和推理能力，初步形成模型思想。在小學階段，模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！币虼耍@節(jié)課我需要讓學生經(jīng)歷建模的全過程，將“事理”上升為“數(shù)理”，為培養(yǎng)學生的數(shù)學模型思想提供載體。

二、 觀察比較，初步建立模型

這個環(huán)節(jié)解決的是第一個核心問題：對比每個等式兩邊，你發(fā)現(xiàn)了什么？首先，我讓學生通過算一算，根據(jù)計算結果把6個算式分成3個等式。其次，我讓學生在圍繞這個核心問題獨立思考后，根據(jù)以下四點要求自主探究：輪流說想法，重復的不說;認真傾聽，及時補充;交流完后，把組內(nèi)一致的想法整理在學習單上;展示、辨析學習單。我預設學生可能的發(fā)現(xiàn)有：兩邊得數(shù)一樣，但是運算順序不同，一個先算加法，另一個先算乘法;等式兩邊都有乘法和加法兩種運算，一種是兩步計算，另一種是三步計算;一邊是兩個數(shù)的和乘以一個數(shù)，一邊是兩個乘法式子相加，兩個乘法式子相加時有相同的因數(shù);個別學生還可能發(fā)現(xiàn)算式兩邊意義相同：都是求相同的幾個幾相加的和是多少，如（10+4）×25=10×25+4×25，這個等式的左右兩邊都表示14個25相加的和是多少。最后，我引導學生概括出這些等式兩邊的相同點是都有兩級運算，得數(shù)相等，意義也相同;不同點是運算順序不同，結構不同。

這樣設計的目的是為了了解學生學習乘法分配律的難點在哪里，如對其本質(zhì)不理解、對其結構不熟悉、無法體現(xiàn)其簡便性、乘法結合律的負遷移等。針對這些難點，我精選題目，讓學生分類計算，意在抓住學生學習乘法分配律的“最近發(fā)展區(qū)”，也就是基于數(shù)的運算，同時滲透簡算意識。再啟發(fā)學生通過橫向對比，直接指向乘法分配律的表象特征，消除乘法結合律的負遷移：乘法結合律只有一級運算，而乘法分配律有兩級運算，根據(jù)結構不同，一邊是兩步計算，一邊是三步計算，目的是減少（10+4）×25=10×25+4這種錯誤。我引導學生在橫、縱向對比中發(fā)現(xiàn)乘法分配律的本質(zhì)：每個等式左右兩邊結構雖然不同，意義卻相同，都是求相同的幾個幾，所以每個等式的兩邊相等。通過引領學生聚焦算式，觀察特點，感受等值變形，他們建立了清晰的乘法分配律雛形，初步發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，等于這兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再相加。

三、 多元表征，解釋表述模型

大部分學生在學完第一個環(huán)節(jié)后，仍對“等式兩邊的意義相同”這個認知存在困惑，因此我提出了第二個核心問題：你能解釋算式左右兩邊相等的道理嗎？我先讓學生獨立仿寫算式、探究算理，完成學習單，再展示并辨析學習單。我預設學生的第一種方法是聯(lián)系已學知識（如多位數(shù)筆算乘法）來解釋。學生可以舉生活實例：1件上衣35元，1條褲子25元，3套共多少元？學生可以先合起來算出1套衣服的錢數(shù)再乘以3套，也可以分開算出3件上衣的錢數(shù)、3件褲子的錢數(shù)，再合起來。這樣，不管分開算還是合在一起算，都是在算3套衣服的總錢數(shù)，所以可以列出算式：（35+25）×3 = 35×3+25×3。我預設學生的第二種方法是借助畫圖來解釋。如白色正方形的個數(shù)是3個4相加，紅色正方形是5個4相加，一共是8個4相加;也可以先求一列有8個正方形，再乘以4列，即（3+5）×4，一共也是8個4相加，所以3×4+5×4= （3+5）×4;還可以直接用乘法的意義解釋：4×8+6×8，4×8表示4個4相加，6×8表示6個8它們合起來一共有10個8，也就是（4+6）×8，所以（4+6）×8=4×8+6×8。

在辨析完學習單后，我引導學生概括出“算式左右兩邊結構不同，意義相同，都是求相同的幾個幾相加的和是多少”。然后，讓學生討論發(fā)現(xiàn)，這種等式的共同特點是兩個數(shù)的和乘第三個數(shù)，等于這兩個數(shù)分別乘第三個數(shù)再相加。學生質(zhì)疑：這樣的等式能寫完嗎？學生猜測寫不完后，我再通過 一道題引導學生進行驗證：小紅家的果園原來長60米，寬20米，擴建后，長增加了30米，現(xiàn)在果園的面積是多少平方米？學生根據(jù)題意想象畫圖、獨立解答，結合課件講算理。在學生借助圖形自主決定增加長的數(shù)量之后，我引導學生在一、二、三、四位數(shù)……范圍內(nèi)舉例，列出等式并驗證，借助不完全歸納法，使學生發(fā)現(xiàn)：找不到反例，從而得出有無數(shù)種。學生再次質(zhì)疑：能用一個等式概括出前面所有的等式嗎？我引導學生思考創(chuàng)造，用圖形、文字、字母表示后揭題：（a + b）×c = a×c + b×c是一個運算定律，叫做乘法分配律，即兩個數(shù)的和同一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別同這個數(shù)相乘，再相加，結果不變。最后，我組織學生討論：怎樣能快速記住乘法分配律？學生討論后認為可借助幾何直觀理解記憶：小紅家的果園原來長a米，寬b米，擴建后，長增加了c米，現(xiàn)在果園的面積是幾平方米？學生通過嘗試、驗證、交流簡化模型，經(jīng)歷從具體到抽象，從個別到一般的建模過程，再次深層次領悟了乘法分配律的內(nèi)涵。

本環(huán)節(jié)是這節(jié)課的“靈魂”，學生通過聯(lián)系已學知識，借助情境，數(shù)形結合，最終回歸乘法分配律本質(zhì)：運用乘法的意義解釋，明確每個等式左右兩邊結構不同，意義相同，都是求相同的幾個幾相加的和是多少。這樣，就讓學生從關注規(guī)律的“形”到重新審視規(guī)律的“意”，以內(nèi)在不變的“理”，理解外在變化的“形”，突顯意義建構，領悟數(shù)形結合思想、無限思想、合情推理、演繹推理、歸納推理及模型思想的魅力，同時培養(yǎng)學生的探索精神。

四、 溝通聯(lián)系，整體架構知識

整體架構知識指的是基于數(shù)學知識的內(nèi)在系統(tǒng)關聯(lián)和學生的已有認知基礎，通過結構化教學，幫助學生完善認知體系，發(fā)展思維能力，培育數(shù)學素養(yǎng)，進而促進學生更好地理解數(shù)學、愛上數(shù)學、學好數(shù)學，逐步學會學習并成為學習的主人。《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確指出，教學內(nèi)容是落實教學目標、發(fā)展學生核心素養(yǎng)的載體。教師要重視對教學內(nèi)容的分析，幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質(zhì)、對未來學習有支撐意義的結構化數(shù)學知識體系。為此，我提出了兩個問題：我們之前學過哪些運算律？有用過乘法分配律嗎？第一個問題提出的目的是架構加法交換、結合律，乘法交換、結合、分配律這5個運算律的框架;第二個問題提出的目的是豐富乘法分配律的背景，使學生學會多位數(shù)的口算，如要求16×3的積，可以把10×3與6×3的積相加;再如，筆算乘法145×12，可以先算2 個145，再算10個145，最后把兩個積相加;又如，相遇問題：張小東和王小紅同時從大橋的兩端相對走來，張小東每分鐘走60米，王小紅每分鐘走50米，經(jīng)過5分鐘后兩人相遇。這座大橋全長多少米？這樣，在數(shù)學教學中，教師站在學生的立場，用結構化的觀點指導教學，引導學生對已學的相關數(shù)學知識進行統(tǒng)合，驅動學生思維的深度參與;教師引領學生對本質(zhì)相通的相關教學內(nèi)容進行整體建構，以幫助學生理清數(shù)學知識之間的邏輯關系以及內(nèi)在知識結構;這樣，就使學生建立了數(shù)學知識之間的聯(lián)系，有效實現(xiàn)了“從直觀到抽象、從抽象到具體”的教學目標，使學生真正深入理解了乘法分配律的意義本質(zhì)，完善了知識體系。在此過程中，學生的認知也不斷得到深化，實現(xiàn)了對數(shù)學知識的類化理解與認知結構的重構。

五、深化應用，反思質(zhì)疑總結

亞里士多德說：“思維是從疑問和驚奇開始的?！背Ｓ幸牲c，常有問題，才常有思考、常有創(chuàng)新。弗賴登塔爾也指出：“反思是數(shù)學活動的核心和動力。”數(shù)學教學中，如果沒有反思、質(zhì)疑、總結，學生的理解就很難從一個水平上升到更高的水平。因此，在本環(huán)節(jié)，我首先以問題引領學生的學習：我們是怎么發(fā)現(xiàn)乘法分配律的？你有什么收獲？還有什么問題？其次，我充分發(fā)揮評價的激勵性作用，引發(fā)學生質(zhì)疑：有除法分配律嗎？兩個數(shù)的差、三個數(shù)的和、四個數(shù)的和，甚至更多個數(shù)的和乘以一個數(shù)，有這樣的規(guī)律嗎？這樣可以促進學生深度學習，培養(yǎng)問題意識。同時，還可以促使學生在反思回顧中提煉建模的一般過程——建立模型、解釋模型、表述模型和應用模型。最后，我還讓學生自己設計一個需要運用乘法分配律解決的問題。

總之，本節(jié)課緊扣數(shù)學本質(zhì)，以核心問題和學習單統(tǒng)領“說理”課堂，通過在“計算中感知模型”“在合作中梳理模型”“在解釋中表述模型”“在辨析中鞏固模型”，凸顯意義建構。本課中，學生根據(jù)自身的知識經(jīng)驗，分別從問題的實際意義和數(shù)學運算的意義兩個層面來解釋，從中進一步發(fā)展演繹推理能力和模型意識，豐富認知，提升數(shù)學核心素養(yǎng)。同時，本課注重數(shù)學思想方法的滲透，關注學生個性發(fā)展，溝通新舊知識的聯(lián)系，實現(xiàn)了結構化教學。

（責任編輯：楊強）