蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容分析

【摘 要】數(shù)學(xué)教材上提供的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容是幫助學(xué)生形成模型觀念的有效載體。研究者梳理蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)注教材中方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容，從內(nèi)容領(lǐng)域分布、章節(jié)內(nèi)容結(jié)構(gòu)、內(nèi)容呈現(xiàn)方式三個(gè)維度研究數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，并對(duì)建模教學(xué)提出建議。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;模型觀念;建模內(nèi)容;初中數(shù)學(xué)

一、問題提出

數(shù)學(xué)教材上提供的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容是幫助學(xué)生形成模型觀念的有效載體。從數(shù)學(xué)建模內(nèi)容形式看，初中數(shù)學(xué)建模所面對(duì)的現(xiàn)實(shí)問題一般分為三類：現(xiàn)實(shí)原型、實(shí)際模型、數(shù)學(xué)形式[1]?，F(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中提供的實(shí)際問題情境大多屬于實(shí)際模型，是一種標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型的回譯。研究初中數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容是開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究的基礎(chǔ)。下面筆者以江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社出版的初中數(shù)學(xué)教材（以下簡(jiǎn)稱“蘇科版初中數(shù)學(xué)教材”）為例，梳理與數(shù)學(xué)建模直接相關(guān)的章節(jié)內(nèi)容，以期能為初中數(shù)學(xué)教師開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)提供參考。

二、初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)建模內(nèi)容梳理

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)數(shù)學(xué)建模的表述為：初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義[2]。因此，數(shù)學(xué)建模內(nèi)容分析應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容，兼顧“幾何與圖形”和“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容。

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材（2012年版）共設(shè)置32章內(nèi)容，其中“緒言”（1章）、“數(shù)與代數(shù)”（15章）、“圖形與幾何”（11章）、“統(tǒng)計(jì)與概率”（5章）、“綜合與實(shí)踐”（未單獨(dú)設(shè)章節(jié)，以“數(shù)學(xué)活動(dòng)”“課題學(xué)習(xí)”的內(nèi)容形式鑲嵌于各章節(jié)）。下面以蘇科版初中數(shù)學(xué)教師參考用書為主要依據(jù)，根據(jù)整章的“課標(biāo)要求”和課時(shí)“教學(xué)目標(biāo)”是否涉及“現(xiàn)實(shí)情境（現(xiàn)實(shí)生活）”“應(yīng)用”“模型”等關(guān)鍵詞對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行區(qū)分，將與數(shù)學(xué)建模直接相關(guān)的章節(jié)內(nèi)容梳理如下（見表1）。

三、初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)建模內(nèi)容特點(diǎn)

（一）建模內(nèi)容分布側(cè)重于“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容

通過對(duì)蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中與數(shù)學(xué)建模直接相關(guān)內(nèi)容的梳理，發(fā)現(xiàn)32章教材內(nèi)容中與數(shù)學(xué)建模直接相關(guān)的內(nèi)容共14章，占比43.8%。在6冊(cè)數(shù)學(xué)教材中分布情況如下：七年級(jí)上冊(cè)3章、七年級(jí)下冊(cè)2章、八年級(jí)上冊(cè)2章、八年級(jí)下冊(cè)2章、九年級(jí)上冊(cè)1章、九年級(jí)下冊(cè)4章。從數(shù)學(xué)建模內(nèi)容在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”三個(gè)板塊的分布看，“數(shù)與代數(shù)”中有9章，“圖形與幾何”中有3章，“統(tǒng)計(jì)與概率”中有2章。整體來看，蘇科版初中數(shù)學(xué)教材更側(cè)重于將數(shù)學(xué)建模內(nèi)容融入“數(shù)與代數(shù)”，以代數(shù)式、方程、不等式和函數(shù)等具體內(nèi)容為載體，使學(xué)生感受代數(shù)式、方程、不等式和函數(shù)都是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。

（二）章節(jié)內(nèi)容結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)“外—內(nèi)—外”特征

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中與數(shù)學(xué)建模內(nèi)容直接相關(guān)的章節(jié)在結(jié)構(gòu)布局上有以下特點(diǎn)。“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容結(jié)構(gòu)一般為：概念—性質(zhì)—解法—應(yīng)用（現(xiàn)實(shí)世界、數(shù)學(xué)世界）。以八年級(jí)上冊(cè)第6章“一次函數(shù)”為例[5]144，“6.1 函數(shù)”“6.2 一次函數(shù)”是從豐富多彩的現(xiàn)實(shí)情境入手，通過填表、列式等方式，引導(dǎo)學(xué)生了解常量、變量的意義和變量之間關(guān)系的共同特征，從中認(rèn)識(shí)和理解函數(shù)的意義，從而研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。在了解變量意義的基礎(chǔ)上運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象出函數(shù)的概念，再指向特定的實(shí)際情境，幫助學(xué)生理解函數(shù)的概念，進(jìn)一步揭示實(shí)際情境中蘊(yùn)含的變化規(guī)律和對(duì)應(yīng)關(guān)系，用數(shù)學(xué)符號(hào)歸納和抽象出一次函數(shù)模型?！?.3 一次函數(shù)的圖像”是從“形”的角度研究“數(shù)”，進(jìn)而研究數(shù)量和圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，揭示一次函數(shù)的性質(zhì)?！?.4 用一次函數(shù)解決問題”是用一次函數(shù)知識(shí)和思想方法解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的過程，建立一次函數(shù)模型并求解實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念，發(fā)展符號(hào)意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。“6.5 一次函數(shù)與二元一次方程”“6.6 一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式”是進(jìn)一步研究一次函數(shù)的應(yīng)用，教材內(nèi)容設(shè)置以數(shù)學(xué)內(nèi)部應(yīng)用為主，兼顧數(shù)學(xué)外部實(shí)際問題的應(yīng)用，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想和模型思想的滲透。

從數(shù)學(xué)建模過程的視角看，“6.1 函數(shù)”“6.2

一次函數(shù)”屬于對(duì)實(shí)際問題的橫向數(shù)學(xué)化，是從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型;“6.3 一次函數(shù)的圖像”“6.5 一次函數(shù)與二元一次方程”“6.6 一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式”屬于對(duì)數(shù)學(xué)模型的縱向數(shù)學(xué)化，是從數(shù)學(xué)內(nèi)部研究一次函數(shù)模型的性質(zhì)或解法;“6.4 用一次函數(shù)解決問題”屬于解決實(shí)際問題范疇，是從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，建立一次函數(shù)模型（或方程模型、不等式模型）并根據(jù)圖像和性質(zhì)求解的過程。從數(shù)學(xué)建模循環(huán)模型看，整個(gè)章節(jié)按照“外—內(nèi)—外”的內(nèi)容結(jié)構(gòu)布局。

（三）建模內(nèi)容呈現(xiàn)方式符合學(xué)生認(rèn)知水平

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)建模內(nèi)容一般集中出現(xiàn)于數(shù)學(xué)概念引入和數(shù)學(xué)外部應(yīng)用兩個(gè)板塊，問題情境的表述大多以“成品”問題的樣態(tài)呈現(xiàn)（一般稱其為“應(yīng)用題”），表現(xiàn)出問題情境簡(jiǎn)單、結(jié)構(gòu)良好、條件不多不少、數(shù)學(xué)模型清晰、易于求解、結(jié)論封閉等特點(diǎn)。以九年級(jí)上冊(cè)第1章“一元二次方程”為例，全章共出現(xiàn)44個(gè)實(shí)際問題情境，具體分布如下：“章引言”有1個(gè)、“1.1 一元二次方程”有9個(gè)、“1.4 用一元二次方程解決問題”有24個(gè)，“復(fù)習(xí)題”有10個(gè)。從問題情境的功能看，用于引出數(shù)學(xué)概念的問題情境有4個(gè)，用于例題教學(xué)的問題情境有6個(gè)（其中有1個(gè)為數(shù)學(xué)情境），用于鞏固的練習(xí)和習(xí)題的問題情境有24個(gè)。全章共出現(xiàn)以現(xiàn)實(shí)生活為背景、指向?qū)嶋H問題解決的問題情境有34個(gè)，所有的問題情境都屬于“成品”型問題樣態(tài)。

四、研究結(jié)論

（一）優(yōu)化問題情境設(shè)計(jì)，凸顯數(shù)學(xué)建模屬性

數(shù)學(xué)建模內(nèi)容在蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中各冊(cè)各章節(jié)分布合理，有利于集中進(jìn)行模型思想的滲透，培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念和應(yīng)用意識(shí)。但從問題情境呈現(xiàn)的內(nèi)容及方式看，問題情境的類型基本都是成品型問題，少有原坯型問題或半成品型問題。從驅(qū)使學(xué)生經(jīng)歷完整數(shù)學(xué)建模過程和培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力看，成品型問題情境的功能有所欠缺。另外，教材中雖然設(shè)置了“數(shù)學(xué)活動(dòng)”和“課題學(xué)習(xí)”等綜合實(shí)踐活動(dòng)，但多數(shù)“數(shù)學(xué)活動(dòng)”和“課題學(xué)習(xí)”指向數(shù)學(xué)內(nèi)部問題的解決，屬于豎直數(shù)學(xué)化范疇，缺乏橫向數(shù)學(xué)化的要求，整體的數(shù)學(xué)建模屬性較弱，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力方面功能欠佳。因此，筆者建議優(yōu)化問題情境，將成品型問題情境進(jìn)行適度的現(xiàn)實(shí)性回譯，弱化數(shù)學(xué)化特征，盡可能貼近真實(shí)的現(xiàn)實(shí)情境，使學(xué)生增強(qiáng)問題意識(shí)和模型觀念，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。在教學(xué)中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生觀察現(xiàn)實(shí)世界，從現(xiàn)實(shí)生活中提出有價(jià)值的實(shí)際問題，在討論和交流中確立選題，以小組合作的形式開展主題綜合實(shí)踐活動(dòng)。

（二）聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活情境，發(fā)掘圖形應(yīng)用價(jià)值

從數(shù)學(xué)建模內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)教材四個(gè)內(nèi)容的分布看，各內(nèi)容的分布不均，“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容占比較大，而“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容分布較少。在“圖形與幾何”內(nèi)容僅有“勾股定理”“相似三角形”“銳角三角函數(shù)”三個(gè)章節(jié)涉及顯性的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，而“軸對(duì)稱圖形”“中心對(duì)稱圖形”“對(duì)稱圖形（圓）”等章節(jié)缺少數(shù)學(xué)建模內(nèi)容。因此，在教學(xué)時(shí)，筆者建議教師從豐富的現(xiàn)實(shí)生活中選擇建模素材，發(fā)掘以“圖形應(yīng)用”為主題的建模教學(xué)內(nèi)容，以圖形類實(shí)際問題解決為主線，開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用圖形解決實(shí)際問題的意識(shí)和能力。

（三）重視數(shù)據(jù)分析應(yīng)用，明確統(tǒng)計(jì)模型特征

“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的問題情境幾乎都源于現(xiàn)實(shí)生活，卻很少提及“應(yīng)用”或“模型”。以九年級(jí)上冊(cè)第3章“數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度”和第4章“等可能條件下的概率”為例，整章內(nèi)容涉及的問題背景全部來自現(xiàn)實(shí)世界，屬于實(shí)際問題解決范疇，但教材和教師參考用書中都沒提到“應(yīng)用”“模型”等詞語(yǔ)，在一定程度上削弱了實(shí)際問題在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的功能。事實(shí)上，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)或構(gòu)建新的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的過程就是數(shù)學(xué)建模，既然整章內(nèi)容都是圍繞實(shí)際問題展開的，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是必然的，也是非常重要的。因此，筆者建議在“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的教學(xué)中，教師適當(dāng)增加“應(yīng)用”“模型”等詞語(yǔ)的使用量，更好地發(fā)掘教材的教育教學(xué)功能。

五、結(jié)語(yǔ)

梳理蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容及特點(diǎn)，有利于教師把握建模教學(xué)的整體性、階段性和系統(tǒng)性，將培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)建模能力落到實(shí)處。教材是學(xué)術(shù)形態(tài)的呈現(xiàn)，而教師要做的是教育形態(tài)的落實(shí)。這就要求教師在理解教材的基礎(chǔ)上，明確數(shù)學(xué)育人的目標(biāo)，發(fā)掘教材的教學(xué)價(jià)值，將學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)目標(biāo)落地。

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[4]楊裕前，董林偉.數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書 七年級(jí) 下冊(cè)[M].南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2012.

[5]楊裕前，董林偉.數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書 八年級(jí) 上冊(cè)[M].南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2012.

[6]楊裕前，董林偉.數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書 八年級(jí) 下冊(cè)[M].南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2012.

[7]楊裕前，董林偉.數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書 九年級(jí) 上冊(cè)[M].南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2012.

[8]楊裕前，董林偉.數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書 九年級(jí) 下冊(cè)[M].南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2012.

（責(zé)任編輯：陸順演）