排列組合解題中的物理操作

摘 要：對于較難的排列組合問題，如果單純地從數(shù)學(xué)角度思考，很難找到解題思路.但換一個思考路徑，從物理操作層面探索，往往就有意外的驚喜.

關(guān)鍵詞：排列組合;物理操作;化歸

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0013-03

排列組合是高中數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)章節(jié)，它對考查學(xué)生思維的嚴密性、深刻性、廣闊性具有不可替代的作用.也為學(xué)生進一步學(xué)習(xí)“組合數(shù)學(xué)”“概率統(tǒng)計”奠定了堅實的基礎(chǔ).但在排列組合解題中，有些題目所需要的思維方式卻超出了數(shù)學(xué)的范疇.如果我們僅僅停留在數(shù)學(xué)苑囿“深挖洞”，可能最終導(dǎo)致無功而返.如果我們進一步拓廣思維視野，跳出數(shù)學(xué)的方寸天地，就會豁然開朗.我們姑且把這種思維方式，稱為“物理操作”.簡而言之，就是要通過一系列的“物理”操作，才能完成解題過程.

1 重構(gòu)操作

即根據(jù)題目的意思，在保持原題本質(zhì)不變的前提下，重新設(shè)計操作程序，使新的操作設(shè)計更加貼近題意，更具“數(shù)學(xué)化”.

例1 袋子里有紅、黑、白、黃四種顏色的大小相同的小球各10個.每種顏色的10個小球分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，…，10.若從中任取4個小球，這4個小球顏色互不相同，且所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的不同取法共有多少種？

解析 首先假想準(zhǔn)備10個無顏色無標(biāo)號的10個大小相同的小球.

①將其中的6個球擺好，這6個球連同左右兩邊一共形成7個空位;

②在上述7個空位中，插入另外4個小球，共有

C47種.并將這4個小球做好記號;

③將上述10個小球從左到右標(biāo)上序號：1，2，3，…，10;

④將插入并做好記號的4個小球取出，給小球依次在“紅、黑、白、黃”四種顏色中任選一種涂色，則4個小球的涂色方法數(shù)為A44;

⑤則合乎題意的不同取法共有N=C47·A44=840種.

例2 從1，2，3，…，9中任取5個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，要求其中僅含有兩個連續(xù)的數(shù)，且這兩個連續(xù)的數(shù)相鄰的五位數(shù)有多少個？

解析 （1）將余下的4個數(shù)，當(dāng)作4個相同的小球擺成一排，則一共留出（包括左右兩邊）5個空位;

（2）將連續(xù)的2個數(shù)看作2個小球，捆綁成1個小球，插入5個空位中的1個空位;

（3）將余下的4個空位中插入另外3個小球;

（4）標(biāo)記插入的4個單位的“球”;

（5）將這8個小球（實質(zhì)上是9個）從左至右依次編號1，2，3，…，9;

（6）取出插入的4個單位的“球”;

（7）將這有編號的4個單位的“球”全排列成五位數(shù);

（8）依題意，滿足要求的五位數(shù)共有：C15·C34·A22·A44=960個.

2 退步操作

對于有范圍限制的排列組合問題，可以先退步思考，滿足題設(shè)條件，使限制范圍變得單一常規(guī).再根據(jù)組合模式，尋找進一步的解題方法.

例3 將15個大小相同的小球放入標(biāo)有“1，2，3，4”編號的盒子里，則每個盒子里放入的球的個數(shù)不小于該盒子的編號數(shù)的放法一共有多少種.

解析 （1）如圖1預(yù)先在2號、3號、4號盒子里依次投入1個、2個、3個小球，則剩余9個小球;

（2）將剩余的9個小球擺成一排，中間留出8個空位;（3）在上述8個空位里，任意插入3塊隔板;

（4）則滿足題意的方法一共有：C38=56種.

例4 已知M=1，2，3，…12，從集合M中任取4個數(shù)，要求這4個數(shù)中，至少有2個數(shù)相鄰，問共有多少種取法？

解析 （1）從集合M中任取4個數(shù)，共C412種;

（2）將剩余的8個數(shù)，當(dāng)作8個相同的小球擺成一排，一共留出包括左右兩邊9個空位;（3）在9個空位中插入4個小球，并標(biāo)上記號;

（4）將上述12個球，從左至右，按1，2，3，…，12編號;

（5）將標(biāo)上記號后插入的4個小球取出，則這4個小球號碼各不相鄰;

（6）依題意，滿足要求的取法一共有C412-C49=269種.

例5 一排共18個座位，A，B，C三人按如圖2方式入座：任意兩人之間至少有3個座位，且三人的順序是A在B與C之間，則不同的坐法共有多少種？

• 解析 （1）先將B，C在座位上坐好，再排好，有A22種，并把A放在B，C之間;

（2）在B，A之間放置3個空座位，在A，C之間放置3個空座位;

（3）將余下的9個空座位，插入如圖2所示的4個部分：x1，x2，x3，x4;

（4）即轉(zhuǎn)化為求不定方程x1+x2+x3+x4=9的非負正整數(shù)的個數(shù);

（5）因為xi≥0，令yi=xi+1，則

yi≥1，i=1，2，3，4，y1+y2+y3+y4=13;

（6）由隔板法知：方程y1+y2+y3+y4=13的正整數(shù)解的個數(shù)為C312;

（7）綜上所述：滿足題意的不同坐法為A22·C312=440種.

3 配位操作

對于“搭配”問題，可以先進行配位操作，使之成為一個“大單位”的“元素”，再按照常規(guī)思路考慮.

例6 有14個年輕人和5個老人站成一排，要求每個老人左右至少各有一個年輕人攙扶，問有多少種不同方法？

解析 （1）先從14個年輕人中拿出10個，與5個老人左右搭配，做成5個“年輕人甲+老人+年輕人乙”模式的單位“人”;

（2）將上述5個單位的“人”，與剩余的4個年輕人全排列;

（3）綜上所述：滿足題意的方法數(shù)有A1014·A99種.

例7 公園里有3人坐在8把椅子上，坐好后，若每人的左右兩邊都要有空椅，則有多少種不同的坐法？

解析 （1）先將不坐人的5把椅子排成一排，中間一共留下4個空位;

（2）將3個人安排，每人坐一把椅子;

（3）將“人+椅子”看作1個單位的“人”，在上述4個空位中選擇3個

空位推進去;

（4）滿足題意的坐法共有A34=24種.

4 無為操作

對于有些題目，表面上看是有序排列問題，但深入細究，卻是組合問題.因為各個元素是相異的，本身就存在天然的次序.這就需要我們“無為而治”.相反地，如果真正“有為操作”，則會弄巧成拙.

例8 把五位數(shù)abcde滿足“a>b>c，c

解析 （1）從“0，1，2，3，…，9”中任取5個數(shù)，共有C510種，將取出的5個數(shù)中最小的數(shù)賦給c;

（2）從取出的5個數(shù)剩余的4個數(shù)中取出2個數(shù)，共有C24種，將取出的2個數(shù)中較大的賦給a，較小的賦給b;

（3）將5個數(shù)中還剩余的2個數(shù)，較大的數(shù)賦給e，較小的賦給d;

（4）綜上所述：五位“凹數(shù)”一共有C510·C24=1512個.5 筑巢操作

對于有些排列組合問題，單從表面思考，很難找到突破口.若我們將此問題放置在一個大的背景下思考，則會迅速迸發(fā)出思維的火花.給一個較難的問題，安置一個大背景，我們形象地稱之為“筑巢操作”.

例9 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，x軸正半軸上有5個點，y軸正半軸上有3個點.將x軸上這5個點與y軸上這3個點連成15條線段，這15條線段在第一象限的交點最多有多少個？

解析 （1）從x軸正半軸上的5個點中任選2個點，共有C25種;

（2）從y軸正半軸上的3個點中任選2個點，共有C23種;

（3）以上選出的4個點，共可構(gòu)成C25·C23=30個四邊形;

（4）每個四邊形的對角線都有1個交點;

（5）滿足題意的交點最多有30個.

6 符號操作

對于題目所描述的現(xiàn)象，我們可以抽象為用數(shù)學(xué)符號來闡釋，把這一類操作稱為“符號操作”.它的好處在于能迅速建立操作與數(shù)學(xué)符號的有機聯(lián)系，為數(shù)學(xué)化解決問題做好鋪墊.

例10 如圖4，A，B，C，D，E站成一圈傳球，每人只能將球傳給其左右相鄰兩人中的一人.

由A開始傳出（算作第一次），經(jīng)過10次傳球又回到A的傳球方式共有多少種？圖4

解析 記向左傳為“+1”，向右傳為“-1”.由A開始傳出10次球后，又回到A，就是在10個“1”前面添加正號或負號，使其代數(shù)和為10，或0，或-10.

（1）當(dāng)代數(shù)和為“10” 時，全是“+”，有1種;

（2）當(dāng)代數(shù)和為“-10”時，全是“-”，有1種;

（3）當(dāng)代數(shù)和為“0”時，即有5個“+”，5個“-”，共有C510=252種;

綜上所述，滿足題意的傳球方式有：1+1+252=254種.

參考文獻：

[1] 武增明.細看近八年高考中的排列組合試題[J].數(shù)理化解題研究，2021（07）：41-45.

[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：魯和平，特級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.