在知識聯(lián)系中把握本質(zhì)，在遷移運用中感悟通法

鄧昌濱

摘要：只注意按教材編排展開各種尺規(guī)作圖的新授教學(xué)是不夠的，會導(dǎo)致學(xué)生對尺規(guī)作圖內(nèi)容的學(xué)習(xí)是碎片化的，而且可能無法深入。可以在學(xué)生學(xué)習(xí)了5個基本作圖后，安排一節(jié)跨教材章節(jié)的專題復(fù)習(xí)課，幫助學(xué)生建立基本作圖之間的聯(lián)系，認(rèn)識作圖本質(zhì)，并遷移解決更多作圖問題，學(xué)會自主探索作圖方法。

關(guān)鍵詞：尺規(guī)作圖;專題復(fù)習(xí);知識體系;探索能力

尺規(guī)作圖（有限次地用無刻度直尺和圓規(guī)作圖），是一種限制工具的作圖，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其重要性在最近兩次義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂（2001年的實驗稿修訂為2011年版、2011年版修訂為2022年版）中都得到了加強。尺規(guī)作圖教學(xué)的基本要求和價值是，執(zhí)果索因探索作圖方法，從而明確作圖原理，培養(yǎng)探索性思維和直觀想象、邏輯推理能力。

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中，尺規(guī)作圖內(nèi)容跨躍三個年級，分散地和有關(guān)的知識點編排在一起，如下頁表1所示。因此，只注意按教材編排展開各種尺規(guī)作圖的新授教學(xué)是不夠的，會導(dǎo)致學(xué)生對尺規(guī)作圖內(nèi)容的學(xué)習(xí)是碎片化的，而且可能無法深入——比如，學(xué)習(xí)“作一個角等于已知角”時，學(xué)生只能了解（記?。┳鲌D方法，無法探索（發(fā)現(xiàn)）作圖方法，也無法證明（理解）作圖方法，因為還沒有學(xué)習(xí)三角形全等的知識。這樣的教學(xué)，往往不能很好地實現(xiàn)尺規(guī)作圖的教學(xué)價值：培養(yǎng)學(xué)生相應(yīng)的思維能力，讓學(xué)生能夠遷移運用（尤其是針對現(xiàn)在流行的千變?nèi)f化的限制工具作圖問題）。

因此，可以在學(xué)生學(xué)習(xí)了5個“基本作圖”后，安排一節(jié)跨教材章節(jié)的專題復(fù)習(xí)課，幫助學(xué)生建立基本作圖之間的聯(lián)系，認(rèn)識作圖本質(zhì)，并遷移解決更多作圖問題，學(xué)會自主探索作圖方法。下面呈現(xiàn)具體的教學(xué)設(shè)計，并對教學(xué)立意做進(jìn)一步的闡釋。值得一提的是，這節(jié)課曾在中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會組織的第十二屆初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示活動中展示。

一、教學(xué)設(shè)計

（一）文化引入

師（出示圖1）在古代的女媧伏羲圖中，女媧手執(zhí)規(guī)，伏羲手執(zhí)矩（曲尺）。這代表規(guī)矩和制度的產(chǎn)生，告誡我們，萬物皆有定律，凡事都要遵守規(guī)范。歷史上，最先明確提出限制作圖工具的是古希臘的伊諾皮迪斯，之后，限用尺規(guī)工具作圖逐漸成為一種公約。多年來，很多數(shù)學(xué)家都曾致力于研究尺規(guī)作圖三大問題，即倍立方積、三等分任意角和化圓為方，但都以失敗而告終。直至1882年，才證實了這些都是尺規(guī)作圖不可能問題。近幾年，限定工具、限定次數(shù)的作圖問題成為中考數(shù)學(xué)的熱點問題。

課始，介紹尺規(guī)作圖的歷史，以及數(shù)學(xué)家致力于解決尺規(guī)作圖三大不可能問題的艱難歷程，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)家追求真理的理性精神，激發(fā)學(xué)生的求知欲望和信心，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值，順勢引入課題。

（二）問題驅(qū)動，構(gòu)建知識體系

教師拿出一根細(xì)繩，然后對折，引導(dǎo)學(xué)生從生活的視角尋找中點;接著，把細(xì)繩抽象成一條線段，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角尋求中點，從而引入用尺規(guī)作線段的垂直平分線的必要性，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活的理念。

問題1怎樣用尺規(guī)作線段AB的垂直平分線？

追問1直尺與圓規(guī)在作圖中分別起什么作用？

追問2你是怎么想到這種作法的？

追問3如何證明所作直線是AB的垂直平分線？

追問4運用尺規(guī)，還有其他方法作線段AB的垂直平分線嗎？

問題1引導(dǎo)學(xué)生回顧教材中已知線段的垂直平分線的基本作法，從數(shù)學(xué)的角度解決之前提出的找線段中點的問題。

追問1引導(dǎo)學(xué)生思考尺規(guī)作圖的本質(zhì)，認(rèn)識直尺可以作出不確定（不過定點或過一個定點）或確定（過兩個定點）的直線、射線或線段，圓規(guī)可以作出不確定（圓心或半徑不確定）或確定（圓心和半徑確定）的圓或弧，進(jìn)而可以通過交點（交軌法），確定更多的線段或弧，以及更多的交點……同時，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)“作一條線段等于已知線段”這一尺規(guī)最簡單運用、交軌法最簡單體現(xiàn)（一條直線、一段弧相交）的基本作圖，認(rèn)識到這是其他基本乃至非基本作圖的“最基礎(chǔ)”。

追問2引導(dǎo)學(xué)生回顧新授課中探索作圖方法的過程，感受執(zhí)果索因（假設(shè)圖形已經(jīng)作出），根據(jù)圖形和目標(biāo)、條件聯(lián)想所學(xué)知識（幾何性質(zhì)），尋找可以作出的圖形及其能夠滿足的性質(zhì)的思想方法。如果新授課沒有做好這方面的教學(xué)，本節(jié)課需要特別加強，因為這樣的思想方法是解決作圖問題的通法（基本思路）。

追問3引導(dǎo)學(xué)生在探索作圖方法的基礎(chǔ)上明晰作圖原理，具體來說，即弄清作線段垂直平分線的依據(jù)是線段垂直平分線定理的逆定理。

追問4鼓勵學(xué)生從不同的視角尋求不同的作法，避免思維固化，進(jìn)一步感受通法以及原理的豐富內(nèi)涵和引領(lǐng)作用，培養(yǎng)發(fā)散思維。具體來說，可以引導(dǎo)學(xué)生改變長度（半徑）或位置（在線段的同側(cè)或異側(cè)），得到另一個交點（如圖2、圖3所示）。

問題2O是直線l外一點，怎樣用尺規(guī)作過點O的直線l的垂線？

追問將點O移至直線l上，又如何作？

問題2及追問引導(dǎo)學(xué)生回顧教材中過一點的已知直線的垂線的基本作法（如圖4、圖5所示）。在作圖過程中，學(xué)生能感受到，第一步實際上是構(gòu)造一條線段，第二步實際上是作出所構(gòu)造線段的垂直平分線，只不過這時只需讓兩弧交于一點，因為有一個已知點了。由此，學(xué)生能認(rèn)識到，從作法上看，過一點作已知直線的垂線可以看作作已知線段的垂直平分線的變式。

問題3若變?yōu)橐话愕慕?，仍這樣作圖，是否也能作出角的平分線？

問題3引導(dǎo)學(xué)生回顧教材中已知角的平分線的基本作法，如圖6。但這里改變了問法，直接提示了它的思路來源，即與前一種作圖的關(guān)系。由此，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，作已知角的平分線是過直線上一點作已知直線的垂線的一般情況（直線及其上一點可以看作一個平角）。

問題4上述基本作圖有何共同特征？

這是本節(jié)課的關(guān)鍵問題之一。通過前三個問題，學(xué)生已經(jīng)初步感受到三種基本作圖之間的聯(lián)系。這里進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生挖掘它們的關(guān)系，提煉它們的共同特征。首先，要讓學(xué)生認(rèn)識到作圖對象之間從特殊到一般的關(guān)系，即垂線是中垂線的一般化，角平分線是垂線的一般化（如圖7所示）;并感受到作圖方法之間逆向的從一般到特殊的轉(zhuǎn)化。其次，要讓學(xué)生認(rèn)識到三種作圖的共同特征，即利用“邊邊邊”的基本事實構(gòu)造有一組公共邊且關(guān)于這組公共邊軸對稱的兩個全等三角形（在圖7的各個圖形中即深淺不同的灰底標(biāo)記的兩個三角形）。在此基礎(chǔ)上，還要引導(dǎo)學(xué)生思考為什么作法的內(nèi)核（本質(zhì)）都是這樣的，從而認(rèn)識到：線段是比角更基本的圖形（度量），尺規(guī)的基本功能是作線段，從線段到角除了簡單的等腰三角形的性質(zhì)之外，可運用的最基本的性質(zhì)就是由“邊邊邊”確定的三角形全等，即三角形穩(wěn)定性的具體表現(xiàn)（實際上“等邊對等角”也是通過由“邊邊邊”確定的三角形全等證明的）。

問題5現(xiàn)在你能探索并證明作一個角等于已知角的方法了嗎？

新授課中，學(xué)生因為沒有學(xué)習(xí)有關(guān)的知識，所以不能探索和證明作一個角等于已知角的方法?，F(xiàn)在，學(xué)生不僅具備了有關(guān)的知識，而且在建立另外三種基本作圖聯(lián)系的過程中，認(rèn)識到尺規(guī)作圖的本質(zhì)，因而很容易得到：要作一個角等于已知角，可以通過三條邊對應(yīng)相等，作一個三角形全等于已知三角形;教材中的基本作法正是這樣得到（基于這一原理）的，只不過它在已知角的基礎(chǔ)上構(gòu)造了一個等腰三角形，再作其全等三角形，而我們也可以構(gòu)造一個任意三角形。

至此，5種基本作圖及其相互關(guān)系、內(nèi)在本質(zhì)都已經(jīng)得到了“再認(rèn)識”。

（三）習(xí)題引領(lǐng)，提升探索能力

例1如圖8，已知△ABC，請用尺規(guī)作△ABD（點D不與點C重合），使得它與△ABC全等。

變式1如圖9（1），已知△ABD≌△ABC，僅用無刻度的直尺，過點C作AB的垂線。

變式2如圖9（2），已知△ABD≌△BAC，僅用無刻度的直尺，作AB的垂直平分線。

變式3如圖9（3），已知△ABD≌△BAC，僅用無刻度的直尺，找到AB的中點。

前面，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識到通過“邊邊邊”作三角形全等對于基本作圖的重要性。進(jìn)一步的作圖探索，便從限制一條邊為公共邊作已知三角形的全等三角形開始。對此，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，關(guān)鍵是作出AD、BD，使得AD=AC、BD=BC或AD=BC、BD=AC，運用交軌法得到點D的位置。顯然，有三種可能的結(jié)果（如圖9所示，可以引導(dǎo)學(xué)生借助三角形紙片擺一擺，做到不重不漏），能培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性。當(dāng)然，本題還具有一定的開放性，也可以設(shè)法作點C關(guān)于直線AB的對稱點、關(guān)于線段AB中垂線的對稱點或關(guān)于線段AB中點的對稱點，即為點D。由此，可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性。

三個變式在例1探究結(jié)果的基礎(chǔ)上，很自然地由尺規(guī)作圖過渡到更為一般的限制工具作圖（這里是只用無刻度的直尺作圖）。引導(dǎo)學(xué)生執(zhí)果索因，聯(lián)想有關(guān)的知識，學(xué)生不難探索（證明）出作圖方法：對變式1，直接連接CD即可;對變式2，設(shè)AD與BC的交點為E，分別延長CA與DB，交于點F，然后連接EF即可;對變式3，直接連接CD，找到其與AB的交點即可。由此，學(xué)生能夠充分感悟到，限制工具作圖的關(guān)鍵是利用好圖形的幾何性質(zhì)，充分的推理思考能夠代替（簡化）復(fù)雜的作圖步驟。

例2如圖10，在正方形網(wǎng)格中，A、B兩點均在格點上，你能僅用無刻度的直尺作AB的垂直平分線嗎？（保留作圖痕跡）

網(wǎng)格背景下的限制工具作圖是當(dāng)下中考考查的熱點。網(wǎng)格實際上給出了平面相互垂直的兩個維度上的整數(shù)度量，本質(zhì)是平面直角坐標(biāo)系的離散化形式。其中，可以精確利用的只有格點，任意格點的連線總是某個直角三角形的直角邊或斜邊。因此，可以借助勾股定理或直角三角形全等，得到線段的度量或關(guān)系。這在一定程度上可以代替圓規(guī)的度量（本質(zhì)是比較）作用。引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到網(wǎng)格背景的本質(zhì)，學(xué)生便不難找到與點A、B距離相等的兩個格點（即下頁圖11中的點C、D），從而作出AB的垂直平分線。此外，教學(xué)中，還可以引導(dǎo)學(xué)生剖析如下頁圖12所示的典型錯例，認(rèn)識到格點連線的度量或關(guān)系只能通過計算或推理得到，不能憑感覺，也不能通過測量（這不能保證精確）——這其實正是初中的論證幾何與小學(xué)的實驗幾何的主要區(qū)別。

例3在空白正方形中，用尺規(guī)設(shè)計一個圖案，使其具有對稱性或其他方面的美感（意味），并說明你希望表達(dá)的含義。

設(shè)計一個極具開放性的問題，引發(fā)學(xué)生的應(yīng)用意識與創(chuàng)新思維，發(fā)展學(xué)生的審美感知與數(shù)學(xué)直覺，深化學(xué)生對尺規(guī)作圖本質(zhì)與價值的認(rèn)識。學(xué)生通過連線、作圓（?。?、找中點等基本作圖活動，能夠設(shè)計出如圖13所示的各種或簡單或復(fù)雜的具有對稱性的圖案。如果學(xué)生的聯(lián)想能力較強，還可能設(shè)計出七巧板圖案（如圖14所示）。

（四）課堂小結(jié)

最后，讓學(xué)生談?wù)劷?jīng)過本節(jié)課的學(xué)習(xí)對尺規(guī)作圖有哪些新的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生理清基本作圖之間的關(guān)系，把握作圖本質(zhì)，體會基本作圖與非基本作圖、尺規(guī)作圖與限制工具作圖之間的聯(lián)系，感悟如何探索作圖方法、明確作圖原理。

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

本節(jié)課是跨教材章節(jié)內(nèi)容的專題復(fù)習(xí)課，主要體現(xiàn)了以下幾點立意：

第一，在知識聯(lián)系中把握本質(zhì)。學(xué)生學(xué)過的尺規(guī)作圖，尤其是基本作圖知識，是零散的、碎片化的。本節(jié)課通過環(huán)環(huán)相扣的問題鏈，重構(gòu)學(xué)習(xí)順序，引導(dǎo)學(xué)生一步步發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上認(rèn)識它們的本質(zhì)，包括尺規(guī)的連線、作圓（?。?、度量（比較）等基本功能以及作圖的交軌定點、以點定線（?。⒁跃€（長度）定角（角度）等基本思路，從而建立知識體系，實現(xiàn)深度理解。

第二，在遷移運用中感悟通法。尺規(guī)作圖知識更重要的教學(xué)價值在于讓學(xué)生學(xué)會執(zhí)果索因（由“效果圖”找“施工圖”）探索解決幾何問題（在“知何由以知其所以然”的過程中自然地“知其所以然”“知其然”），感悟其中普適的、可遷移的思想方法（活動經(jīng)驗），提升問題探究能力。本節(jié)課自然地從基本作圖問題過渡到非基本作圖問題，再過渡到更一般的限制工具作圖問題，最后過渡到自由創(chuàng)作的設(shè)計圖案問題（因為課堂時間限制，沒有安排更多類型或特點的作圖問題），引導(dǎo)學(xué)生在遷移運用中，深度分析作法來源及作圖原理，感悟解決作圖問題的通法及其廣泛的應(yīng)用價值。

此外，本節(jié)課滲透的數(shù)學(xué)文化、提供的設(shè)計圖案任務(wù)，能很好地發(fā)揮數(shù)學(xué)的文化價值和審美價值，潤澤學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感;設(shè)計的錯例剖析活動，能強化數(shù)學(xué)的理性特質(zhì)，涵養(yǎng)學(xué)生的理性精神。這些都豐盈了本節(jié)課的育人內(nèi)涵。