初中數學幾何變換思想的教學策略研究

陳連生

摘要：幾何變換思想是初中數學中重要的數學思想，其所體現的是數學運動變化以及在運動變化過程中仍然存有不變量的數學理念。在初中數學教學中，教師可以利用裁剪活動、多媒體教學工具等手段，增強學生對于幾何變換過程的動態(tài)直觀體驗，奠定幾何變換思想基礎，同時引入一題多解的教學手段，幫助學生形成運用幾何變換思想的解題意識，提高學生的數學思想水平。

關鍵詞：初中數學;幾何變換思想;數學思想;解題意識

伴隨著課程改革的不斷深入，義務教育階段數學學科教學開始構建“四基”教學體制和理念，數學思想教育成為義務階段數學教育的核心。相較傳統(tǒng)教學模式，新課程背景下數學思想的引入，不僅幫助學生樹立了正確的數學觀念，而且有助于學生對數學知識理論體系的融會貫通，進而培養(yǎng)學生的數學精神和數學應用能力。在初中階段的數學教學中，學生對于幾何證明知識學習起來比較困難，其主要原因在于學生缺少幾何變換的思想認知，缺少邏輯性的思維構建。因此，在開展教學的過程中，教師應當注重幾何變換思想的融入和滲透，通過創(chuàng)新教學手段，為學生打開認識數學規(guī)律、理解數學思想的思維大門。

1? ?初中階段學生接受的幾何變換思想

1.1新課程標準對于數學思想教學的新要求

早在2001年，在教育部頒布實施的義務教育課程標準中，便將幾何變換作為義務教育階段數學學科教學體系當中的重要內容，學生通過初中階段的數學學習，需要能夠掌握合同變換、相似變換等不同變換形式，理解數學幾何當中的變換關系。2011年，對義務教育數學課程標準進行了內容革新，新課程標準從教育理念視角出發(fā)，強調數學教學當中幾何變換的數理特點應當以外顯性的知識形態(tài)呈現在學生面前，同時數學教學還需要將其背后隱含的思想方法滲透到學生的學習和實際應用當中。初中階段的幾何變換對于學生來說既是一種認識各種幾何圖形的思維工具，同時也是數學當中運動變化思想的重要體現。教師需要認識到幾何變換本身所具有的思想特性，進而通過組織開展?jié)B透幾何變換思想的教學，幫助學生構建完整的數學思想體系。

1.2初中數學教學中學生接觸到的初等幾何變換知識

在初中階段的數學教學中，學生主要接觸幾何學中的初等幾何變換知識。根據類型特征進行分類，初中的幾何變換主要分為平移變換、反射變換、旋轉變換以及位似變換等。其中，平移變換主要是指在圖形F當中的所有點，沿同一方向移動，經過相同的移動長度后，得到圖形F′，整個變換過程為平移變換。在變換特性方面，平移變換主要由向量決定，向量的實際方向以及向量的模最終決定了平移的數量。

反射變換主要是指在平面內有兩個圖形F和F′，兩個圖形呈軸對稱關系。其中F與F′以直線L作為對稱軸，此時該圖形變換被稱為反射變換，其中直線L則是變換圖形的反射軸。兩個圖形彼此轉向相反。在圖形變換當中，兩個圖形自身全等，圖形上對應點之間的連線能夠被反射軸垂直平分。

旋轉變換是指圖形F上的每個點，沿著點O做順時針或逆時針的圓周運動，通過旋轉α角度后，得到新的圖形F′，其中圖形F通過旋轉的方式得到圖形F′的過程為旋轉變換，O是旋轉變換的旋轉中心，α是旋轉角。旋轉變換中，旋轉前后兩個圖形為全等關系，旋轉前后的對應點與旋轉中心連線所形成的角與旋轉角相等。

位似變換是指在平面上有圖形F和F′，這兩個圖形在點與點之間存在一一對應關系，滿足任意連接對應頂點時連接直線都經過同一點O，若A與A′為任意對應點，則有OA′=|k|OA。

1.3初中學生需要形成的幾何變換思想

幾何變換當中所呈現的思想源于幾何變換過程中所表現出的運動規(guī)律。在幾何學中，幾何變換主要通過平移、旋轉、軸對稱、相似變換等方式完成一種或多種疊加，但是其中圖形之間仍然保持一些量不變的特性，在運動過程中仍然存在一些沒有變化的量，對于變化中不變量的正確認知的思想，便是學生需要掌握的幾何變換思想。在初中階段的數學教學中，教師需要認識到幾何變換思想對于學生形成全面認知數學思維的重要作用，通過巧妙的數學教學滲透，使學生正確認識到幾何變換思想的價值。同時，引導學生不斷嘗試運用并理解幾何變換思想在圓的認知、輔助線應用等方面的重要作用，奠定學生后續(xù)學習矩陣變換知識的思想基礎。

2? ?初中數學現階段教學中幾何變換思想教學的困局

2.1教師在教學中對幾何變換思想不夠重視

幾何變換思想是新課程改革背景下初中數學教學進行教學創(chuàng)新的重要方向，是滲透數學思想、培養(yǎng)學生數學思維的關鍵環(huán)節(jié)。但是，在調查分析中可以發(fā)現，大部分教師對于幾何變換思想的教學認知不足，教師普遍將幾何變換作為一種工具概念，學生只需要在學習過程中了解幾何變換的形態(tài)即可。在這種教學方式之下，教師很難主動進行幾何變換的思想拓展，無法將幾何變換思想與其他知識進行系統(tǒng)融合來幫助學生更加深層次地理解幾何規(guī)律。就目前的教學情況來看，初中階段學生面臨著嚴峻的升學壓力，課時較短、教學內容繁重，教師多采用傳統(tǒng)快節(jié)奏的教學方式，更追求課堂中的內容容量，以保證課程教學進度。但是這種教學方式忽視了學生對于知識的學習和掌握，沒有給學生預留充足的思考和反思時間，學生在數學學習中能夠學習的思想十分有限，也很難從整體視角出發(fā)，將零散的數學知識整合起來，實現知識的觸類旁通。教師在教學中大多是要求學生對已經學習過的幾何模型進行機械式記憶。通過機械記憶，學生雖然能夠對幾何模型進行描述，但是對于幾何模型的數理特點以及不同幾何模型之間存在的聯(lián)系，學生卻知之甚少。學生的思想觀念沒有得到培養(yǎng)塑造，只是在不斷的“題海戰(zhàn)術”中進行重復訓練，逐漸消磨他們的學習興趣，導致學生很難投入熱情，無法自主反思，也不能產生思維探索和創(chuàng)新能力。而這也恰恰是當前幾何變換思想在初中教學滲透過程中面臨的困局之一。

2.2學生缺少主動運用幾何變換思想的意識

在對學生的數學思想以及數學思想的實踐情況進行觀察后發(fā)現，初中階段學生的數學思想運用較少，面對問題時，很難利用數學思想找尋到巧妙解決問題的辦法。其中，幾何變換思想在幾何證明題中有著十分廣泛的應用，但是學生在做幾何證明題時卻很少利用幾何變換的方式獲取未知信息，更多情況下，他們還是會采用相似、全等等更加熟悉的證明方法進行論證。也有部分學生在面對可以利用輔助線解決的問題時束手無策，對于題目當中給出的各項信息有著怎樣的邏輯關聯(lián)無法有清晰的認知。造成這種情況的主要原因在于學生長久以來都處于被動接受知識的狀態(tài)，對于數學學科學習也缺乏積極主動性，只是為了應付考試，學生很少主動運用數學思維，沒有形成探究意識和創(chuàng)新意識，進而缺少思維的靈活性，無法做到舉一反三。一些能夠利用旋轉、平移等幾何變換解決的問題，學生卻并未意識到幾何變換在其中的作用，最終無法將幾何變換融入其中。就目前的教學情況來看，傳統(tǒng)教學模式在一定程度上提高了教學效率，保證了教學進度和教學節(jié)奏，對于提高學生的數學水平具有顯著作用。但是從長遠發(fā)展角度來看，這種教學方式對于學生的思維成長和思想成熟來說是有害的，學生無法理解數學當中運動變化的規(guī)律特征，無法形成對于幾何學習的正確認知，很難在后續(xù)學習中投入學習熱情，甚至在接觸到矩陣與變換的學習時，由于數學思想基礎薄弱，會產生無法理解的思維問題。

3? ?初中數學教學中滲透幾何變換思想的教學策略

3.1利用手工剪切方式增強學生對于幾何變換的直觀印象

傳統(tǒng)課堂教學中所開展的幾何變換教學，主要是由教師通過展示圖形形態(tài)和描述圖形性質來實現，這種教學方式對于學生直觀感受幾何變換的過程，形成幾何變換思想，能夠起到的幫助作用并不大。教師應當轉變教學思路，突出幾何變換當中能夠呈現直觀動態(tài)和不變量的形象特點，以此培養(yǎng)學生直觀感受加理性思考相結合的思維能力，幫助學生樹立幾何變換思想。教學方面，教師可以結合一些日常的手工活動，通過設計折紙、裁剪等手工藝品制作的動手活動，幫助學生直觀感受幾何變換的實際過程。例如，教師可以將裁剪活動引入三角形中位線以及圖形運動中，通過教學指導的方式，引導學生思考怎樣將一張四邊形的紙片裁剪成平行四邊形。學生在裁剪紙片之前，首先需要掌握四邊形本身的性質，通過裁剪紙片的四個角得到一個平行四邊形。接下來，教師繼續(xù)追問，裁剪下來的四個角能夠組成什么圖形。此時學生根據教師的指引，再次進行圖形的拼合，隨后學生發(fā)現，裁剪下的四個角仍然能夠拼合成一個完整的平行四邊形。通過這種親身體驗的方式，學生逐漸體會到圖形的變換特點，了解到四邊形裁剪后得到的兩個平行四邊形四個角之和仍然為360°的不變量特性。

3.2利用多媒體作圖教學展示幾何變換的規(guī)律

在課堂教學中，教師還需要認識到初中階段的幾種幾何變換類型之間存在的緊密關系，通過強化聯(lián)系的方式培養(yǎng)學生的整體性思維。例如，多次平移與一次平移之間存在的關系、經過兩次軸對稱之后圖形發(fā)生了怎樣的變化等。為了能夠清晰展示幾何變換當中圖形的變化特點，教師可以通過多媒體作圖演示的方式，展示幾種類型的變換規(guī)律和內在關系。例如，教師可以在軸對稱的教學中將平行對稱軸和相交對稱軸兩種對稱軸形式下出現的軸對稱變化差別演示出來。學生通過觀看教師的演示后可以發(fā)現，平行對稱軸當中圖形經過了兩次軸對稱變換，獲取到了位置不同的全等圖形。兩個圖形之間的變化與一次平移的結果相同。而在相交的對稱軸當中，圖形經過兩次軸對稱平移后得到了全等圖形，兩個圖形之間所呈現的變換關系與旋轉變換的結果相同，其中旋轉角即為兩個對稱軸的相交角。通過直觀的演示，教師幫助學生建立了更加全面的軸對稱聯(lián)系觀念。

3.3采用一題多解教學手段強化學生對于幾何變換思想的運用

幾何變換思想的教學主要目的是幫助學生了解更加廣闊的數學認知視域，引導學生更加全面深刻地理解數學問題。因此，在數學教學中，教師要通過實踐教學方式培養(yǎng)學生應用幾何變換思想解決數學問題的意識，提高他們對于幾何變換思想的認知水平。

例如，在三角形證明題目中，可以采用一題多解的教學方式。題目：在△ABC中，有點D，滿足DA=3，DB=4，DC=5，求△ABC的邊長。在解題過程中，教師可以引導學生進行思考，嘗試從旋轉變換以及軸對稱變換兩個角度出發(fā)，通過繪制輔助線對已知條件進行整理，最終完成解答。在旋轉變換解題方法中，學生首先將△ABD中A作為旋轉中心，對其進行逆時針旋轉60°，得到△ACE，連接DE，并延長，得到線段BD，DB與AE相交于點F。根據旋轉變換的性質，此時∠DAE為60°，因此△ABD≌△ACE。由此可得到AE=AD=3，CE=BD=4，因此△ADE為等邊三角形，DE=3，∠AED為60°，因此△DCE中DE=3，CE=4，CD=5。根據勾股定理的逆定理得，△CDE為直角三角形，∠DEC為90°，而∠AEC為∠AED與∠DEC之和為150°，因此∠ADB為150°，∠ADF為30°，∠DAE+∠ADF為90°，DF⊥AE。根據勾股定理AB2=BF2+AF2，可得到AB=。

此外，教師可以引導學生在旋轉變換之外，再次找尋其他解題方法，如通過軸對稱的方式制作圖形輔助線進行解題，最終會得到相同的答案。利用一題多解的教學方式，學生逐漸形成了利用幾何變換思想解決問題的意識，提高了學生在數學應用當中的思維能力。

在初中數學教學中，教師需要充分認識到數學思想在學生全面發(fā)展中的意義和價值。其中幾何變換思想是此前學科教學中的薄弱環(huán)節(jié)，學生在實際數學思維運用和數學問題解答過程中很難將幾何變換思想運用其中，存在思維機械、靈活性不足等問題。教師應當在課堂中提高學生的數學感知體驗，幫助學生理解幾何變換中重要的不變量思想特點，認識幾何圖形在發(fā)生變換過程中的規(guī)律及其所具有的重要意義。學生只有建立幾何變換思想，才能在數學學習中得心應手，觸類旁通，打下堅實的數學基礎。

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