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    一道初中求線段長度最值題的解法賞析

    2022-05-30 17:51:14王莉璠
    數(shù)學教學通訊·初中版 2022年9期
    關鍵詞:一題多解最值

    王莉璠

    [摘? 要] 文章通過探究一道求線段長度最值題的多種解法,以提高學生學習的興趣與解題能力,促使他們了解并掌握求線段長度最值題的常用方法:軌跡法、構造折線段法、構造函數(shù)法.

    [關鍵詞] 一題多解;最值;線段長度

    很多數(shù)學題都有多種解法,我們在平常的教學中要讓學生養(yǎng)成發(fā)散思維的習慣,讓學生從不同的角度思考問題,以此探尋同一問題不同的解法,這樣有利于提高學生的學習興趣與解題能力. 下面以一道初中求線段長度最值題為例,談談如何從不同的角度思考、分析問題,進而得到不同的解題方法.

    題目與分析

    如圖1所示,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,BC=4,連接AC,BD. 若BD⊥CD,求AC長度的最大值.

    這是一道求線段長度的最值問題,主要考查學生利用知識解決問題的能力. 解決此題有多種方法,下面進行詳細的闡述.

    思路與解法

    視角1將B,C視為定點,D視為主動點,A視為從動點,根據(jù)主從動點的關系,利用主動點D的運動軌跡判斷從動點A的運動軌跡,再利用點A的運動軌跡解題.

    解法1如圖2所示,因為∠BDC=90°,BC=4,所以點D在以BC為直徑的圓O上運動. 因為AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD是等邊三角形. 所以BD=BA. 將△BDC及其外接圓O繞點B逆時針旋轉60°后,得到△BAC′和圓O′,連接O′A,O′C,C′C. 因為BC′=BC,∠C′BC=60°,所以△C′BC是等邊三角形. 因為O′為BC′的中點,所以O′C=BC=2. 因為O′A為圓O′的半徑,所以O′A=BC′=BC=2. 因為C為定點,A為定圓O′上的動點,所以AC長度的最大值=O′A+O′C=2+2.

    點評因為BC的長為定值(BC=4),它所對的∠BDC也為定值(∠BDC=90°),因此可將B,C視為定點,D視為動點. 因為△ABD是等邊三角形,因此點A可視為由點D繞點B逆時針旋轉60°后得到的. 故動點D為主動點,動點A為從動點. 因為點D在圓O上,因此點A在圓O′(圓O′為圓O逆時針旋轉60°后所得)上. 于是可將求AC的最大值問題轉化為求定點C與定圓O′上動點A之間的距離最大值問題.

    視角2? 將B,C視為定點,因為D,A為動點,它們之間又有固定的關系,于是通過旋轉把動點A旋轉到動點D的位置,再利用動點D的軌跡解題.

    解法2? 如圖3所示,因為∠BDC=90°,BC=4,所以點D在以BC為直徑的圓O上. 因為AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD是等邊三角形. 所以BD=BA. 將△BAC繞點B順時針旋轉60°后得到△DBC′,連接OD,OC′,C′C. 因為BC′=BC,∠CBC′=60°,所以△CBC′是等邊三角形. 因為O為BC的中點,所以OC′=BC′=BC=2. 因為OD為圓O的半徑,所以OD=BC=2. 因為C′為定點,D為定圓O上的動點,所以DC′長度的最大值=OD+OC′=2+2. 因為DC′=AC,所以AC長度的最大值為2+2.

    點評將B,C視為定點,A,D視為動點,利用旋轉,將動點A旋轉到動點D的位置,把求AC長度的最大值問題轉化為求DC′長度的最大值問題.

    視角3? 將∠BDC視為定角,B,C分別視為DB,DC上的動點,根據(jù)定角對定邊的三角形的外接圓的半徑為定值的特性,利用三角形的外接圓的圓心構造折線段解題.

    解法3? 如圖4所示,因為AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD是等邊三角形. 所以BD=BA. 將△BAC繞點B順時針旋轉60°后得到△BDC′,取BC的中點O,連接OD,OC′,C′C,則OD=BC=2. 因為BC′=BC,∠CBC′=60°,所以△CBC′是等邊三角形. 所以OC′=BC′=BC=2. 因為DC′≤OD+OC′,所以DC′≤2+2,且當D,O,C′三點共線時,DC′的長度取得最大值2+2. 因為DC′=AC,所以AC長度的最大值為2+2.

    點評將△BAC繞點B順時針旋轉60°后得到△BDC′,把求AC長度的最大值轉化為求DC′長度的最大值. 因為∠BDC為定值(∠BDC=90°),它所對的邊BC為定值(BC=4),因此將∠BDC視為定角,B,C分別視為射線DB,DC上的動點,則△BDC外接圓的半徑為定值. 由于∠BDC=90°,因此△BDC外接圓的圓心O為BC的中點. 根據(jù)△BDC外接圓的半徑為定值這一特性,利用圓心O在D,C′兩點之間構造一條折線段,且組成這條折線段的兩條線段的長度均為定值,再利用三角形的三邊關系求DC′長度的最大值,即得AC長度的最大值.

    視角4將B,C視為定點,將線段BD的長度視為變量,構造關于線段AC長度的函數(shù),利用函數(shù)的性質求最值.

    解法4? 如圖5所示,過點A作AE⊥CD,交CD的延長線于點E. 因為AB=AD,∠BAD=60°,因此△ABD是等邊三角形. 所以BD=AD,∠BDA=60°. 因為∠BDC=90°,所以∠ADE=30°. 設BD=x(x>0),則AD=x,AE=AD·sin∠ADE=x,DE=AD·cos∠ADE=x. 在△BDC中,因為∠BDC=90°,BC=4,BD=x,所以CD==. 所以CE=CD+DE=+x. 所以AC2=CE2+AE2=16+=16+≤16+8=(2+2)2. 所以AC≤2+2. 所以當x2=8,即x=2時,AC的長度取得最大值2+2.

    點評因為△BAD是等邊三角形,BC是定值(BC=4),因此把B,C視為定點,當線段BD的長度發(fā)生變化時,會引起D,A兩點的位置變化,從而引起線段AC長度的變化. 所以設線段BD的長度為變量x,構造關于線段AC長度的函數(shù),再利用函數(shù)的性質求最值.

    求線段長度最值的常用方法有:軌跡法、構造折線段法、構造函數(shù)法. 根據(jù)這些方法求線段長度的最值,要么尋找動點的軌跡,將所求最值問題轉化為求點與圓、點與直線間距離的最值;要么構造折線段,利用三角形的三邊性質求最值;要么構造函數(shù),利用函數(shù)的性質求最值.

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