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    “‘一次函數(shù)’小結與思考”教學實錄及反思

    2022-05-30 10:48:04吳加健
    初中生世界·初中教學研究 2022年9期
    關鍵詞:方程組交點直線

    吳加健

    本節(jié)課是蘇科版數(shù)學八(上)“一次函數(shù)”的小結與思考課,其主要內容是通過具體問題回顧本章所學知識,進一步感受變量之間的函數(shù)關系,知道函數(shù)、方程、不等式是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系和變化規(guī)律的重要模型,讓學生在數(shù)學建模中進一步體會數(shù)學的應用價值。

    一、教學目標

    通過自主梳理本章知識結構,能夠綜合應用本章知識解決相關數(shù)學問題;通過知識的系統(tǒng)整理,明晰研究函數(shù)的基本路徑;通過問題解決,感知一次函數(shù)的定義、圖像、性質、應用以及它與一次方程(組)、一次不等式的關系;通過單元整體建構,進一步體會方程與函數(shù)、化歸與轉化、數(shù)形結合、待定系數(shù)法等重要的數(shù)學思想方法,培育抽象能力、模型觀念、創(chuàng)新意識等核心素養(yǎng)。

    二、教學實錄

    活動一:整體梳理,展示預學。

    師:我們知道函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界運動變化的數(shù)學模型。本節(jié)課,老師和大家一起進行“一次函數(shù)”的小結與思考。請同學們對本章的知識結構進行組內討論,并梳理和總結,然后和大家分享。

    生1:在一個變化過程中,變量x的每一個值,y都有唯一的值與它對應,那么y就是x的函數(shù),x就叫作自變量,y叫作因變量。

    師:這個是函數(shù)的概念。

    生1:函數(shù)有三種表示方法:列表法、圖像法、解析法。

    師:很好!那如何畫函數(shù)圖像?

    生2:先列表,再描點,最后連線。

    生3:我梳理的還有一次函數(shù)的定義、圖像與性質、應用。

    師:那什么樣的函數(shù)叫作一次函數(shù)?

    生3:形如y=kx+b。

    師:x和y是變量,其中k和b都是?

    生3:k和b都是常量且k不等于0。

    師:一次函數(shù)有什么特例啊?

    生3:有正比例函數(shù)。

    師:什么樣的函數(shù)叫作正比例函數(shù)?

    生3:y=kx,也就是常數(shù)b為0的特殊情形。

    師:那一次函數(shù)的圖像是?

    生4:一條直線。

    師:那么如何來畫這個圖像呢?

    生4:只需確定兩個點。

    師:函數(shù)中的k決定什么?

    生5:k決定增減趨勢。

    師:我們不妨把經(jīng)過第一、三象限的圖像的走向看成上升,把經(jīng)過第二、四象限的圖像的走向看成是下降。b呢?

    生5:b的確定和y軸的交點位置相關。

    生6:我們還學習了一次函數(shù)與方程、一次函數(shù)和不等式的關系。

    師:一次函數(shù)、一次方程、一次不等式,當然后面還有二次、更高次的方程與不等式。函數(shù)、方程、不等式存在著千絲萬縷的聯(lián)系。

    師:通過提出問題,抽象出函數(shù),到一次函數(shù),這里體現(xiàn)數(shù)學建模的思想。同時,我們在研究一次函數(shù)的圖像與性質的過程中,體會到數(shù)量和圖形之間的聯(lián)系,這里面涉及了一個重要的數(shù)學思想方法:數(shù)形結合。

    活動二:整體理解,問題剖析。

    師:圖1是一次函數(shù)y=kx+b的圖像,你能獲得哪些信息?

    生7:因為它經(jīng)過第二、四象限,所以k<0。又因為它交于y軸的正半軸,所以b>0。

    師:交于y軸的點的坐標你可以描述出來嗎?

    生7:(0,b)。

    師:非常好,還有什么信息?

    生8:函數(shù)值y隨著x的增大而減小。

    師:若y=kx+b的圖像過點(1,2)和(-1,6),你能提出哪些問題?如何思考解決的?(小組討論)

    生8:求這個函數(shù)表達式。

    師:你準備用什么方法求?

    生8:待定系數(shù)法。將(1,2)和(-1,6)分別代入y=kx+b,得到一個關于k和b的方程組,求出的函數(shù)表達式為y=-2x+4。

    師:哪個小組還能提出其他問題嗎?

    生9:我們小組認為還可以求出直線與x軸和y軸圍成的圖形的面積。

    師:很好,如何解決?

    生9:求出直線與x軸和y軸的交點坐標就可以了。

    師:還有嗎?

    ……

    師:這里涉及直線與坐標軸的交點、直線之間的交點、線段的長度、圖形的面積、大小比較、增減性等知識,還有其他的平移變換的問題,希望大家課后再作深度的探討。

    活動三:整體把握,應用遷移。

    (1)[x-y=1,2x-y=3;](2)[x-y=1,2x-2y=2;](3)[x-y=1,2x-2y=4。]

    師:如何通過兩條直線位置關系,探索上述二元一次方程組解的情況?

    生10:(1)相交,這個方程組有唯一解。

    生11:(2)重合,這個方程組有無數(shù)組解。

    生12:(3)平行,這個方程組無解。

    師:由此可見,除了用代入消元法或加減消元法直接解方程組之外,還可以直接用圖像判斷方程組解的個數(shù)。

    師:請問y=[2x]、 y=x2+2x+1是不是函數(shù)?

    生(齊):是。

    師:其實,一次函數(shù)只是函數(shù)“家族”中的一員,像y=[2x]、 y=x2+2x+1等函數(shù)是我們今后要學習的內容,我們可以用研究一次函數(shù)的方法來研究這些函數(shù)的圖像及性質。老師希望同學們學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界,學會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界,學會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界,我們的未來一定像k[>]0的一次函數(shù)的圖像一樣,一路上升,前程似錦!

    三、教學反思

    為了解決教學碎片化問題,感受整體教學觀,教師應引導學生自主構建知識體系,提煉數(shù)學思想方法?;谝延械膶W習經(jīng)驗,探究知識的生成,素養(yǎng)的自然生長,進行知識體系的后建構,有利于學生知識的儲存、提取與應用。問題串的設計有助于學生更好地理解所學知識,并且逐步建立起整體知識框架,激發(fā)學生學習的內驅力。從數(shù)學學科的特點看,無論是新知的引入(把握探究新知的一般路徑),還是解題的有序思考(指導學生學會思考),都力求自然,從學科本身出發(fā),從學生的基礎出發(fā),從學生的認知經(jīng)歷出發(fā),幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗,發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng),使數(shù)學學習進一步深入。

    (作者單位:江蘇省鹽城市鹿鳴路初級中學)

    本文系江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃課題“‘雙減背景下初中數(shù)學作業(yè)設計校本化實踐研究”(項目編號:E-c/2021/40)階段性成果之一。

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