一道北京大學(xué)強基數(shù)學(xué)題的變式探究及推廣

金迅嬰 李盛

摘要：文章給出了2020年北京大學(xué)強基計劃數(shù)學(xué)試題第9題的多種解法，并作了變式探究和推廣.

關(guān)鍵詞：北京大學(xué)；強基計劃；不等式；變式推廣

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0043-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：金迅嬰（1968-），男，浙江省東陽人，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

李盛（1988-），男，浙江省東陽人，本科，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

1 題目呈現(xiàn)

題目（2020年北京大學(xué)強基計劃數(shù)學(xué)試題第9題）使得5x+12xy≤a（x+y）對所有正實數(shù)x，y都成立的實數(shù)a的最小值為（）.

A.8 B.9C.10D.前三個答案都不對

這一試題從外部結(jié)構(gòu)初看是含參不等式恒成立問題，但內(nèi)涵豐富，隱藏著豐富的函數(shù)思想，具有一定的探究價值.

2 題目解析

解法1（分離參數(shù)法1）由于x>0，y>0，分離參數(shù)，得a≥5x+12xyx+y.

進一步得a≥5+12yx1+yx.

換元，令t=yx，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式

a≥5+12t1+t2，t>0.

再用基本不等式法或求導(dǎo)法，求出函數(shù)y=5+12t1+t2（t>0）的最大值為9，也就是a的最小值為9.故選B.

解法2（分離參數(shù)法2）前面同解法1，換元，令t=5+12yx，顯然t>5，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式

5+12yx1+yx=t1+t-5122

=144tt2-10t+169

=144t+169t-10

≤1442169-10=9，

當且僅當t=13時等號成立，即yx=49，因而a的最小值為9.故選B.

解法2比解法1簡單，但不如下面的解法簡捷.

解法3（待定常數(shù)法）引入待定常數(shù)λ>0，根據(jù)基本不等式，得

5x+12xy=5x+12λx·yλ

≤5+6λx+6yλ.

令5+6λ=6λ，可得λ=23.

因而5x+12xy≤9（x+y）.

當且僅當λx=yλ時等號成立，即yx=49.

故a的最小值為9.選B.

解題過程十分簡潔！但不是解決這類問題的一般性方法.一般方法是化生為熟的基本不等式法.

解法4由于題給不等式對任意正數(shù)x，y恒成立，利用極限方法，令y→0，得ax≥5x.

又x>0，所以a≥5.

將題給不等式變形，得

12xy≤a-5x+ay.

兩邊同除xy，分離出常數(shù)12， 問題就轉(zhuǎn)化為

不等式a-5xy+ayx≥12對任意正數(shù)x，y恒成立，求a的最小值.

由于a-5xy+ayx≥2a-5a，當且僅當yx=a-5a時等號成立.

所以a-5xy+ayx的最小值為2a-5a.

故實數(shù)a應(yīng)滿足的條件為2a-5a≥12，解得a≥9.

所以a的最小值為9.故選B.

評注解法4先采用極限方法，先確定實數(shù)a的一個范圍， 再用分離法求解，是解決這類問題的一般方法.3 變式探究

前三種解法，一種比一種簡潔.解法3中是令5+6λ=6λ，確定待定系數(shù)λ的值，受此啟發(fā)，求解過程中我們?nèi)绻?/p>

5+6λ=2×1λ，或5+6λ=32×1λ

分別會得出什么新結(jié)論？經(jīng)研究，有

變式1使得5x+12xy≤a（x+2y）對所有正實數(shù)x，y都成立的實數(shù)a的最小值為.

答案73+52.

變式2使得5x+12xy≤a（2x+3y）對所有正實數(shù)x，y都成立的實數(shù)a的最小值為.

答案612.

變式3（2022年4月陜西省渭南市二模理數(shù)第12題）若對任意的x，y>0，都有x+y+2xy≤a（2x+3y）成立，則實數(shù)a的最小值是（）.

A.45B.56C.63D.5+2612

解析利用柯西不等式，得

x+y+2xy=12·2x+13·3y2

≤12+132x+3y.

易知實數(shù)a的最小值是12+13=56，故選B.

還有很多變式，不一一列舉.

4 結(jié)論推廣

解法4中將題給不等式變形為12xy≤a-5x+ay，從結(jié)構(gòu)上看，類似于基本不等式2xy≤x+y，這啟發(fā)我們進一步思考其推廣問題：

使不等式λn∏ni=1xi≤∑ni=1aixi對所有正數(shù)xi（i=1，2，…，n，n∈N，n≥2）都成立的實數(shù)ai（i=1，2，…，n），λ應(yīng)滿足什么條件？

經(jīng)研究，得

定理使不等式

λn∏ni=1xi≤∑ni=1aixi①對所有正數(shù)xi（i=1，2，…，n，n∈N，n≥2）都成立，則實數(shù)ai（i=1，2，…，n），λ應(yīng)滿足ai≥0（i=1，2，…，n），且λ≤nn∏ni=1ai.證明由于不等式①對任意正數(shù)xi（i=1，2，…，n）恒成立，采用極限方法，令xi→0（i=2，…，n），得a1x1≥0.

又x1>0，所以 a1≥0.

同理可得：a2≥0，a3≥0，…，an≥0.

將不等式①變形，問題轉(zhuǎn)化為：

不等式λ≤∑ni=1aixin∏ni=1xi對任意正數(shù)xi（i=1，2，…，n，n∈N，n≥2）恒成立，實數(shù)ai≥0（i=1，2，…，n），λ應(yīng)滿足什么條件？

應(yīng)用n元的算術(shù)——幾何平均值不等式，可得

∑ni=1aixin∏ni=1xi≥nn∏ni=1aixin∏ni=1xi=nn∏ni=1ai，

且等號在a1x1=a2x2=…=anxn時成立.

所以λ≤nn∏ni=1ai.

這樣一來，用同一方法，就把問題推廣到了n元加權(quán)的算術(shù)——幾何平均值不等式有關(guān)的恒成立問題.

練習已知不等式a（x+y）≥kx+λxy對任意正數(shù)x，y恒成立，求實數(shù)a的最小值（用正實數(shù)k，λ表示）.

解析已知不等式可化為

a-kx+ay≥λxy

由定理，知應(yīng)滿足的條件為.

a≥0，a-k≥0，λ≤2aa-k，

即a≥0，a≥k+k2+λ22，a≥k.

由于k+k2+λ22>k，

所以amin=k+k2+λ22.

評注當k=5，λ=12時，就得2020年北京大學(xué)強基數(shù)學(xué)試題第9題的答案amin=k+k2+λ22=9.本例從結(jié)構(gòu)上推廣到了一般情形：

若不等式a（x+y）≥kx+λxy對任意正數(shù)x，y，k，λ恒成立，則實數(shù)a的最小值為k+k2+λ22.

參考文獻：

［1］李世杰，李盛.不等式探秘[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2017.

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］ 弭金瑞.巧轉(zhuǎn)化 妙破解 深拓展——一道不等式恒成立問題的探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（30）：48-49.

［4］ 許萬成.破解含參不等式恒成立問題的常見策略［J］.數(shù)理化解題研究，2021（25）：25-26.