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    一道北京大學(xué)強基數(shù)學(xué)題的變式探究及推廣

    2022-05-30 07:30:02金迅嬰李盛
    數(shù)理化解題研究·高中版 2022年10期
    關(guān)鍵詞:強基計劃不等式北京大學(xué)

    金迅嬰 李盛

    摘要:文章給出了2020年北京大學(xué)強基計劃數(shù)學(xué)試題第9題的多種解法,并作了變式探究和推廣.

    關(guān)鍵詞:北京大學(xué);強基計劃;不等式;變式推廣

    中圖分類號:G632文獻標識碼:A文章編號:1008-0333(2022)28-0043-03

    收稿日期:2022-07-05

    作者簡介:金迅嬰(1968-),男,浙江省東陽人,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究;

    李盛(1988-),男,浙江省東陽人,本科,中學(xué)一級教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

    1 題目呈現(xiàn)

    題目(2020年北京大學(xué)強基計劃數(shù)學(xué)試題第9題)使得5x+12xy≤a(x+y)對所有正實數(shù)x,y都成立的實數(shù)a的最小值為().

    A.8 B.9C.10D.前三個答案都不對

    這一試題從外部結(jié)構(gòu)初看是含參不等式恒成立問題,但內(nèi)涵豐富,隱藏著豐富的函數(shù)思想,具有一定的探究價值.

    2 題目解析

    解法1(分離參數(shù)法1)由于x>0,y>0,分離參數(shù),得a≥5x+12xyx+y.

    進一步得a≥5+12yx1+yx.

    換元,令t=yx,轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式

    a≥5+12t1+t2,t>0.

    再用基本不等式法或求導(dǎo)法,求出函數(shù)y=5+12t1+t2(t>0)的最大值為9,也就是a的最小值為9.故選B.

    解法2(分離參數(shù)法2)前面同解法1,換元,令t=5+12yx,顯然t>5,轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式

    5+12yx1+yx=t1+t-5122

    =144tt2-10t+169

    =144t+169t-10

    ≤1442169-10=9,

    當且僅當t=13時等號成立,即yx=49,因而a的最小值為9.故選B.

    解法2比解法1簡單,但不如下面的解法簡捷.

    解法3(待定常數(shù)法)引入待定常數(shù)λ>0,根據(jù)基本不等式,得

    5x+12xy=5x+12λx·yλ

    ≤5+6λx+6yλ.

    令5+6λ=6λ,可得λ=23.

    因而5x+12xy≤9(x+y).

    當且僅當λx=yλ時等號成立,即yx=49.

    故a的最小值為9.選B.

    解題過程十分簡潔!但不是解決這類問題的一般性方法.一般方法是化生為熟的基本不等式法.

    解法4由于題給不等式對任意正數(shù)x,y恒成立,利用極限方法,令y→0,得ax≥5x.

    又x>0,所以a≥5.

    將題給不等式變形,得

    12xy≤a-5x+ay.

    兩邊同除xy,分離出常數(shù)12, 問題就轉(zhuǎn)化為

    不等式a-5xy+ayx≥12對任意正數(shù)x,y恒成立,求a的最小值.

    由于a-5xy+ayx≥2a-5a,當且僅當yx=a-5a時等號成立.

    所以a-5xy+ayx的最小值為2a-5a.

    故實數(shù)a應(yīng)滿足的條件為2a-5a≥12,解得a≥9.

    所以a的最小值為9.故選B.

    評注解法4先采用極限方法,先確定實數(shù)a的一個范圍, 再用分離法求解,是解決這類問題的一般方法.3 變式探究

    前三種解法,一種比一種簡潔.解法3中是令5+6λ=6λ,確定待定系數(shù)λ的值,受此啟發(fā),求解過程中我們?nèi)绻?/p>

    5+6λ=2×1λ,或5+6λ=32×1λ

    分別會得出什么新結(jié)論?經(jīng)研究,有

    變式1使得5x+12xy≤a(x+2y)對所有正實數(shù)x,y都成立的實數(shù)a的最小值為.

    答案73+52.

    變式2使得5x+12xy≤a(2x+3y)對所有正實數(shù)x,y都成立的實數(shù)a的最小值為.

    答案612.

    變式3(2022年4月陜西省渭南市二模理數(shù)第12題)若對任意的x,y>0,都有x+y+2xy≤a(2x+3y)成立,則實數(shù)a的最小值是().

    A.45B.56C.63D.5+2612

    解析利用柯西不等式,得

    x+y+2xy=12·2x+13·3y2

    ≤12+132x+3y.

    易知實數(shù)a的最小值是12+13=56,故選B.

    還有很多變式,不一一列舉.

    4 結(jié)論推廣

    解法4中將題給不等式變形為12xy≤a-5x+ay,從結(jié)構(gòu)上看,類似于基本不等式2xy≤x+y,這啟發(fā)我們進一步思考其推廣問題:

    使不等式λn∏ni=1xi≤∑ni=1aixi對所有正數(shù)xi(i=1,2,…,n,n∈N,n≥2)都成立的實數(shù)ai(i=1,2,…,n),λ應(yīng)滿足什么條件?

    經(jīng)研究,得

    定理使不等式

    λn∏ni=1xi≤∑ni=1aixi①對所有正數(shù)xi(i=1,2,…,n,n∈N,n≥2)都成立,則實數(shù)ai(i=1,2,…,n),λ應(yīng)滿足ai≥0(i=1,2,…,n),且λ≤nn∏ni=1ai.證明由于不等式①對任意正數(shù)xi(i=1,2,…,n)恒成立,采用極限方法,令xi→0(i=2,…,n),得a1x1≥0.

    又x1>0,所以 a1≥0.

    同理可得:a2≥0,a3≥0,…,an≥0.

    將不等式①變形,問題轉(zhuǎn)化為:

    不等式λ≤∑ni=1aixin∏ni=1xi對任意正數(shù)xi(i=1,2,…,n,n∈N,n≥2)恒成立,實數(shù)ai≥0(i=1,2,…,n),λ應(yīng)滿足什么條件?

    應(yīng)用n元的算術(shù)——幾何平均值不等式,可得

    ∑ni=1aixin∏ni=1xi≥nn∏ni=1aixin∏ni=1xi=nn∏ni=1ai,

    且等號在a1x1=a2x2=…=anxn時成立.

    所以λ≤nn∏ni=1ai.

    這樣一來,用同一方法,就把問題推廣到了n元加權(quán)的算術(shù)——幾何平均值不等式有關(guān)的恒成立問題.

    練習已知不等式a(x+y)≥kx+λxy對任意正數(shù)x,y恒成立,求實數(shù)a的最小值(用正實數(shù)k,λ表示).

    解析已知不等式可化為

    a-kx+ay≥λxy

    由定理,知應(yīng)滿足的條件為.

    a≥0,a-k≥0,λ≤2aa-k,

    即a≥0,a≥k+k2+λ22,a≥k.

    由于k+k2+λ22>k,

    所以amin=k+k2+λ22.

    評注當k=5,λ=12時,就得2020年北京大學(xué)強基數(shù)學(xué)試題第9題的答案amin=k+k2+λ22=9.本例從結(jié)構(gòu)上推廣到了一般情形:

    若不等式a(x+y)≥kx+λxy對任意正數(shù)x,y,k,λ恒成立,則實數(shù)a的最小值為k+k2+λ22.

    參考文獻:

    [1]李世杰,李盛.不等式探秘[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2017.

    [2] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版2020年修訂)[M].北京:人民教育出版社,2020.

    [3] 弭金瑞.巧轉(zhuǎn)化 妙破解 深拓展——一道不等式恒成立問題的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2021(30):48-49.

    [4] 許萬成.破解含參不等式恒成立問題的常見策略[J].數(shù)理化解題研究,2021(25):25-26.

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