合理分類 有序轉(zhuǎn)化

何平

“對(duì)稱圖形——圓”這一章涉及的數(shù)學(xué)思想方法很多，老師將和大家一起來(lái)學(xué)習(xí)圓中的分類思想和轉(zhuǎn)化思想。

我們?cè)诮鉀Q圓中有關(guān)計(jì)算問(wèn)題時(shí)，通過(guò)對(duì)條件進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論不確定時(shí)，往往需要分類討論。通過(guò)尋找分類的對(duì)象和明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，我們可以做到不重復(fù)、不遺漏地得出答案，從而全面地思考問(wèn)題，讓思維更加縝密。

例1 在⊙O中，弦AB所對(duì)圓心角為70°，則弦AB所對(duì)的圓周角為。

【分析】因?yàn)轭}目中弦AB所對(duì)的圓周角位置不確定，所以需要分類。分類的對(duì)象是圓周角，分類的情況是圓周角的頂點(diǎn)在弦AB所對(duì)的兩條弧上。

解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P1在[ACB]上時(shí)，

∵∠AOB=70°，∴∠AP1B=35°。

當(dāng)點(diǎn)P2在[AB]上時(shí)，

∵∠AOB=70°，

∴∠AP2B=180°-[12]×70°=145°。

因此，弦AB所對(duì)的圓周角是35°或145°。

例2 已知⊙O直徑CD與弦AB垂直，垂足為H，若AB=6，CD=10，則AC=。

【分析】因?yàn)轭}目中弦AB的位置不確定，所以需要分類。分類的對(duì)象是弦AB，分類的情況是弦AB在圓心的兩側(cè)。

解：如圖2，連接OA。

∵CD⊥AB，AB=10，

∴AH=BH=[12]AB=3。

∵CD=10，∴OA=5。

∴OH=[OA2-AH2]=[52-32]=4。

∴CH=CO+OH=9。

∴AC=[CH2+AH2]=[92+32]=[310]。

如圖3，CH=CO-OH=1，

∴AC=[CH2+AH2]=[12+32]=[10]。

因此，AC=[310]或[10]。

【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)這兩道例題，我們可以發(fā)現(xiàn)，分類思想蘊(yùn)含在最基本的點(diǎn)、直線、角與圓的位置關(guān)系等圖形中，常見(jiàn)的有圓周角的分類、弦的位置分類等?？傊?，當(dāng)問(wèn)題中條件或結(jié)論中的相關(guān)量不確定時(shí)，就要明確分類方法，合理進(jìn)行分類討論。

轉(zhuǎn)化思想在圓這一章中同樣被廣泛地運(yùn)用在計(jì)算與證明中。對(duì)于圓中的相關(guān)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)條件與結(jié)論的分析，借助最近聯(lián)想，適當(dāng)添加輔助線，可以將圓中較為復(fù)雜的圖形逐步分解成同學(xué)們熟悉的基本圖形，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。

在同圓或等圓中，由弦相等得弧相等

例3 如圖4，在⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P，若AB=CD。求證PB=PD。

【分析】要證明兩邊相等，通?？梢越柚切稳然蛘摺暗冉菍?duì)等邊”等方法來(lái)解決。觀察圖形，容易聯(lián)想到連接BD，再證明∠B=∠D即可。

證明：如圖5，連接BD。

∵AB=CD，

∴[AB]=[CD]。

∴[AB]-[AC]=[CD]-[AC]，即[AD]=[CB]。

∴∠B=∠D。

∴PB=PD。

【點(diǎn)評(píng)】本題從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論與條件之間的聯(lián)系，將條件中的相等的弦轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的弧相等，從而得到對(duì)應(yīng)的圓周角相等。解決問(wèn)題時(shí)，我們只有樹(shù)立將同圓或等圓中的圓心角、弧、弦三者之間的關(guān)系進(jìn)行有序轉(zhuǎn)化的意識(shí)，才可以優(yōu)化解題過(guò)程。

圓中內(nèi)接多邊形的轉(zhuǎn)化

例4 如圖6，在⊙O的內(nèi)接六邊形ABCDEF中，∠A+∠C=220°，則∠E=°。

【分析】本題是圓內(nèi)接六邊形的角度計(jì)算，只要添加輔助線BE即可將圓內(nèi)接六邊形轉(zhuǎn)化為圓的兩個(gè)內(nèi)接四邊形。

解：如圖7，連接BE。

∵四邊形ABEF是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠A+∠BEF=180°。

同理，∠C+∠BED=180°。

∴∠A+∠BEF+∠C+∠BED=360°。

又∵∠A+∠C=220°，

∴∠BEF+∠BED=360°-220°=140°。

∴∠E=140°。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于圓內(nèi)接多邊形中角度的計(jì)算問(wèn)題，我們需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為圓的內(nèi)接四邊形或者三角形。因此，轉(zhuǎn)化是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵。

圓中陰影部分面積的轉(zhuǎn)化

例5 如圖8，圓形時(shí)鐘的半徑為2，其中每個(gè)刻度間的弧長(zhǎng)均相等，過(guò)9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為。

【分析】通過(guò)連接半徑，可以將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為扇形AOB的面積與△AOB的面積之差。

解：連接OA、OB，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，由題意可知∠AOB=60°。

∵OA=OB，∴△AOB為等邊三角形。

∴AB=AO=BO=2。

∵AO=BO，OC⊥AB，

∴∠OCA=90°，AC=1?！郞C=[3]。

∴S△AOB=[12]×2×[3]=[3]。

又∵S扇形AOB=[60°π×22360°]=[2π3]，

∴陰影部分的面積為[2π3]-[3]。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于陰影部分面積的計(jì)算，我們通常將不規(guī)則的圖形進(jìn)行分解，轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)聯(lián)的規(guī)則圖形后再進(jìn)行計(jì)算。正確添加輔助線，可以將圖形進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化。

（作者單位：江蘇省六合高級(jí)中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)）