重教材，講通法，揭本質(zhì)

楊陽

［摘? 要］ 為了提高復(fù)習(xí)課堂的有效性，教師要用好教材，善于通過教材改編來揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，鞏固學(xué)生的“四基”，提升學(xué)生的思維品質(zhì). 同時，在教學(xué)過程中，教師要堅持“以生為主”，關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展，暴露學(xué)生的思維形成，進而通過有效引導(dǎo)和點撥，幫助學(xué)生建構(gòu)完善的認知體系，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

［關(guān)鍵詞］ 用好教材；數(shù)學(xué)本質(zhì)；思維形成

在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，部分教師為了追求“多、新、難”常將學(xué)生引入茫茫“題?！?，忽視了學(xué)生“四基”的培養(yǎng). 要知道，重復(fù)的、機械的練習(xí)容易造成思維定式，限制學(xué)生思維能力的發(fā)展，得不償失. 教學(xué)中教師要從學(xué)生實際出發(fā)，善于通過“少而精”的問題來揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的解題效率.

橢圓是高考的重點考查內(nèi)容之一，而橢圓中的最值和取值范圍問題因其考查的視角寬、靈活多變而成了高考的熱點問題. 此類問題有一定難度，對學(xué)生的能力要求比較高，一直是教學(xué)難點. 為了突破這一教學(xué)難點，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要“以生為主”，重視回歸課本，重視展示思維過程，關(guān)注揭示問題本質(zhì)，以此讓學(xué)生學(xué)懂吃透. 現(xiàn)筆者結(jié)合具體教學(xué)，談一談對此類專題的幾點認識，若有不足，請指正.

[?]教學(xué)過程

1. 課前熱身

為了解學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識的情況，課前教師以教材為依托，為學(xué)生精心設(shè)計了課前導(dǎo)學(xué)問題，問題如下：

（1）如圖1所示，已知F，F(xiàn)分別是橢圓+=1的左、右焦點，P是橢圓上任意一點，點M的坐標為（6，4），則PM+PF的最大值為______.

（2）已知點P（x，y）是橢圓+=1上的任意一點，則t=x+y的最大值為______.

（3）如圖2所示，橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F，F(xiàn)，點P是橢圓上的任意一點，∠FPF取最大值時點P的坐標為______.

設(shè)計意圖：將例題進行有效改編和整合，使知識點融于小題訓(xùn)練中，繼而通過練習(xí)喚起學(xué)生的記憶. 同時，“小而精”的問題可以降低思維的難度，提升學(xué)生解題的信心. 另外，這些“小而精”的問題能引導(dǎo)學(xué)生從不同視角體驗橢圓中的最值和取值范圍等問題，有助于更好地考查和鞏固學(xué)生的“四基”，為繼續(xù)探究埋下伏筆.

2. 交流反饋

上課時，教師預(yù)留時間讓學(xué)生進行互動交流，并在交流中適時地進行追問：你是怎么想的？這么做的理由是什么？還有其他方法嗎？

設(shè)計意圖：通過交流，啟迪學(xué)生思維，增長智慧；通過追問，充分展示學(xué)生的思維過程，了解學(xué)生在解題中存在的不足，從而為課堂上開展有針對性的教學(xué)活動提供素材.

3. 歸納梳理

交流反饋后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進行知識歸納和梳理，從而逐漸完善個體認知體系，為接下來的拓展訓(xùn)練做好鋪墊.

師：通過課前熱身，我們解決了幾個具有代表性的問題，通過解題你有哪些收獲？談一談你的心得體會. （師生共同總結(jié)歸納）

設(shè)計意圖：通過小結(jié)，幫助學(xué)生回顧橢圓中最值和取值范圍問題所考查的常見示例，并通過解題過程回顧提煉處理方法，為接下來的綜合探究提供思考的路徑.

4. 例題解析

有了前面的鋪墊，學(xué)生對橢圓中的最值和取值范圍問題已經(jīng)有了清晰的認識，接下來教師精心設(shè)計問題，通過交流反饋，逐漸揭示問題本質(zhì)，以此提升學(xué)生分析和解決問題的能力.

例1 如圖4所示，已知橢圓E：+=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F，F(xiàn)，點P是橢圓上的任意一點，·的取值范圍是［2，3］.

（1）求橢圓方程；

（2）設(shè)橢圓左、右頂點分別為A，B，直線l是橢圓的右準線，直線AP交準線l于點M（點M在x軸上方），記直線FP的斜率為k，直線BM的斜率為k，求kk的取值范圍.

問題給出后，教師先讓學(xué)生獨立思考，然后進行交流點評. 對于第（1）問，大多數(shù)學(xué)生都能順利求解，最終得到橢圓方程為+=1，然后重點探究橢圓中的最值和取值范圍問題.

師：對于第（2）問，誰來說一說，你是怎么求解的？

生1：因為點M在x軸上方，所以直線AP的斜率存在. 設(shè)AP的斜率為k，且k>0，直線AP的方程為y=k（x+2），將其代入橢圓方程+=1，化簡得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得xAxP=-2x=，所以P

，

，M（4，6k）. 由此可得k=，k=3k，則kk==-9+. 又9-4k2∈（-∞，0）∪（0，9），所以kk∈（-∞，-9）∪（0，+∞）.

師：解題思維清晰，解題過程完整，展示了超強的運算能力，現(xiàn)在請簡述一下你的解題思路.

生1：根據(jù)已知設(shè)出直線AP的斜率k，利用方程思想方法求出點M和點P的坐標，進而將目標kk用k表示出來，這樣問題就轉(zhuǎn)化成了關(guān)于k的函數(shù)取值問題.

師：很好的思路，立足函數(shù)思想，通過設(shè)元得到目標函數(shù)，繼而運用求函數(shù)取值范圍的思路解決問題. 大家還有沒有其他的方法呢？

生2：設(shè)點P（x，y），可以借助點P的坐標表示點M，再表示kk.

生3：設(shè)點M（4，m），從點M的坐標出發(fā)，用m表示點P，再表示kk.

生4：也可以設(shè)直線MB的斜率，然后用直線MB的斜率表示點M，P，再表示kk.

師：很好，分析以上幾種解決方法，你得到了什么啟示？

生5：設(shè)點或設(shè)斜率都可以完成轉(zhuǎn)化，順利解決問題.

師：還有嗎？（學(xué)生陷入沉思）

生6：雖然形式有所不同，但是其本質(zhì)是相同的，都是通過設(shè)元表示目標函數(shù)，然后運用求函數(shù)取值范圍的思路解決問題.

師：若從直線FP的斜率入手是否行得通呢？

生7：應(yīng)該可以，不過這樣設(shè)元，聯(lián)立方程后表示點P的坐標會比較復(fù)雜，所以還是上面幾種方法較好.

師：確實，對于同一問題往往有多種解法，尤其對于設(shè)元問題，更是靈活多變. 如本題就可以設(shè)關(guān)鍵點P或M的坐標，也可以設(shè)關(guān)鍵直線MB，AP的斜率等. 但是不同設(shè)元法的運算量會有所不同，因此設(shè)元時，要從整體思路出發(fā)，對計算過程進行充分預(yù)設(shè)，繼而優(yōu)化解題過程，提升運算效率.

師：因時間關(guān)系，這里就不一一展示各種方法的具體求解過程了，請大家在課后用不同的方法試一試，交流一下，相信你們一定有不同的收獲.

師：通過以上的交流分析，你有哪些收獲？

生8：其實這類問題看似復(fù)雜，但解題思路并不難，通過設(shè)元表示出目標后，將其轉(zhuǎn)化為目標函數(shù)即可迎刃而解.

師：確實，在研究橢圓中的最值與取值范圍問題時，大多通過合理設(shè)元，表示出目標后，再借助函數(shù)的性質(zhì)來解決問題.

設(shè)計意圖：在此環(huán)節(jié)中，教師先讓學(xué)生獨立思考，形成解題思路后再合作交流，從而充分發(fā)揮個體優(yōu)勢，培養(yǎng)思維的多樣性. 教學(xué)中，學(xué)生給出了具體的解題過程，教師讓學(xué)生對解題過程進行提煉，繼而形成解題的一般思路. 同時，教師鼓勵學(xué)生從不同的角度進行分析，嘗試應(yīng)用不同的方案來解決問題，以此豐富學(xué)生的認知、發(fā)散學(xué)生的思維. 解題后，通過反思逐漸抽象出問題的本質(zhì)屬性，形成解題通法，培養(yǎng)學(xué)生的思維深刻性，建構(gòu)學(xué)生完善的認知.

為了進一步強化學(xué)生認識，提升學(xué)生的解題能力，在例1的基礎(chǔ)上，教師設(shè)計了以下這個問題：

例2 如圖5所示，已知橢圓E：+=1，A，B分別是橢圓的上頂點和右頂點，過原點O的直線l與橢圓相交于C，D兩點，求四邊形ACBD面積S的最大值.

同樣，教師給出問題后，讓學(xué)生先嘗試獨自解題，再交流點評.

師：結(jié)合例1的解題經(jīng)驗，說一說你的解題思路.

生9：先設(shè)元，再轉(zhuǎn)化，表示出四邊形ACBD面積S后，求其最值.

師：應(yīng)該如何表示四邊形ACBD的面積S呢？

生10：需要將四邊形ACBD分解成△ACD和△BCD.

師：為什么要分解呢？不能直接表示嗎？如果要分解，那么一定要這樣分嗎？

生11：四邊形的面積很難直接表示，拆分后比較方便，除了分解成△ACD和△BCD外，還可以分解成△ABC和△BAD.

師：可以如何設(shè)元呢？

生12：可以設(shè)直線CD的斜率為k.

生13：也可以設(shè)點C的坐標為（x，y）.

師：很好，設(shè)點的坐標和設(shè)直線的斜率都是我們常用的方法，在不計算的情況下，請推演一下過程，你認為如何設(shè)元會使解題過程更簡潔呢？（學(xué)生積極思考、交流）

生14：設(shè)點C（x，y），將四邊形ACBD分解成△ABC和△BAD，以AB為底邊，C，D到直線AB的距離為高來求解更簡潔.

師：大家試一試，看看還有沒有其他的發(fā)現(xiàn).

學(xué)生積極練習(xí)，教師選取了典型做法，投影展示，并展開互動點評. 在交流中發(fā)現(xiàn)，有學(xué)生給出了其他方法，教師點名讓學(xué)生板書展示.

生15：將四邊形ACBD拆分成△AOD，△AOC，△BOD，△BOC，由于C，D關(guān)于點O對稱，則△AOD和△AOC的面積相等，△BOD和△BOC的面積相等. 設(shè)C（x，y），則S=2（S△AOC+S△BOC）=2

··x+·2·y

=x+2y.

師：非常好. 今后再面對難以表征的目標時，我們可以如何處理呢？

學(xué)生齊聲答：分解.

師：回顧以上求解過程，你認為如何分解更簡潔呢？

此時，學(xué)生一致認為將四邊形ACBD拆分成△AOD，△AOC，△BOD，△BOC更簡潔、方便.

師：解題時經(jīng)常會遇到一些難以表征的對象，若能巧妙地分解，定能獲得柳暗花明的效果. 值得注意的是，在分解和計算時要善于結(jié)合幾何特征，避免盲目分、盲目算，只有這樣才能優(yōu)化解題過程，提升解題效率.

師：我們得到了目標函數(shù)S=x+2y，接下來該如何求最值呢？

學(xué)生提出了多種解題思路，有的學(xué)生認為可以聯(lián)立方程，通過根的判別式求最值；有的學(xué)生認為可以利用基本不等式求最值；還有學(xué)生提出了幾何法、參數(shù)法等求最值. 教師鼓勵學(xué)生嘗試應(yīng)用不同方法求最值，并在解后進行交流和反思，以此豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗，提升學(xué)生的解題信心.

設(shè)計意圖：借助練習(xí)進一步強化學(xué)生的已有知識和已有經(jīng)驗，以此深化學(xué)生對通性通法的理解，繼而實現(xiàn)知識與方法的融會貫通. 本題重在體現(xiàn)如何建立目標函數(shù)及函數(shù)求最值的方法. 在具體的練習(xí)中，教師鼓勵學(xué)生應(yīng)用多種方法解題，通過對不同解法的對比分析，以此優(yōu)化解題過程，減少運算量，提升解題準確率. 另外，解題后教師組織學(xué)生進行交流和小結(jié)，繼而培養(yǎng)學(xué)生思維的多樣性，豐富學(xué)生的原認知，提煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，揭示問題本質(zhì).

5. 練習(xí)及課堂小結(jié)

略.

[?]教學(xué)思考

1. 以教材為依托，建構(gòu)并完善認知體系

教材是教學(xué)之本，是課堂教學(xué)的必要素材，教學(xué)中教師只有認真研讀教材，切身掌握教材編排者的真正意圖，才能通過合理設(shè)計、巧妙引導(dǎo)幫助學(xué)生學(xué)懂吃透. 但在實際教學(xué)中，尤其在復(fù)習(xí)教學(xué)中，部分教師認為教材內(nèi)容是學(xué)過的，難以吸引學(xué)生的注意力，因此在教學(xué)中常常以教輔內(nèi)容為主，忽視了教材的核心價值，使得教學(xué)偏離了原來的軌跡，不僅增加了學(xué)生的課業(yè)負擔(dān)，而且影響了學(xué)生的積極性和學(xué)習(xí)信心，學(xué)習(xí)得不償失. 因此在復(fù)習(xí)教學(xué)中，尤其是高三一輪復(fù)習(xí)，教師必須回歸教材，通過對教材的挖掘幫助學(xué)生厘清知識發(fā)生的本原，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，幫助學(xué)生建構(gòu)完善的知識脈絡(luò)，提升學(xué)生的知識遷移能力，提高學(xué)生的解題效率. 在本節(jié)課教學(xué)中，教師結(jié)合課堂標準對教材內(nèi)容進行了改編，將其轉(zhuǎn)化為基礎(chǔ)訓(xùn)練題，通過“小而精”的問題幫助學(xué)生梳理知識、總結(jié)方法，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，有效發(fā)展了學(xué)生的思維能力，提升了學(xué)生的解題信心.

2. 關(guān)注思維的形成，建構(gòu)并完善知識體系

在復(fù)習(xí)課堂上，教師為了追求“大容量、高速度”，常常是大包大攬，習(xí)慣將教師的知識和經(jīng)驗強加給學(xué)生，忽視了學(xué)生思維的形成，影響了學(xué)生思維能力的提高. 在復(fù)習(xí)教學(xué)中，應(yīng)多給學(xué)生一些展示的機會，充分暴露思維過程，這樣才能更好地了解學(xué)生，從而為教學(xué)活動的開展提供寶貴的生成性資源. 數(shù)學(xué)知識具有一定的關(guān)聯(lián)性，在新授課階段因受認知水平的限制，許多相同或相似的問題可能散落在不同的章節(jié)中，因此在一輪復(fù)習(xí)時，先要將這些散落的知識點連成線、織成網(wǎng)，形成一個完整的知識體系，這樣學(xué)生在解題時才能靈活調(diào)取相關(guān)的知識和方法. 而且復(fù)習(xí)課堂除了喚醒學(xué)生的記憶、完善學(xué)生知識結(jié)構(gòu)外，還要重視思想方法的滲透，關(guān)注學(xué)生思維能力的發(fā)展. 比如在本節(jié)課教學(xué)中，通過前期回顧形成了解題思路后，教師引導(dǎo)學(xué)生從不同角度出發(fā)，嘗試運用不同方法解題，力求通過多解讓學(xué)生掌握解決一類問題的一般方法. 另外，教學(xué)中教師通過有效追問，啟迪學(xué)生思維，充分暴露了學(xué)生的思維過程，讓不同學(xué)生獲得了不同程度的發(fā)展.

3. 關(guān)注通性通法，揭示問題本質(zhì)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生只有抓住問題的本質(zhì)，才能靈活運用數(shù)學(xué)知識解決問題. 因此，在揭示問題本質(zhì)的階段，教師要下狠功夫. 對于橢圓的最值問題的本質(zhì)就是借助函數(shù)思想方法，將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題進行處理. 為了揭示問題的本質(zhì)，教學(xué)的各個環(huán)節(jié)都應(yīng)圍繞這一目標展開. 例如在課前自測階段，教師從不同視角呈現(xiàn)橢圓中的最值問題、取值范圍問題，歸納后不難發(fā)現(xiàn)，最終都轉(zhuǎn)化成了函數(shù)最值問題、函數(shù)取值范圍問題. 又如在例題展現(xiàn)環(huán)節(jié)，教師鼓勵學(xué)生應(yīng)用不同方法求解，但解后反思發(fā)現(xiàn)，多種解法的本質(zhì)是相同的，繼而揭示了問題的本質(zhì)，提煉出了解決問題的通法，優(yōu)化了學(xué)生的認知結(jié)構(gòu).

總之，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展，重視揭示問題的本質(zhì)，關(guān)注學(xué)生認知的系統(tǒng)化建構(gòu)，以此提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)，提高學(xué)生的解題能力.