面積測量中值得重視的“知一求二”

郜舒竹 呂港麗

【摘? ?要】《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在第二學段的學段目標中新增加了“面積測量”的內(nèi)容。在面積測量中，“用面積為1平方厘米的正方形構(gòu)造出面積為2平方厘米的正方形”是一個歷史難題，具有豐富的課程價值。從課程內(nèi)容的角度看，蘊含著二次函數(shù)、無理數(shù)、代數(shù)運算以及數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容；從學生概念轉(zhuǎn)變的角度看，是學生從線性思維轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性思維、從有理數(shù)進化為實數(shù)的認識、從算術(shù)運算拓展為代數(shù)運算的過程；從學生發(fā)展的角度看，在面積測量過程中學生有機會經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的全過程，同時也經(jīng)歷了“為什么不”這樣證偽的思維過程?！睹乐Z篇》中蘇格拉底與小童奴的對話，表明讓學生經(jīng)歷這樣面積測量的過程是可行的，因此在教科書編修以及教學中，應當關(guān)注面積測量與長度測量的差異，對面積測量中“知一求二”探究活動設計給予足夠的重視。

【關(guān)鍵詞】平方；無理數(shù)；正方形；線性；非線性

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在第二學段的學段目標中新增加了“面積測量”的內(nèi)容，指出學生的數(shù)學學習要“經(jīng)歷平面圖形的周長和面積的測量過程”。什么是“測量過程”？按照德國哲學家、數(shù)學家萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716）的說法：“測量（Measurement）是與單位（Unit）的比較?！保?］如果確定了單位，也就是確定了“一”，那么測量過程就是“知一求幾”的過程。小學數(shù)學第一學段課程內(nèi)容中學生先接觸長度測量，進入第二學段，長度測量“知一求二”的經(jīng)驗能否直接應用于面積測量？面積測量中的“知一求二”具有什么樣的課程價值？

一、長度測量與面積測量的差異

“知一求幾”實質(zhì)是用數(shù)表達量的過程，數(shù)是抽象的，是與單位的比，任何數(shù)的意義都是由相應單位的意義決定的［2］。若要知道“2”的意義，首先要確定什么是“1”，如果“1”表示1厘米的長度，那么“2”就是這個長度的2倍，也就是2厘米的長度（如圖1）。

從直觀上看，2厘米長度是1厘米長度“重復”2次得到的，這樣的重復具有“重合（Superposition）”的意義，是以形狀和長短都相同為前提的。任何1厘米長度的線段，形狀和長短都是完全相同的，是可以通過運動實現(xiàn)空間意義的重合的，也就是說所有長度相等的直線段都是“全等”的［3］。因此長度測量的過程與“數(shù)（shǔ）數(shù)（shù）”過程類似，確定了“一”作為單位，重復幾次“一”就可以得到“幾”，長度測量中“知一求幾”的過程就是對“一”重復“幾”次的過程。

將這樣的經(jīng)驗用于面積測量，如果確定“1平方厘米”為單位，那么“2平方厘米”自然應當是將“1平方厘米”重復2次。人教版三年級下冊教科書對面積單位定義為：“邊長1厘米的正方形，面積是1平方厘米。”按照這一定義，“2平方厘米”就應當是“邊長1厘米的正方形”重復2次（如圖2）。

這樣“知一求二”的過程與長度測量的過程基本一致，沿著正方形一條邊長的方向重復，得到面積為2平方厘米的圖形是長方形，并非是正方形，與我國古時“邁步定畝”的面積測量過程是類似的［4］，沿用了一維線段長度的測量過程。

二維平面圖形面積測量的一個基本問題是邊的長度與面積的關(guān)系，對于正方形直覺上可以感知邊長與面積“此起彼增”的協(xié)變關(guān)系［5］，即“如果邊長增加或減少，那么面積隨之增加或減少”；反過來同樣有“如果面積增加或減少，那么邊長隨之增加或減少”。人們對這樣“此起彼增”的協(xié)變關(guān)系，最為熟悉的應當是日常經(jīng)驗中經(jīng)常出現(xiàn)的“線性”關(guān)系或“正比例”關(guān)系［6］，比如從“1瓶水售價1元”，自然推理出“2瓶水售價2元”，“瓶”與“元”之間自然地建立了數(shù)值的對等關(guān)系。如果將此類經(jīng)驗應用于正方形邊長與面積的關(guān)系，會出現(xiàn)如下的誤解。

誤解1：因為邊長1厘米的正方形，面積是1平方厘米，所以邊長2厘米的正方形，面積是2平方厘米。

在北京一所小學，對已經(jīng)學過“面積”的四年級學生進行測試，發(fā)現(xiàn)近一半的學生存在這樣的誤解。測試題目仿照教科書中1平方厘米的定義，如圖3。

全班32名學生中，有15名學生畫出了邊長為2厘米的正方形（如圖3），顯示出學生對于面積測量經(jīng)驗的不足，同時反映出教科書中有關(guān)面積測量活動的缺失。

更進一步，日常經(jīng)驗中還經(jīng)常會出現(xiàn)“同倍增減”的線性關(guān)系，比如“如果1瓶牛奶4元，那么2瓶牛奶8元”“1雙筷子2根，2雙筷子4根”。兩個量的協(xié)變關(guān)系符合“同倍增減”的規(guī)律?；谶@樣的經(jīng)驗，還會出現(xiàn)如下兩個誤解。

誤解2：如果正方形邊長擴大2倍，那么面積也擴大2倍。

誤解3：如果正方形面積擴大2倍，那么邊長也擴大2倍。

因此可以說，面積測量與長度測量的認知過程存在差異，長度測量過程中的“知一求二”是簡單的重復，而面積測量相對復雜。僅從正方形來看，邊長與面積之間的關(guān)系并非是“同倍增減”的線性關(guān)系，因此長度測量的經(jīng)驗不能夠直接應用于面積測量。關(guān)于此內(nèi)容早在古希臘時期偉大的哲學家柏拉圖（Plato，前427—前347）所著的《美諾篇》（Meno）中就有記載。

二、《美諾篇》中的對話

《美諾篇》記載的是柏拉圖的老師蘇格拉底（Socrates，約前470—前399）與美諾及其小童奴的對話，主要探討“美德（Virtue）”是否可教的問題。蘇格拉底認為人的知識是與生俱來的，是潛藏在人的靈魂之中的，學習的過程實質(zhì)是“喚回（Recollection）”的過程，因此教的過程不是告知和解釋，而是詢問，通過問題喚起回憶的發(fā)生［7］，這樣的回憶未必是正確的，也包括錯誤以及對錯誤的更正過程。為了證明這一觀點，蘇格拉底與美諾的小童奴進行了關(guān)于正方形邊長與面積關(guān)系的對話。小童奴并沒有學習數(shù)學的經(jīng)歷，整個對話過程的核心問題是面積測量過程中的“知一求二”［8］。

l如果已知一個正方形面積，如何畫出一個新的正方形，面積是原正方形面積的2倍？

蘇格拉底最初出示的是邊長2厘米的正方形，可以知道這個正方形的面積是2厘米與2厘米的乘積等于4平方厘米。當問及如果將4平方厘米加倍，得到面積為8平方厘米的正方形邊長是多少時，小童奴脫口而出的答案是對邊長2厘米加倍等于4厘米。這時蘇格拉底并不給予否定，而是畫出邊長為4厘米的正方形，小童奴立刻發(fā)現(xiàn)邊長加倍后得到的面積不是8平方厘米，而是16平方厘米（如圖4）。

此時小童奴進入更正錯誤的思考，想到需要將邊長適當減少，從4厘米調(diào)整為3厘米，蘇格拉底隨即畫出邊長為3厘米的正方形。

小童奴觀察后發(fā)現(xiàn)，邊長3厘米的正方形面積仍然不是8平方厘米，而是9平方厘米（如圖5），此時就處于束手無策的窘態(tài)，無奈地說：“我真的不知道了?！?/p>

以上對話實際是通過詢問，喚起小童奴自身的經(jīng)驗，同時讓他經(jīng)歷自我否定的過程。如果要將面積4平方厘米的正方形擴大2倍，變?yōu)槊娣e為8平方厘米的正方形，將邊長擴大2倍變?yōu)?厘米，就會使面積遠遠超過了預期的8平方厘米；適當減少邊長，從4厘米減少為3厘米，仍然不能得到預期的8平方厘米。此時蘇格拉底仍然堅持不告知答案，繼續(xù)進行一系列的詢問，小童奴運用自身的經(jīng)驗最終解決了問題。接下來的詢問，是啟發(fā)小童奴將眼光從正方形邊長轉(zhuǎn)向?qū)蔷€。

畫出正方形ABCD的一條對角線AC，將正方形ABCD等分為兩個面積相等的三角形ABC和ADC（圖6左）。而后以這條對角線為邊長畫出一個新的正方形（虛線），發(fā)現(xiàn)這個虛線正方形包含4個同樣的三角形（圖6右），因此小童奴立刻得到結(jié)論：

l以一個正方形對角線為邊長的新正方形，面積為原正方形的2倍。

如果原正方形ABCD面積為1平方厘米，新正方形（虛線）面積就是2平方厘米。前面對話中原正方形面積為4平方厘米，這個以對角線為邊長的新正方形的面積就是8平方厘米。

這里已經(jīng)蘊含了勾股定理的知識：一個以等腰直角三角形斜邊為邊長的正方形，其面積是兩個以直角邊為邊長的正方形的面積之和。這樣的結(jié)論實際就是初中數(shù)學課程中部分勾股定理內(nèi)容（等腰直角三角形兩條直角邊長度相等的特例，如圖7）。

以上是從1倍到2倍“知一求二”的構(gòu)造過程，也可以從大到小地構(gòu)造兩個正方形的2倍關(guān)系，即從2倍得到1倍的構(gòu)造過程。首先畫出一個正方形（實線），將每邊上的“中點”連接起來得到一個小正方形（虛線），同樣可以通過比較看出實線正方形面積是虛線正方形面積的2倍。如果實線正方形面積是2平方厘米，那么虛線正方形面積就是1平方厘米（如圖8）。

蘇格拉底之所以選擇這樣一個正方形面積與邊長關(guān)系的問題，一個可能的原因是當時人們認為這是一個難以理解的問題，兩個正方形面積是2倍關(guān)系，但邊長并不是2倍關(guān)系，違背同倍增減的直覺認識。用現(xiàn)在的語言說，面積為2倍關(guān)系的兩個正方形，其邊長之比是介于1和2之間的一個無理數(shù)（[2]），約等于1.414。

綜上所述，面積測量與長度測量不同，長度測量的經(jīng)驗并不能直接遷移到面積測量的過程中。面積不同于長度，作為長度的“1厘米”與“2厘米”之間的關(guān)系具有確定性，從直觀上容易感知。但作為面積的1平方厘米與2平方厘米的關(guān)系具有復雜性，僅依賴直觀難以感知，具有“反直覺”的特征［9］，正是這樣的復雜性和反直覺特征，使得這一內(nèi)容具有了使學生思維發(fā)生“概念轉(zhuǎn)變（Conceptual Change）”的課程價值。

三、概念轉(zhuǎn)變

正方形的邊長與面積是非線性的協(xié)變關(guān)系，對這種非線性關(guān)系的認識是對長度測量經(jīng)驗的改變、拓展與提升，對學生來說可以實現(xiàn)思維中的“概念轉(zhuǎn)變”［10］。瑞士心理學家皮亞杰（Jane Piaget，1896—1980）在對兒童面積概念認知規(guī)律研究中發(fā)現(xiàn)，當正方形的邊長擴大2倍時，兒童會對面積變?yōu)?倍感到驚訝，但他們無法解釋為什么，原因是他們還停留在“線性測量（Linear Measurement）”的認知水平［11］。

學生的認知應當始于經(jīng)驗，但不能停留在已有經(jīng)驗的水平，對已有經(jīng)驗的改變、拓展與提升應當成為課程與教學的目標。概念轉(zhuǎn)變是以課程內(nèi)容進化為基礎(chǔ)的，面積測量至少在數(shù)的意義、運算的意義以及數(shù)形結(jié)合三個方面體現(xiàn)出數(shù)學課程內(nèi)容的進化。

從數(shù)的意義看，探究1平方厘米與2平方厘米的關(guān)系，牽涉到正方形的邊長與對角線長度的關(guān)系（比），這樣的探究可以成為從有理數(shù)衍生出無理數(shù)（[2]）的過程，正如從圓的周長與直徑關(guān)系的探究，衍生出了無理數(shù)（[π]）。因此，可以說1平方厘米與2平方厘米的關(guān)系，是從有理數(shù)的認識拓展出無理數(shù)，使數(shù)的系統(tǒng)進化為實數(shù)的認知起點，同時也為勾股定理的發(fā)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)，成為中學、小學數(shù)學課程內(nèi)容的一個銜接點。在面積測量過程中，學生是從熟悉的同倍增減線性關(guān)系的認知，發(fā)展為非線性關(guān)系的認知，是認知能力的提升過程。用函數(shù)符號的語言說，線性關(guān)系可以用形如“y=ɑx”的一次函數(shù)表達，而正方形面積與邊長的關(guān)系則要用形如“[y=x2]”的二次函數(shù)表達。這些都體現(xiàn)出學生數(shù)學眼光、數(shù)學思維和數(shù)學語言的改變、拓展與提升。

從運算的意義看，面積測量蘊含著代數(shù)運算的思維過程。用代數(shù)的眼光看，把面積單位分別記為：1平方米=1m2、1平方分米=1dm2、1平方厘米=1cm2。這時的“平方”具有代數(shù)運算的意義，可以用于面積單位之間的轉(zhuǎn)化。比如“1m2”與“100dm2”可以通過運算進行相互轉(zhuǎn)化：

1m2=1×（10dm）2

=1×102×dm2

=100dm2

類似于此的運算，也可以在面積計算中使用。如果長方形的長以厘米為單位，寬以毫米為單位（如圖9），這時并不需要算術(shù)運算中的統(tǒng)一單位，可以直接應用“長[×]寬”進行面積計算。

長方形的長為3厘米，寬為8毫米，二者長度單位不同。算術(shù)運算的做法是先統(tǒng)一長度單位，比如將3cm變?yōu)?0mm，而后計算出長方形面積等于240mm2。運用代數(shù)的眼光可以直接計算長方形面積，將3cm與8mm分別看作3×1cm與8×1mm，同時應用乘法運算的交換律與結(jié)合律。

3cm×8mm

=（3×1cm）×（8×1mm）

=（3×8）×（1cm×1mm）

=24×（10mm×1mm）

=24×10×（1mm×1mm）

=240mm2

有關(guān)代數(shù)運算的內(nèi)容已經(jīng)超出了小學數(shù)學課程內(nèi)容的范圍，無須在小學數(shù)學課程內(nèi)容中呈現(xiàn)，但“平方”概念的多義特征應當給予適當?shù)臐B透，讓學生體會“平方”一詞所具有的多重意義［12］，為今后學習代數(shù)奠定基礎(chǔ)。

從數(shù)形結(jié)合的角度看，算術(shù)或代數(shù)中算式之間的關(guān)系，可以通過圖形面積之間的關(guān)系直觀地顯現(xiàn)出來。比如兩個乘法算式“[5×3]”和“[4×4]”，前者可看作兩條邊長分別為“4+1”和“4-1”長方形的面積，后者可看作邊長為4的正方形面積，二者相差1的關(guān)系“[42-1=5×3]”可以從圖10明顯看出。

這樣的關(guān)系具有一般性，如果把其中的“4”改為具有一般意義的字母“ɑ”，這樣的關(guān)系就成為代數(shù)中的恒等式：ɑ2-1=（ɑ +1）×（ɑ -1）。

小學數(shù)學中的計算教學重視算理和算法，追求結(jié)果的準確和計算的熟練，但對于算式之間關(guān)系的認知相對忽視。用數(shù)形結(jié)合的視角看，算式之間的關(guān)系往往表現(xiàn)為圖形之間的關(guān)系。將圖形認識與測量應用于探索算式之間的關(guān)系，對于溝通“數(shù)與代數(shù)”與“圖形與幾何”兩個領(lǐng)域之間多角度的聯(lián)系十分有益，是實現(xiàn)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的具體體現(xiàn)。

面積測量作為《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的新增內(nèi)容，蘊含著豐富的課程價值。從課程內(nèi)容的角度看，蘊含著二次函數(shù)、無理數(shù)、代數(shù)運算以及數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容；從學生概念轉(zhuǎn)變的角度看，是學生從線性思維轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性思維、從有理數(shù)進化為實數(shù)、從算術(shù)運算拓展為代數(shù)運算的過程。

面積測量中學生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的全過程，同時又經(jīng)歷“為什么不”這樣證偽的思維過程。《美諾篇》中蘇格拉底與小童奴的對話，表明讓學生經(jīng)歷這樣面積測量的過程是可行的。因此在教科書編修以及教學中，應當關(guān)注面積測量與長度測量的差異，對面積測量中“知一求二”探究活動設計給予足夠的重視。

參考文獻：

［1］RESCHER N. Leibniz conception of quantity， number， and infinity[J]. The Philosophical Review， 1955， 64（1）： 108-114.

［2］郜舒竹，于桓.數(shù)學課程內(nèi)容的抽象性及其隱喻思維分析［J］.課程·教材·教法，2022，42（1）：98-103.

［3］郜舒竹，馮林.例說“數(shù)學的眼光”［J］.教學月刊·小學版（數(shù)學），2022（1/2）：4-9.

［4］劉錫萍，艾學璞.試論我國古代土地私有與土地面積計量［J］.中國計量，2016（4）：63-64，80.

［5］郜舒竹.學生解決雞兔同籠問題的協(xié)變思維［J］.教學月刊·小學版（數(shù)學），2019（9）：4-7.

［6］郜舒竹.“正比例”與“反比例”的變教為學［J］.教學月刊·小學版（數(shù)學），2015（6）：7-10.

［7］呂祥.柏拉圖的《美諾篇》與他的“回憶說”［J］.中國社會科學院研究生院學報，1988（1）：57-63.

［8］WATSON A. Finding Meno[J]. Mathematics in School， 2016，45（5）： 3-6.

［9］郜舒竹.數(shù)學課程內(nèi)容中反直覺現(xiàn)象舉隅［J］.課程·教材·教法，2020，40（8）：72-77.

［10］?ZDEMIR G， CLARK D B. An overview of conceptual change theories［J］. Eurasia Journal of Mathematics， Science and Technology Education，2007，3（4）： 351-361.

［11］PIAGET J， INHELDER B， SZEMINSKA A. The childs conception of geometry[M]. London： Routledge and Kegan Paul， 1960： 406.

［12］郜舒竹，李碩楠.“平方厘米”語義分析［J］.教學月刊·小學版（數(shù)學），2022（7/8）：4-7.

（首都師范大學初等教育學院? ?100048）