關(guān)注探理過程，培養(yǎng)運算能力

華秀祥

［摘 要］以“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的教學(xué)為例，引導(dǎo)學(xué)生有序地探索異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理。從初識算理、理解算理到溝通算理，提升學(xué)生運算能力的同時，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系。

［關(guān)鍵詞］異分母分?jǐn)?shù)；加減法；運算能力

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）29-0066-03

培養(yǎng)學(xué)生的運算能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一。在運算教學(xué)中，教師除了要遵循數(shù)學(xué)教學(xué)的一般規(guī)律，最重要的是引導(dǎo)學(xué)生探明算理。以“異分母分?jǐn)?shù)加減法”為例，筆者在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生探索異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理，厘清知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，把單一的知識點串成鏈條、編織成網(wǎng)，在提升學(xué)生運算能力的同時，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系。

一、算理教學(xué)的意義

在運算教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生探明算理，對發(fā)展學(xué)生各方面能力具有重要意義。首先，算理教學(xué)有助于學(xué)生運算能力的提升。在傳統(tǒng)的計算教學(xué)中，學(xué)生往往都是機(jī)械式地死記硬背運算的步驟和法則，這就使得頗具思維含量的數(shù)學(xué)運算退變?yōu)闄C(jī)械的數(shù)字操作，不利于學(xué)生運算能力和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。在算理教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過相關(guān)操作推導(dǎo)、理解算理，在算理與算法之間搭建橋梁，使學(xué)生自主構(gòu)建算法。這樣一來，學(xué)生對運算過程的理解就要深刻得多。其次，算理教學(xué)有助于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。在探究算理的過程中，學(xué)生通過觀察、操作、分析、推理、歸納等活動，經(jīng)歷知識生成的過程，體驗獲得知識的喜悅，積累了數(shù)學(xué)活動的基本經(jīng)驗。最后，算理教學(xué)有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維。學(xué)生在理解算理時，往往要經(jīng)歷一個從具體形象到概括抽象的過程，必要時還會借助相關(guān)的實物操作或直觀模型來輔助理解，這對于學(xué)生的思維由形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)變具有重要的推動意義。

二、注重探明算理，培養(yǎng)運算能力之操作路徑

1.在情境中產(chǎn)生探究算法和算理的意愿

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，學(xué)習(xí)材料的選擇要立足學(xué)生的實際生活，有利于學(xué)生體驗和理解、思考和探索。小學(xué)生的思維方式以形象思維為主，因此，學(xué)生理解抽象的算法和算理具有一定的困難。教學(xué)中，教師可將數(shù)學(xué)知識巧妙地與現(xiàn)實生活情境相關(guān)聯(lián)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探求欲望，從而讓抽象的數(shù)學(xué)知識變得生動起來，為學(xué)生的認(rèn)知和理解做好鋪墊。

【教學(xué)片段1】

師：今天是淘氣的生日，媽媽為淘氣買了一個生日蛋糕。淘氣吃了這個蛋糕的1/2，媽媽吃了這個蛋糕的1/4，他們一共吃了這個蛋糕的幾分之幾？

生₁：列式為1/2+1/4。

生₂：對，然后直接計算就可以了。但是怎么跟我們以前學(xué)的分?jǐn)?shù)加法不一樣??？它們的分母不同，這可怎么計算呢？

生₃：1/2+1/4=1+1/2+4=2/6。

師：生3的算法對不對呢？就讓我們一起開啟探索之旅吧！

以“吃蛋糕”的生活情境引入新課，把異分母分?jǐn)?shù)相加蘊(yùn)藏在生活情境中，為學(xué)生進(jìn)一步探索算理提供了現(xiàn)實基礎(chǔ)。同時，學(xué)生真切地體會到異分母分?jǐn)?shù)加減法并非純粹的理論知識，而是源于現(xiàn)實生活中解決實際問題的需要，進(jìn)而產(chǎn)生學(xué)習(xí)動機(jī)。

2.在探索中掌握算法、了解算理

探索的過程是一個動態(tài)、開放的過程。教師要正確處理“收”和“放”的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生在探究算理的過程中把抽象的算理轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，使學(xué)生更加深刻地理解知識，明了算理。

【教學(xué)片段2】

師：對于1/2+1/4=1+1/2+4=2/6，大家認(rèn)為對嗎？

生（齊）：不對。

師：誰能說說這種算法為什么不對呢？

生₁：如果1/2+1/4=1+1/2+4=2/6，那么，2/6=1/3，1/3＜1/2，1/2+1/4＜1/2，這不是互相矛盾了嗎？一個數(shù)怎么會越加越小呢？

生₂：是啊，看來這種直接把分子和分母加起來作為新的分子和分母的算法是不對的。

師：這道題應(yīng)該怎么計算呢？大家嘗試用自己的算法做一做。

生₃（出示圖1）：我是用畫圖的方法來計算的。我在兩個同樣大小的圓里分別畫陰影表示1/2和1/4，這樣，加在一起的陰影部分占了這個圓的3/4。1/2和2/4在大小上是相等的，所以1/2+1/4就轉(zhuǎn)化成了2/4+1/4，2/4和1/4的分?jǐn)?shù)單位都是1/4，可以直接相加，即1/2+1/4=2/4+1/4=3/4。

師：生₃通過畫圖的辦法把異分母分?jǐn)?shù)相加轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)相加。還有其他算法嗎？

生₄：我先把一張紙對折一次，這張紙就被平均分成2份，給其中一份涂上紅色，就是1/2；我再把紙對折一次，這張紙就被平均分成了4份，我給其中一份涂上紅色。把紙拆開后發(fā)現(xiàn)，涂紅色的部分一共占了這張紙的3/4，因此，我得出1/2+1/4=3/4。

師：生₄是通過折紙的辦法來計算的，這個辦法和畫圖的辦法有異曲同工之處，本質(zhì)上是一樣的。

生₅：我是這樣計算的——先把分?jǐn)?shù)1/2轉(zhuǎn)化為小數(shù)0.5，然后把分?jǐn)?shù)1/4轉(zhuǎn)化成0.25，這樣1/2+1/4=0.5+0.25=0.75=3/4。

師：這種把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)的辦法就是把未知轉(zhuǎn)化為已知。這種辦法不錯，的確是可行的。

生₆：我是用通分的方法做的。1/2+1/4=2/4+1/4=3/4。

生₇：為什么要把1/2轉(zhuǎn)化成2/4呢？

生₆：2/4就是2個1/4，再加上1個1/4，就是3個1/4，因此1/2+1/4=2/4+1/4=3/4。

師：這是通分的辦法。

在探究過程中，每個學(xué)生都是一個具有鮮明特色的思維主體，不同層次的學(xué)生從自身認(rèn)知出發(fā)，在獨立思考的基礎(chǔ)上，收獲屬于自己的算理。在探究之初，教師先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)把分子和分母直接相加是錯誤的做法，再鼓勵學(xué)生進(jìn)行自主思考和探索。畫圖法和折紙法使學(xué)生直觀地體驗到分母由2變?yōu)?的基本過程，通過數(shù)形結(jié)合把抽象的通分過程生動地展現(xiàn)出來；把分?jǐn)?shù)變?yōu)樾?shù)的辦法，則充分結(jié)合了學(xué)生已有的知識和認(rèn)知經(jīng)驗，打通了分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的“關(guān)節(jié)”，提升了學(xué)生的整體性認(rèn)識。學(xué)生不但能夠展示算理，還能夠通過互相交流，理解和借鑒其他學(xué)生提出的算理，從而豐富自己的認(rèn)知，更加全面地感知算理。

3.在比較中優(yōu)化算法、理解算理

在學(xué)生初步了解算理的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生對各種具體算法進(jìn)行比較，使學(xué)生在比較中知對錯、明優(yōu)劣，逐漸經(jīng)歷從“慢法”“笨法”到“快法”“巧法”的轉(zhuǎn)變，在對比中凸顯通分法的優(yōu)勢，并自然而然地把方法轉(zhuǎn)移到通分法上。比較和取舍既是學(xué)生學(xué)習(xí)新知識要經(jīng)歷的環(huán)節(jié)，也是學(xué)生更加深刻地理解算理的現(xiàn)實需要。需要注意的是，教師不要簡單地直接告知學(xué)生哪種算法是最優(yōu)化算法，而是要讓學(xué)生在實際運用當(dāng)中去比較、感悟、選擇，逐漸把目光聚焦到通分法上。

【教學(xué)片段3】

師：我們找到了四種計算異分母分?jǐn)?shù)相加的方法，分別是畫圖法、折紙法、轉(zhuǎn)化法和通分法。哪種方法最好呢？我們在應(yīng)用中感受一下。首先來看畫圖法和折紙法。

師：請同學(xué)們用畫圖法和折紙法計算3/4+1/8。

生₁（出示圖2）：這是我畫的圖。通過畫圖得出3/4+1/8=6/8+1/8=7/8。

師：通過畫圖，你有什么體會？

生₁：分母越大，畫圖就越麻煩。這道題中分母最大是8，我需要把圓平均分成8份，如果分母是16，我就需要把圓平均分成16份，那樣太麻煩了。

生₂：是呀，我也有這種體會。在分母不大的時候，畫圖法還可以，可是分母越大，畫圖法就越不方便。

生₃：折紙法也是這樣。分母是8，我需要把一張紙對折三次，這勉強(qiáng)還可以做到，如果對折四次或是更多次，就非常困難了，而且數(shù)的時候也容易出錯。

師：看來，畫圖法和折紙法盡管非常直觀，但是它們的操作過程比較麻煩，實用性并不強(qiáng)。我們再來看轉(zhuǎn)化法。請大家用轉(zhuǎn)化法計算1/2+1/3。

生₄：1/2可以轉(zhuǎn)化成0.5，但是1/3轉(zhuǎn)化成小數(shù)后，是一個無限循環(huán)小數(shù)，這樣很難得到精確的結(jié)果。

生₅：這道題用轉(zhuǎn)化法行不通，看來這種方法也有局限性。

師：畫圖法、折紙法、轉(zhuǎn)化法都有局限性。請試著用通分法算3/4+1/8和1/2+1/3。

生₆：用通分法算起來非常方便。3/4+1/8=6/8+1/8=7/8，1/2+1/3=3/6+2/6=5/6

生₇：是呀，通分法好，方便。

師：我們再用通分法運算1/3-1/4。

生₈：1/3-1/4=4/12-3/12=1/12。

師：看來通分法適用性更強(qiáng)，而且計算過程也很簡便。

在練習(xí)中，學(xué)生真切體會到畫圖法、折紙法和轉(zhuǎn)化法的局限性，感受到通分法的普遍適用性和便捷性。通過交流總結(jié)，學(xué)生的目光自然而然地聚焦到通分法的理解和運用上，從而建構(gòu)起“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的算理模型。

4.在拓展中實現(xiàn)算理的關(guān)聯(lián)與溝通

在教學(xué)中，教師除了聚焦學(xué)生的生長點，還要關(guān)注學(xué)生的延伸點，引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上把握異分母分?jǐn)?shù)加減法與整數(shù)加減法、小數(shù)加減法在算理上的相通之處，從而把相關(guān)知識進(jìn)行整合，建構(gòu)起對運算算理的整體認(rèn)識。

【教學(xué)片段4】

師：你們是怎么計算32+47的？

生₁：個位和個位相加，十位和十位相加。

師：對。32+47就是3個十加上4個十，2個一加上7個一，所以是79。那么，3.2+4.7呢？

生₂：十分位和十分位相加，個位和個位相加。

師：3.2+4.7就是2個0.1加上7個0.1，3個一加上4個一，一共是7.9。

師：大家看出什么規(guī)律了嗎？

生₃：兩個數(shù)的計量單位一樣，才可以直接相加。

師：對。因此，在異分母分?jǐn)?shù)加減法中我們也要想方設(shè)法把兩個異分母分?jǐn)?shù)變成同分母分?jǐn)?shù)，這樣它們的計量單位一樣了，就能夠直接進(jìn)行加減運算了。

師：整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運算的運算方法在本質(zhì)上具有相通性。

通過對整數(shù)、小數(shù)運算算理的回顧，使學(xué)生認(rèn)識到整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)在算理上具有趨同性，從而溝通了它們的算理之間的本質(zhì)聯(lián)系，使學(xué)生把分?jǐn)?shù)的算理納入已有的運算知識體系中，完成知識的整體建構(gòu)。

總之，運算教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”出發(fā)，充分發(fā)揮學(xué)生自主思考、自主探索的主觀能動性，引導(dǎo)學(xué)生從了解算理、理解算理到溝通算理，從而優(yōu)化運算能力，建構(gòu)起完整的運算知識框架，從中感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 于正軍.知識建構(gòu)：從“兒童現(xiàn)實”出發(fā)：《異分母分?jǐn)?shù)加、減法》教學(xué)與思考[J].教育視界，2022（11）：37-40.

[2] 俞文福，潘紅霞，李忠勛.“同分母分?jǐn)?shù)加、減法”教學(xué)實錄與評析[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2022（7）：67-69.

[3] 趙元中.在辨析中進(jìn)一步明理：“異分母分?jǐn)?shù)加減法”教學(xué)片斷與思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2021（24）：48-50.

[4] 沈強(qiáng).怎樣更好地理解異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2021（Z2）：49-50.

（責(zé)編 金 鈴）