類比思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

杜艷平

數(shù)學(xué)不同于其他學(xué)科，需要非常高的邏輯思維水平。尤其是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)時(shí)，類比思維的運(yùn)用能夠極大地幫助學(xué)生掌握知識(shí)難點(diǎn)，更能夠拓展發(fā)散性思維，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，因此教師應(yīng)積極探索采用哪些教學(xué)方法來培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。類比思維和數(shù)學(xué)思維對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有著重要的輔助作用，在數(shù)學(xué)上有很大優(yōu)勢(shì)，既促進(jìn)了教師的教學(xué)，也方便了學(xué)生的學(xué)習(xí)。

類比思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中起著極其重要的作用?？梢詭椭鷮W(xué)生把一些知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，也可以幫助學(xué)生理解知識(shí)點(diǎn)，加強(qiáng)記憶。如果學(xué)生善于運(yùn)用類比思維，對(duì)學(xué)生解題會(huì)有很大的幫助。

一、類比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

（一）有助于培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力

在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，教師在課堂上起主導(dǎo)作用，所有的活動(dòng)都由教師決定。類比思維推理的教學(xué)使學(xué)生充分意識(shí)到自己是課堂教育的主體，一切教育活動(dòng)都是以學(xué)生為中心的。當(dāng)學(xué)生在課堂上獲得某種類型的知識(shí)時(shí)，教師可以以此為起點(diǎn)，有效地發(fā)展學(xué)生對(duì)此進(jìn)行推理的能力，探索新知識(shí)，并有效地培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的能力。比如在學(xué)習(xí)“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”時(shí)，教師用類比思維推理的方法掌握等比數(shù)列的基本方法，并要求學(xué)生對(duì)等比數(shù)列的基礎(chǔ)上用所掌握知識(shí)進(jìn)行等差數(shù)列的推理。這不僅能讓學(xué)生更好地掌握知識(shí)，還能提高自主學(xué)習(xí)的能力。

（二）有助于激發(fā)學(xué)生的求知欲

興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力，處于高中時(shí)期的學(xué)生對(duì)一切都充滿了興趣，例如數(shù)學(xué)中奇妙的數(shù)字變化，物理、化學(xué)等神奇的科學(xué)反應(yīng)，都能帶給學(xué)生極大的新鮮感。并且，學(xué)生的興趣更能助于知識(shí)的學(xué)習(xí)，只要有了充足的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生就會(huì)按照教師的節(jié)奏去探索和練習(xí)。類比在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用可以有效激發(fā)學(xué)生的求知欲，增加學(xué)習(xí)興趣。比如，教師在講授空間幾何知識(shí)時(shí)，可以運(yùn)用類比的方法，讓學(xué)生不斷想象，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（三）引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)由淺入深

類比思維是指比較相似的事物和規(guī)律，找出它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，對(duì)學(xué)生理解是有用的。類比思維是能夠幫助學(xué)生成長(zhǎng)的思維方式，這種思維方式讓學(xué)生循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)，一步一步地按照計(jì)劃走。傳統(tǒng)課堂中，學(xué)生可能會(huì)“囫圇吞棗”，在寫題時(shí)看到第一句就已經(jīng)匆忙得出結(jié)論，因此也就造就了學(xué)生馬虎、粗心等壞習(xí)慣，所以教師要格外注重培養(yǎng)學(xué)生的類比思維。比如，在學(xué)習(xí)《點(diǎn)、線、面》的知識(shí)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生為了自己的理解，對(duì)某些事物進(jìn)行抽象。通過將生活中的普通事物與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，學(xué)生可以學(xué)得更好。如果學(xué)習(xí)空間中的兩條直線存在關(guān)系，教師可以誘導(dǎo)學(xué)生去想象，把真實(shí)的東西組合成抽象的東西去理解。通過主動(dòng)類比，可以將抽象的知識(shí)轉(zhuǎn)化為真實(shí)的場(chǎng)景，思維得到闡發(fā)，極大地有利于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。

（四）將知識(shí)點(diǎn)整合成知識(shí)結(jié)構(gòu)

在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生會(huì)面臨各種各樣的問題，其中一些問題可以歸結(jié)為一類問題。在概念證明問題中，有些函數(shù)比較復(fù)雜，學(xué)生很難解決這些問題。但是通過類比我們可以總結(jié)出這類問題的規(guī)律。要回答這些問題，首先需要提取一個(gè)復(fù)函數(shù)所包含的基本函數(shù)，然后通過分析基本函數(shù)的性質(zhì)，以及基本函數(shù)如何變成復(fù)函數(shù)來做出決策。在回答其他問題時(shí)，也可以采取這樣的思維。可以用類比聯(lián)系日常生活中遇到的類似情況，理解關(guān)系，順利解決數(shù)學(xué)問題。這樣，久而久之，在學(xué)生的腦海里，就有了一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的框架。

（五）提高學(xué)生的解題效率

當(dāng)類比思維運(yùn)用得好的時(shí)候，學(xué)生可以理清做題的思路，根據(jù)總結(jié)出來的知識(shí)框架找到問題的關(guān)鍵，提高解題效率。例如，學(xué)習(xí)直角三角形定理對(duì)學(xué)生的理解是非常有用的，因?yàn)樗鼘⒍S空間的知識(shí)擴(kuò)展到三維空間，并能夠幫助學(xué)生分析平面和三維圖形的關(guān)系和區(qū)別。通過類比思維的應(yīng)用，當(dāng)學(xué)生提出某一類問題時(shí)，可以聯(lián)系到與之前相同或相似的問題，找到解決問題的關(guān)鍵，有效地解決問題。這不僅提高了學(xué)生的解題速度，也提高了學(xué)生的解題能力，更能夠節(jié)省學(xué)生的解題時(shí)間。

二、類比思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）利用位置關(guān)系對(duì)比，加深學(xué)生對(duì)抽象知識(shí)的理解

高中幾何遠(yuǎn)不同于初中，初中僅要求學(xué)生了解正方體、長(zhǎng)方體等基本幾何圖形，而高中不僅要求學(xué)生掌握椎體、多面體等復(fù)雜圖形，更要學(xué)會(huì)截面、疊加等的變換，學(xué)生在學(xué)習(xí)中若沒有完全了解知識(shí)點(diǎn)，那么就會(huì)造成學(xué)習(xí)過程中的混亂。理清這些知識(shí)點(diǎn)之間的區(qū)別，需要聯(lián)想力和想象力，采用傳統(tǒng)的教學(xué)方法很難讓學(xué)生真正掌握這方面的知識(shí)。不同圖形之間的位置關(guān)系也是學(xué)生容易混淆的知識(shí)點(diǎn)。通過運(yùn)用類比思維學(xué)思維，學(xué)生可以構(gòu)建不同圖形之間的位置關(guān)系，直觀地了解異同，克服教育困難。在類比的過程中，不僅能夠使學(xué)生在思考的過程中促進(jìn)綜合素養(yǎng)的形成，更可以明確地觀察到知識(shí)點(diǎn)的差別，對(duì)以后更深層次的學(xué)習(xí)起到了極其重要的作用。

例如在講解位置關(guān)系的課程時(shí)，高中位置關(guān)系需要學(xué)生掌握?qǐng)A與直線、圓與圓等的關(guān)系，在學(xué)習(xí)中，學(xué)生很容易將圓與直線的關(guān)系錯(cuò)記為圓與圓的關(guān)系，因此極其容易讓學(xué)生混淆。教師在創(chuàng)作教材時(shí)，可以總結(jié)這些位置關(guān)系。以PPT、教育視頻等形式都可以直觀地觀察圓與直線的相切、相交以及分離的關(guān)系，通過視頻讓學(xué)生能夠直觀地觀察圖像變化，例如可以在視頻中添加其他圖形之間的位置關(guān)系，讓學(xué)生在了解原知識(shí)點(diǎn)時(shí)，能夠拓寬思維限制，增強(qiáng)發(fā)散思維?？梢哉f，采用類比的教學(xué)方式，不僅可以極大地豐富課堂內(nèi)容，而且防止了因知識(shí)點(diǎn)混淆而造成的錯(cuò)誤。

（二）對(duì)概念進(jìn)行類比，幫助學(xué)生厘清學(xué)習(xí)思路

類比思維不僅可以用于幾何形狀的教學(xué)，還可以用于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，以及幫助學(xué)生組織形狀之間的位置關(guān)系。例如在學(xué)習(xí)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，由于函數(shù)大多數(shù)同學(xué)都無法真正掌握，在考試中又屬于重點(diǎn)部分，因此這也就導(dǎo)致函數(shù)成為了學(xué)生之間的拉分點(diǎn)，真正掌握的學(xué)生能輕松處理各種函數(shù)問題，而不會(huì)的學(xué)生連題目都無法讀透。所以教師在教學(xué)過程中應(yīng)盡量一步一步來，照顧到每一位學(xué)生的進(jìn)度。因此，首先教師可以先講解函數(shù)的基本概念，由于初高中對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)深度不同，因此高中函數(shù)要比初中函數(shù)更加難以理解，教師便可以將初高中函數(shù)進(jìn)行類比，探討兩個(gè)學(xué)習(xí)階段函數(shù)的不同，讓學(xué)生明白高中函數(shù)是由兩個(gè)集合組成的，也就是等式兩邊相對(duì)應(yīng)的關(guān)系。例如，指數(shù)函數(shù)f（x）=ax （a>0且a≠1）是由那個(gè)f函數(shù)的規(guī)律變化決定的?；诖耍瑢?duì)底數(shù)和指數(shù)函數(shù)定義的類比進(jìn)行了擴(kuò)展，有效地促進(jìn)了學(xué)生函數(shù)知識(shí)的融會(huì)貫通。類比思維的有效運(yùn)用可以幫助學(xué)生加深對(duì)功能的認(rèn)識(shí)。在課堂上，即使只是消化了教師所描述的內(nèi)容，也往往不再思考，于是教師的解釋限制了解決問題的思路，模糊了提出問題時(shí)的解決思路。

（三）利用圖形特征展開類比，幫助學(xué)生把握重點(diǎn)

在高中數(shù)學(xué)中，幾何也是令學(xué)生和教師頭疼的地方，一般來說，學(xué)生在初中階段就以及接觸過空間幾何的概念，在高中階段應(yīng)更容易接受新知識(shí)，然而事實(shí)并非如此。高中幾何對(duì)于學(xué)生來說是一大難點(diǎn)，很多學(xué)生智能掌握一些基礎(chǔ)的、容易理解的幾何形狀，例如立方體、球體等等，然而當(dāng)這些圖形結(jié)合在一起時(shí)，學(xué)生在腦中就想象不出來，教師在這時(shí)往往會(huì)告訴學(xué)生用筆畫在紙上，但是學(xué)生能將圖形畫在紙上的前提便是擁有足夠的空間想象力，可以說這種方法也無助于學(xué)生的理解力。因此教師在教學(xué)中可以采取類比思維的方式，將幾何圖形之間的異同點(diǎn)列舉出來，讓學(xué)生明白它們之間的區(qū)別，從而起到加深記憶力的作用，更有助于培養(yǎng)學(xué)生立體想象力，幫助學(xué)生能夠獲取清晰明確的思路。

例如教師在講解空間幾何的結(jié)構(gòu)課程中，由于空間幾何是極其抽象的，教師也不太可能將遇到的所有復(fù)雜幾何體全部轉(zhuǎn)變?yōu)槟Ｐ统尸F(xiàn)在學(xué)生面前，因此在采用傳統(tǒng)的教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)時(shí)，課堂大多枯燥乏味，學(xué)生提不起學(xué)習(xí)的興趣，甚至直接放棄學(xué)習(xí)在課堂上呼呼大睡，從而導(dǎo)致教師的教學(xué)興趣不高，教育質(zhì)量大打折扣。目前，教師可以使用培訓(xùn)視頻來演示圓柱體、球體、圓錐體和棱鏡之間的第一手結(jié)構(gòu)模型，從各個(gè)方向詳細(xì)展示它們。例如，圓錐體的側(cè)面是三角形的;圓柱體的側(cè)面是矩形的，延伸部分也是矩形的;圓形桌子的側(cè)面是梯形的，但是延伸部分是扇形的。教學(xué)生感受許多空間物體和模型，總結(jié)圓柱、圓錐和球等的結(jié)構(gòu)特征，總結(jié)多面體及其面、邊和頂點(diǎn)的定義。將幾何體按照多面體和旋轉(zhuǎn)體進(jìn)行分類，提供給學(xué)生實(shí)物攝影，使比較變得更加直觀。教師在進(jìn)行視頻講解的過程中，能夠使學(xué)生更加理解幾何體的內(nèi)部特點(diǎn)以及結(jié)構(gòu)特征，對(duì)幾何形狀的變化有一個(gè)更加清晰明確的認(rèn)識(shí)。

同時(shí)，為了能夠更好地實(shí)現(xiàn)教師教學(xué)目標(biāo)，教師可以在課下時(shí)間用橡皮泥等制造實(shí)體，或者將我們生活中常見的幾何形狀帶到教室，讓學(xué)生努力發(fā)掘，并展示學(xué)生可以觀察到的成品實(shí)物模型。有必要在與物理模型的比較中總結(jié)結(jié)構(gòu)特征。好好學(xué)習(xí)空間幾何的結(jié)構(gòu)特征，為后續(xù)學(xué)習(xí)立體幾何打下良好的基礎(chǔ)，同時(shí)有助于理解立體幾何相關(guān)的概念，認(rèn)識(shí)和區(qū)分物理模型。

（四）巧用類比推理，化數(shù)學(xué)概念抽象難題

很多高中數(shù)學(xué)概念、定義比較抽象、比較難理解，因?yàn)樗且粋€(gè)非常精細(xì)和概括的道理。同樣，這些復(fù)雜而抽象的數(shù)學(xué)概念，用類似的思維也能有效地掌握和理解。比如在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程中，學(xué)生經(jīng)常分不清cos、sin的圖像，這也就導(dǎo)致學(xué)生無法輕松解決問題，在練習(xí)時(shí)不自覺地翻書找筆記，可見這樣的學(xué)習(xí)方法無法使學(xué)生真正掌握知識(shí)點(diǎn)，更不利于考試解題。產(chǎn)生這樣的現(xiàn)狀原因主要是學(xué)生對(duì)概念沒有完全了解，只是單純地記憶圖形，當(dāng)兩種圖形同時(shí)出現(xiàn)在一道題中，學(xué)生就會(huì)混淆，因此在實(shí)際解決問題的過程中便會(huì)手足無措，隨便想起幾個(gè)公式就往上湊。為此，教師可以在本節(jié)的教學(xué)過程中采用類比思維的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生比較這兩個(gè)概念，分析這兩個(gè)概念是如何應(yīng)用的。采用類比思維就是讓學(xué)生在各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間尋找互相聯(lián)系的點(diǎn)，理解每個(gè)知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生的前因后果，并構(gòu)建出知識(shí)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)。所以教師可以在課堂上采用類比思維的教學(xué)方法，將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分類對(duì)比，并將其融入教育的方方面面，使學(xué)生能夠?qū)W會(huì)從各方面思考和總結(jié)問題。