代數(shù)式——數(shù)學認識上的一次飛躍

王夢婷

第3章 代數(shù)式

領銜人：諸士金

在小學階段，我們的學習對象是數(shù)，具體包括認識不同形式的數(shù)、進行數(shù)的運算、用“數(shù)的運算”解決一些實際問題等。隨著社會的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)只有“數(shù)”還不夠，用字母表示數(shù)會起到更大的作用，于是產生了代數(shù)式這樣更具生命力的數(shù)學對象。進入初中以后，我們的學習對象會逐漸從數(shù)過渡到式，即代數(shù)式，初中數(shù)學將在代數(shù)式的基礎上展開，比如下一章的“一元一次方程”。代數(shù)式的出現(xiàn)具有重要的意義，從數(shù)到式，幫助我們實現(xiàn)了問題研究的具體化到抽象化、特殊化到一般化。

一、從數(shù)到代數(shù)式

從數(shù)到代數(shù)式的橋梁是用字母表示數(shù)。用字母表示數(shù)可以使問題中的數(shù)量關系或者變化規(guī)律表示得更簡明，更具有一般性。

比如，如果用字母a表示月歷上的一個數(shù)，那么a+7通常表示的就是位于它下方的那個數(shù)，即下方的數(shù)總比上方的數(shù)大7，這樣可以更加一般地揭示月歷上某些數(shù)之間的關系，這里的a、a+7就是代數(shù)式。

再比如，一輛汽車以60km/h的速度在公路上行駛，那么我們知道汽車1h后行駛了60km，2h后行駛了120km，3h后行駛了180km……這樣的信息是列不完的，是否有更好的表達呢？假設汽車行駛了th，那么它行駛的路程是60tkm，這里的代數(shù)式t和60t便能包含所有的信息。

又如，一個兩位數(shù)的個位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，那么這個兩位數(shù)是10b+a。代數(shù)式10b+a揭示了任意一個兩位數(shù)的個位數(shù)字和十位數(shù)字之間的關系。

代數(shù)式是數(shù)學符號組成的語言，它比數(shù)更富有表現(xiàn)力。事實上，同一個代數(shù)式可以表示不同實際問題中的數(shù)量關系，如10b+a還可以表示：蘋果每千克a元，橘子每千克b元，買1千克蘋果、10千克橘子應付的總價錢，這也體現(xiàn)出代數(shù)式的一般性。

二、從代數(shù)式到數(shù)

根據(jù)問題的需要，用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，計算所得的結果叫作代數(shù)式的值。

比如，當a=1，b=2時，10b+a=21；當a=1，b=-2時，10b+a=-19。通常情況下，用不同的數(shù)值代替字母，會得到不同的值，它隨字母所取值的變化而變化，這又一次體現(xiàn)了代數(shù)式的一般性。實際上，數(shù)是“死”的，式是“活”的。如圖1，在“搭小魚”的活動中，搭1條“小魚”需用8根火柴棒，搭2條“小魚”需用8+6根火柴棒，搭3條“小魚”需用8+6×2根火柴棒……搭n條“小魚”需用8+6（n-1）根火柴棒，這里的字母n是一般形式的數(shù)，前面的數(shù)都是特定狀態(tài)的字母。

三、數(shù)能算，代數(shù)式也能算

代數(shù)式中的字母表示的是數(shù)，數(shù)能運算，那么代數(shù)式也能運算。數(shù)如何運算，代數(shù)式也如何運算，即“數(shù)式通性”。本章主要研究整式的加減運算，合并同類項和去括號是整式加減的基礎。

事實上，生活中隨處都有合并同類項。例如，3個蘋果和4個蘋果“合并”就得7個蘋果，而3個蘋果不能和4個橘子“合并”；數(shù)一堆錢時，通常把錢幣10元、5元、1元……分別放在一起“合并”計算。數(shù)學中，像7a和3a、-9x2y3和5x2y3這樣字母部分完全相同的項，就是同類項，我們只需將它們的系數(shù)相加，字母部分保持不變，即可合并同類項。比如：7a+3a=（7+3）a=10a，運算的依據(jù)是乘法的分配律，實際上這是類比數(shù)的運算法則和運算律得到的。在數(shù)的運算中，7×99+3×99=（7+3）×99=10×99=990，這里只不過將數(shù)字99寫成了字母a，但其中的算理是相同的。由此可見，代數(shù)式在進行運算和推理時具有一般性。

實際上，整式的加減運算就是在合并同類項，當式子帶括號而變得復雜時，我們仍然依據(jù)乘法的分配律去括號。值得一提的是，去括號時，若括號前面是“-”號，把括號和它前面的“-”號去掉，括號里各項的符號都要改變。例如，我們可以把-（2a-4b）看成（-1）×2a+（-1）×（-4b）=-2a+4b，從“代數(shù)和”的角度來理解為何需要變號。

雖然“數(shù)式通性”，但二者在運算上也略有不同。對數(shù)進行運算時，有括號先算括號里的，而進行整式的加減運算時，如果有括號，先去括號，再合并同類項。但是，如果式子結構比較特殊，也可以后去括號。比如：計算7（x-2y）-3（x-2y）+x，把括號里的x-2y看作一個整體，可以先合并為4（x-2y）+x，再去括號，這樣就可以降低去括號帶來的錯誤率。實際上，這里的x-2y也完全可以看作a。當我們具備了這種把式子看成整體的眼光，整式的加減運算便會變得非常容易。

對整式加減運算的研究為我們研究后續(xù)的代數(shù)式運算積累了一個經驗，即通過類比數(shù)的運算法則和運算律，研究式的運算法則和運算律，因為式的本質即為數(shù)。

（作者單位：江蘇省南京市浦口外國語學校）