重組知識(shí)結(jié)構(gòu)，聯(lián)系生活實(shí)際

盛茂岳

［摘? 要］ 等腰三角形是平面幾何中的重要內(nèi)容，體現(xiàn)了軸對(duì)稱圖形的典型特點(diǎn)，在幾何圖形的學(xué)習(xí)中具有承前啟后的重要作用. 在教學(xué)中教師可以從聯(lián)系生活實(shí)際、整合知識(shí)結(jié)構(gòu)、精選習(xí)題訓(xùn)練的角度開展等腰三角形的教學(xué).

［關(guān)鍵詞］ 等腰三角形；知識(shí)結(jié)構(gòu)；生活實(shí)際

等腰三角形是軸對(duì)稱圖形的直觀展示，是幾何圖形學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，研究等腰三角形的教學(xué)對(duì)于幾何中的邊角關(guān)系的教學(xué)能起到非常重要的作用. 在學(xué)習(xí)等腰三角形的基礎(chǔ)上，學(xué)生會(huì)對(duì)幾何圖形的性質(zhì)和判定有比較深刻的理解，為接下來學(xué)習(xí)等邊三角形、線段相等、角相等等幾何問題的證明奠定了基礎(chǔ). 筆者從聯(lián)系生活實(shí)際、整合知識(shí)結(jié)構(gòu)和深度學(xué)習(xí)的角度，談一談“等腰三角形”的教學(xué)，供大家參考！

重組教材知識(shí)，探究本質(zhì)規(guī)律

等腰三角形作為三角形的一種特殊表現(xiàn)形式，與一般三角形既有聯(lián)系，又有區(qū)別. 它具有一般三角形的邊和角的特征，同時(shí)還有其特殊的軸對(duì)稱的性質(zhì).因此在研究等腰三角形時(shí)，除了可以通過三角形的全等知識(shí)進(jìn)行探究以外，還需要從軸對(duì)稱的角度進(jìn)行研究. 這就要求在教學(xué)中教師要進(jìn)行教材知識(shí)點(diǎn)的整合，將幾何圖形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)綜合運(yùn)用，從中分析等腰三角形的本質(zhì)特征. 利用軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)可以探究等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)，同時(shí)也能在以后的幾何證明中利用三角形全等的相關(guān)特性進(jìn)行幾何證明.

探究活動(dòng)1：

活動(dòng)準(zhǔn)備：學(xué)生分組、直尺、剪刀、長方形紙片.

活動(dòng)過程：學(xué)生利用準(zhǔn)備的工具剪出一個(gè)等腰三角形.

活動(dòng)結(jié)果：學(xué)生展示自己實(shí)踐的結(jié)果，并說明其原理.

設(shè)計(jì)意圖 通過學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生理解通過對(duì)折三角形的方式進(jìn)行剪裁，剪出了等腰三角形，這是利用了等腰三角形區(qū)別于一般三角形的性質(zhì)，而折出的這條線就構(gòu)成了三角形的左右對(duì)稱（如圖1）.

探究活動(dòng)2：等腰三角形的性質(zhì)和定理

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)趧偛偶舫鰜淼牡妊切紊蠘?biāo)出A，B，C，D，如圖2，然后再將這個(gè)三角形進(jìn)行對(duì)折，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：通過對(duì)折發(fā)現(xiàn)等腰三角形不僅軸對(duì)稱，而且它的兩個(gè)底角還相等.

師：很好，這就告訴我們一個(gè)定理“等邊對(duì)等角”. 我們?nèi)鐖D作一條輔助線AD，同學(xué)們仔細(xì)觀察圖2，還能發(fā)現(xiàn)哪些相等的邊和角呢？

生2：我發(fā)現(xiàn)圖上的∠1和∠2相等.

生3：BD和CD相等.

生4：線段AD不僅是等腰三角形的對(duì)稱軸，還是三角形的高.

師：通過剛才同學(xué)們的觀察，我們發(fā)現(xiàn)AD既是∠A的角平分線，還是三角形的高，也是三角形底邊的中線，所以也就是“三線合一”.

本例教學(xué)時(shí)教師設(shè)計(jì)了學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐活動(dòng)，在動(dòng)手操作和觀察分析中，進(jìn)行問題引導(dǎo)，利用軸對(duì)稱圖形的特性研究等腰三角形的性質(zhì)，通過折疊、作輔助線等形式，進(jìn)一步研究等腰三角形的“三線合一”的特點(diǎn)，在過程中滲透幾何證明的方法. 這樣的教學(xué)活動(dòng)相比于教師直接講授來得更加直觀，學(xué)生不僅鍛煉了動(dòng)手實(shí)踐能力，還能在觀察分析中提升思維能力，初步掌握幾何圖形的學(xué)習(xí)方法.

貼近生活實(shí)際，靈活解決問題

數(shù)學(xué)來源于生活，最終又應(yīng)用于生活，數(shù)學(xué)中的幾何知識(shí)在生活中的應(yīng)用則更加普遍，因此幾何圖形的學(xué)習(xí)可以和生活緊密結(jié)合，用來解決實(shí)際問題，提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的技能. 幾何圖形在生活中出現(xiàn)的場景很多，教師可以利用多媒體展示圖片和場景，可以展示一些特色的建筑，比如北京鳥巢、上海世博會(huì)場館圖片. 這立刻點(diǎn)燃了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生感覺到生活中到處都有數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用. 在展示過程中，教師可以結(jié)合圖片引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)等腰三角形的底邊、腰、頂角及底角等，認(rèn)識(shí)等腰三角形的各個(gè)要素，為進(jìn)一步的研究打下基礎(chǔ).

案例 等腰三角形的應(yīng)用

如圖3，在民族特色民居中，許多房子的頂都是一個(gè)等腰三角形，在搭建房子頂時(shí)，AB和AC相等，柱子AD與BC垂直，已知BC等于6，∠BAC是120°，求∠B是多少度，BD的長度是多少？

本例從實(shí)際問題出發(fā)，考查學(xué)生對(duì)于等腰三角形“三線合一”定理的認(rèn)識(shí)，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也滲透了數(shù)學(xué)的建模思想，培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力. 在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考等腰三角形“三線合一”的定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，如在修建等腰三角形的屋頂時(shí)，通常會(huì)從屋頂?shù)捻旤c(diǎn)系一個(gè)重物，往下掛，系重物的繩索要恰好經(jīng)過一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，那就是三角形的底邊中點(diǎn). 請(qǐng)學(xué)生思考這么做的理由，討論利用等腰三角形的定理解釋這么做可以保證房屋屋頂?shù)乃?

從現(xiàn)實(shí)生活的圖形中抽象出基本的幾何圖形，進(jìn)而利用圖形的性質(zhì)解決問題，將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到生活實(shí)際中去，體現(xiàn)了由具體到抽象再到具體的思維過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力，幫助學(xué)生體會(huì)生活，理解數(shù)學(xué).

在實(shí)際問題的運(yùn)用過程中，體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的調(diào)動(dòng)和運(yùn)用技能，既能達(dá)到鞏固知識(shí)點(diǎn)的作用，又能在解題中利用數(shù)學(xué)建模思想解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的技能，感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性，體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力.

精心組織訓(xùn)練，滲透解題思想

等腰三角形的教學(xué)除了基礎(chǔ)的性質(zhì)和定理以外，更重要的是要滲透數(shù)學(xué)的思想和方法，讓學(xué)生由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，能對(duì)具體內(nèi)容進(jìn)行概括和歸納. 教師要通過具體的習(xí)題進(jìn)行鞏固和檢測，在例題訓(xùn)練中逐漸滲透思想方法. 在習(xí)題訓(xùn)練的設(shè)計(jì)中，教師應(yīng)精心挑選能反映等腰三角形典型性質(zhì)的習(xí)題，通過典型例題的訓(xùn)練，使學(xué)生能加深對(duì)解題思路的理解.

習(xí)題訓(xùn)練1 如圖4，三角形ABC中，AB和AC相等，點(diǎn)D是底邊BC上的一點(diǎn)，已知AD和BD相等，求證∠ADB和∠BAC相等.

本題在引導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)要滲透數(shù)形結(jié)合的思想，利用等腰三角形的邊和角的性質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合的思想將數(shù)學(xué)的語言轉(zhuǎn)化為文字關(guān)系，將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)系，充分聯(lián)想構(gòu)建等量關(guān)系，利用數(shù)量轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解. 在問題探究中，通過數(shù)形結(jié)合方法的使用，大大提升了思維的深度，使學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化為對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)知，訓(xùn)練了學(xué)生的思維.

在習(xí)題訓(xùn)練中，還可以通過“一題多解”的試題，訓(xùn)練學(xué)生思維的發(fā)散性，讓學(xué)生能充分理解等腰三角形的性質(zhì).

習(xí)題訓(xùn)練2 “一題多解”

如圖5，已知三角形ABC中，AB和AC相等，點(diǎn)D和點(diǎn)E在線段BC上，并且AD和AE相等，求證BD和CE相等.

本例是一道一題多解的試題，著重訓(xùn)練學(xué)生對(duì)等腰三角形性質(zhì)的靈活運(yùn)用，在引導(dǎo)學(xué)生小組討論、自主思考的基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生采用多個(gè)角度進(jìn)行解答，如可以通過等量轉(zhuǎn)換、構(gòu)造的思想，可以通過作輔助線的方法（如作頂角的角平分線、作底邊上的高等）進(jìn)行解答. 在探究多種解法的過程中，讓學(xué)生進(jìn)行深度思考，不僅加深了學(xué)生對(duì)等腰三角形性質(zhì)的印象，而且可以讓學(xué)生尋找最佳解題途徑，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

數(shù)學(xué)課堂中數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)至關(guān)重要，它是學(xué)生能夠提升綜合素質(zhì)的關(guān)鍵. 在數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程，在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程中逐步掌握數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，真正形成自己對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí). 教師要通過對(duì)教材知識(shí)點(diǎn)的理解、整合，利用生活中數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化和優(yōu)秀的習(xí)題訓(xùn)練，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，在問題引導(dǎo)和設(shè)問啟發(fā)中發(fā)展學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

總之，教師對(duì)課標(biāo)、教材的理解，對(duì)數(shù)學(xué)方法和思想的把握，都會(huì)在一舉一動(dòng)中潛移默化地傳授給學(xué)生. 因此教師要提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，就要不斷提升自己的專業(yè)知識(shí)水平和教學(xué)能力，做一個(gè)終身學(xué)習(xí)者，才能長久地影響學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生的全面和可持續(xù)發(fā)展.