注重類比猜想 提升解題能力

王炳炳

[摘 ?要] 試題教學(xué)不僅能鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)，還能提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力. 文章以一道橢圓試題為例，從“自主學(xué)習(xí)，開啟思維”“差異分析，化繁為簡(jiǎn)”“類比猜想，揭露本質(zhì)”“合作探究，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)”“總結(jié)提煉，能力提升”五個(gè)方面展開教學(xué)，并談一些思考.

[關(guān)鍵詞] 試題教學(xué);類比猜想;自主學(xué)習(xí)

哈爾莫斯認(rèn)為“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”. 試題教學(xué)不僅能鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)，還能提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力. 但受綜合因素的影響，當(dāng)今的試題教學(xué)仍存在“教師講得多，學(xué)生想得少”的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象會(huì)消減學(xué)生研究問(wèn)題本質(zhì)的熱情. 為此，筆者在試題教學(xué)過(guò)程中，尤為關(guān)注類比猜想揭示問(wèn)題本質(zhì)的作用，本文以一道橢圓試題教學(xué)為例，從以下幾方面展開闡述.

[?]原題呈現(xiàn)

如圖1所示，平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y=x與橢圓E：+=1（a>b>0）分別相交于點(diǎn)A，B，已知橢圓的離心率是，且AB=2，若點(diǎn)C，D是位于橢圓上非點(diǎn)A，B的兩點(diǎn)，直線AC與BD相交于點(diǎn)M，AD與BC相交于點(diǎn)N，連接點(diǎn)M，N.

（1）寫出橢圓E的方程;

（2）求證：直線MN的斜率是定值.

[?]學(xué)生解題情況分析

本班學(xué)生的認(rèn)知與思維水平較高，具有一定的分析與解決問(wèn)題的能力. 解決本題，第（1）問(wèn)學(xué)生基本沒(méi)有做錯(cuò);第（2）問(wèn)的分值為10分，但學(xué)生的得分率不高，本班53名學(xué)生的平均得分只有3.2分，僅有兩名學(xué)生完全答對(duì). 這樣的結(jié)果有點(diǎn)出乎意料.

為了找出學(xué)生錯(cuò)誤的根源，筆者對(duì)答卷進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生雖然有一定的解題想法，終究還是差了點(diǎn)火候. 大部分學(xué)生呈現(xiàn)出來(lái)的問(wèn)題主要有：①未能找出直線AC和BC以及直線AD和BD斜率間的關(guān)系，使得運(yùn)算繁雜;難以分別表達(dá)出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，使得解題無(wú)法繼續(xù);②雖然寫出了點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，卻無(wú)法直接精準(zhǔn)地獲得MN的斜率;③忽略了直線AC，BC，AD，BD中，有直線的斜率不存在;④少部分學(xué)生雖然假設(shè)了點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，想以此為突破口直接獲得k，但因遇到障礙而放棄.

對(duì)學(xué)生存在的問(wèn)題進(jìn)行分析后，筆者對(duì)試題本身也進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)本題不僅考查學(xué)生解決解析幾何問(wèn)題應(yīng)具備的常規(guī)思維，還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)背景與思想，是一道具有可探索性的問(wèn)題. 因此筆者特別利用一節(jié)課的時(shí)間，與學(xué)生一起去探索本題的內(nèi)涵，著重帶領(lǐng)學(xué)生從類比推理的角度出發(fā)，揭露知識(shí)的本質(zhì)，最大化地發(fā)揮本題的教學(xué)價(jià)值.

[?]教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 自主學(xué)習(xí)，開啟思維

新課標(biāo)一再?gòu)?qiáng)調(diào)學(xué)生才是課堂的主人，試題教學(xué)也應(yīng)注重學(xué)生的主體地位，本題是學(xué)生小練中的一道題，學(xué)生對(duì)它已經(jīng)有了一定的了解與思考. 為了培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，筆者在課前將正確答案公布給學(xué)生，要求學(xué)生對(duì)照答案思考自己解題失敗的原因是什么，爭(zhēng)取在上課前能獨(dú)立表述本題的解答思路，并尋找到答案之外的解題途徑，這對(duì)啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有顯著作用.

師：本題的得分率較低，現(xiàn)在大家對(duì)本題的答案已經(jīng)有所了解，哪位同學(xué)來(lái)跟大家分享一下解題思路？

生1：本題其實(shí)就是求直線MN的斜率，該斜率與點(diǎn)M，N的坐標(biāo)有一定的聯(lián)系. 假設(shè)k，k分別為直線AC，AD的斜率→發(fā)現(xiàn)直線AC和BC以及直線AD和BD斜率間的關(guān)系→分別寫出直線AD，BC的方程→獲得點(diǎn)N的坐標(biāo)（同理獲得點(diǎn)M的坐標(biāo)）→獲得直線MN的斜率→對(duì)斜率不存在的情況進(jìn)行驗(yàn)證→獲得結(jié)論.

師：非常好！可見(jiàn)同學(xué)們?cè)谡n前對(duì)本題已經(jīng)做了詳細(xì)的了解，現(xiàn)在請(qǐng)大家說(shuō)一說(shuō)解決本題的過(guò)程中，有哪些求解過(guò)程特別值得注意，從中你們獲得了哪些體會(huì)？

生2：這是一道直線和橢圓的綜合應(yīng)用題，解題時(shí)需要注意分類討論，切忌遺漏直線AC，BC，AD，BD斜率不存在的情況.

生3：在解題過(guò)程中，我雖然假設(shè)了生2所提到的四條直線的斜率，但要分別求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)太困難了，因此沒(méi)能繼續(xù)做下去. 課前研讀答案時(shí)，我發(fā)現(xiàn)只要熟知橢圓的第三定義，就能很快找到直線AC和BC以及直線AD和BD斜率間的關(guān)系，問(wèn)題便迎刃而解.

師：什么關(guān)系？

生3：如圖2所示，直線AC和BC斜率的關(guān)系為k·k=-=-.

師：此結(jié)論與我提供的答案一樣，大家還有其他方法嗎？

生4：設(shè)AC的點(diǎn)斜式方程，與橢圓E聯(lián)立方程組，先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再獲得BC的斜率.

師：這種方法雖然有點(diǎn)繁，卻是常規(guī)法. 從這位同學(xué)的表述中，發(fā)現(xiàn)一些熟悉的數(shù)學(xué)結(jié)論更容易打開我們的思維. 因此在日常學(xué)習(xí)中，我們要注重反思與總結(jié)，從真正意義上掌握一般性結(jié)論，為更好地解題奠定基礎(chǔ).

2. 差異分析，化繁為簡(jiǎn)

師：通過(guò)以上分析，大家還有什么想說(shuō)的嗎？

生5：我認(rèn)為老師所提供的答案思路更易掌握，但是計(jì)算過(guò)程有點(diǎn)冗長(zhǎng)，容易出錯(cuò)，有沒(méi)有簡(jiǎn)單一些的計(jì)算方法？

師：確實(shí)，我也覺(jué)得這個(gè)計(jì)算過(guò)程有點(diǎn)煩瑣，大家有沒(méi)有好的意見(jiàn)？

生6：可以設(shè)點(diǎn)M（x，y），N（x，y），求k=，如果能“設(shè)而不求”就好了，但我不會(huì).

師：你能想到從目標(biāo)著手進(jìn)行分析，值得表?yè)P(yáng). 你想解決的目標(biāo)，在題設(shè)條件中有提到嗎？若沒(méi)有，請(qǐng)分析條件中能獲得一些什么有用的信息.

生6：根據(jù)題設(shè)條件，可列式k·k= -，k·k=-，但還是無(wú)法解出x，x，y，y的值，好像也很麻煩.

師：大家分析一下，本題我們一定要解出x，x，y，y的值嗎？

生（眾）：不一定，其實(shí)我們只要求出（x-x）與（y-y）兩個(gè)整體即可.

師：這是一個(gè)不錯(cuò)的想法，現(xiàn)在我們一起來(lái)嘗試一下.

師生共同探討，發(fā)現(xiàn)求出（x-x）與（y-y）兩個(gè)整體也存在困難. 于是從尋找（x-x）與（y-y）兩個(gè)整體的倍數(shù)關(guān)系著手進(jìn)行分析（過(guò)程略）. 這種方法有效簡(jiǎn)化了運(yùn)算難度，讓學(xué)生體驗(yàn)到了學(xué)習(xí)的成就感.

師：從整體的倍數(shù)關(guān)系來(lái)解題的方法確實(shí)減輕了運(yùn)算量，提高了解題效率，現(xiàn)在大家一起來(lái)回顧一下，這種解題方法是怎么來(lái)的？由此我們能總結(jié)出怎樣的經(jīng)驗(yàn)？

學(xué)生討論總結(jié)：如圖3所示，此解法從目標(biāo)出發(fā)，通過(guò)轉(zhuǎn)化條件進(jìn)行差異分析而獲得.

3. 類比猜想，揭露本質(zhì)

師：剛剛已經(jīng)優(yōu)化了本題的解題方法，現(xiàn)在大家還有什么問(wèn)題嗎？

生7：直線MN的斜率為定值，是否存在潛在的規(guī)律？

師：這是一個(gè)值得探究的問(wèn)題，我們要感謝這位同學(xué)提出此問(wèn). 現(xiàn)在我們一起來(lái)分析，直線MN的斜率為什么一定是定值呢？

生8：本題中的橢圓E與直線l都是確定性的條件，直線MN的斜率又由直線l和橢圓E來(lái)確定，至于怎么確定，我們可以回顧之前遇到過(guò)的類似的求定值的問(wèn)題. 如剛才我們獲得的一個(gè)結(jié)論——圖2中直線AC和BC的斜率關(guān)系為k·k=-=-，這就是一個(gè)典型的定值問(wèn)題. 之前我們碰到過(guò)這種情況，是類比圓猜想而得的：

如圖4所示，在O中，已知∠ACB為直角，也就是k·k=-1，于是猜想橢圓中k·k=-. 因此，此時(shí)可將圖1中的橢圓改成圓進(jìn)行分析，猜想k·k=-.

師：非常好！這位同學(xué)將圓與橢圓進(jìn)行類比分析，猜想出原題中的k·k= -這一結(jié)論. 眾所周知，猜想后需要干什么？

生9：面對(duì)猜想，下一步需要驗(yàn)證.

（學(xué)生投入探索）

由②-①，得y（y-y）=-x（x-x），因此·=-，也就是k·k=-，此時(shí)再檢驗(yàn)AC，AD，BC，BD中有斜率不存在的情況即可.

師：大家在大膽猜想后又進(jìn)行了小心求證，獲得了新的結(jié)論，有效地拓展了我們的視野.

4. 合作探究，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)

師：通過(guò)以上猜想證明，大家有什么經(jīng)驗(yàn)性的收獲？

生11：類比圓的一些結(jié)論，可推導(dǎo)出橢圓的相關(guān)結(jié)論.

師：不錯(cuò)，今后我們?cè)儆龅揭恍┘值臋E圓問(wèn)題時(shí)，可以退一步，從圓著手進(jìn)行分析，通過(guò)類比、猜想、驗(yàn)證等，或許能撥開云霧見(jiàn)天日. 現(xiàn)在請(qǐng)各位同學(xué)列舉一些與圓相類比的橢圓問(wèn)題.

（學(xué)生分組合作交流）

命題1：如圖5所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的斜率為k，該直線和O：x2+y2=r2相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，倘若k為OM的斜率，則k·k=-1.

由類比猜想可得：

命題2：如圖6所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的斜率為k，該直線與橢圓E：+=1（a>b>0）相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，倘若k為OM的斜率，則k·k=-.

命題3：如圖7所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的斜率為k，該直線與橢圓E：+=1（a>b>0）在點(diǎn)P處相切，如果k為OP的斜率，那么k·k=-.

受時(shí)間的限制，課堂上只要求學(xué)生證明前兩個(gè)命題，第三個(gè)命題作為學(xué)生課后習(xí)題去思考.

5. 總結(jié)提煉，能力提升

師：通過(guò)以上探究，大家有些什么收獲？請(qǐng)用思維導(dǎo)圖或知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖表示.

學(xué)生畫圖，教師將學(xué)生的結(jié)論投影到黑板上，并要求學(xué)生課后獨(dú)立思考，自主證明命題3，學(xué)有余力的學(xué)生可以挑戰(zhàn)問(wèn)題拓展，以檢測(cè)自己的學(xué)習(xí)成效.

問(wèn)題拓展：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M，N分別為橢圓E：+=1（a>b>0）上，非橢圓頂上的兩點(diǎn)，猜想△OMN面積的最大值. 此時(shí)，點(diǎn)M，N滿足怎樣的條件？說(shuō)明理由.

[?]教學(xué)思考

1. 以目標(biāo)引領(lǐng)為契機(jī)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六要素之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要意義. 然而運(yùn)算能力既是教師教學(xué)的痛點(diǎn)，又是學(xué)生學(xué)習(xí)的懼點(diǎn). 學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算方面的表現(xiàn)為：一說(shuō)就會(huì)，一看就懂，但一做就錯(cuò). 追根究底，學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則是了解的，但在實(shí)際應(yīng)用中，難以找出合理、簡(jiǎn)潔的方法去化繁為簡(jiǎn)，導(dǎo)致運(yùn)算失誤或失敗.

本節(jié)課，筆者以目標(biāo)為起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從條件中尋找有用的信息，從而獲得解題的方向. 學(xué)生對(duì)于這種模式的教學(xué)，感到興奮、有趣，不知不覺(jué)中就優(yōu)化了運(yùn)算過(guò)程，讓解題變得更加輕松自如. 因此，以目標(biāo)引領(lǐng)為契機(jī)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的教學(xué)方法值得大力提倡.

2. 類比猜想顯本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)解題能力

新課標(biāo)中明確提出，要培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題的能力，鼓勵(lì)學(xué)生在自主分析、合作交流中獲得解題技巧. 從本質(zhì)上來(lái)理解，以數(shù)學(xué)的眼光看待事物，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題具有重要的教學(xué)意義. 教育學(xué)家波利亞認(rèn)為：“類比在所有發(fā)現(xiàn)中都有一定的作用，并且在一些發(fā)現(xiàn)中存在重大意義. ”

從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)進(jìn)行類比分析，是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探索與解決問(wèn)題的重要法寶. 實(shí)踐證明，類比是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造的基本方法，尤其適用于將已知性質(zhì)推廣到類似事物上. 課堂中，教師應(yīng)從學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，帶領(lǐng)學(xué)生合理應(yīng)用類比法，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)與分析問(wèn)題的能力.

本節(jié)課的“類比猜想，揭露本質(zhì)”環(huán)節(jié)，要求學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)結(jié)論k·k=-，難度較大，因此教師引導(dǎo)學(xué)生將橢圓退化為他們熟悉的圓，問(wèn)題就變得簡(jiǎn)單易懂了. 這種處理方法，不僅能激發(fā)學(xué)生的探索欲，引發(fā)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，還能從很大程度上發(fā)展學(xué)生的思維能力，為揭露問(wèn)題的本質(zhì)奠定基礎(chǔ)，如此操作也讓課堂更具“數(shù)學(xué)味”.

3. 形式多樣增實(shí)效，提升自主學(xué)習(xí)能力

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)教師應(yīng)將教學(xué)活動(dòng)的重心放在引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)上，每位教師要善于優(yōu)化教學(xué)手段，采取豐富的教學(xué)形式增強(qiáng)教學(xué)成效. 例如本節(jié)課，筆者在課前先將正確答案提供給學(xué)生，讓學(xué)生看著答案思考解題思路，此過(guò)程對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力具有顯著的促進(jìn)作用;在“自主學(xué)習(xí)，開啟思維”的過(guò)程中，要求學(xué)生闡述解題思路，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力與表達(dá)能力有一定的幫助;再看后面兩個(gè)教學(xué)片段，要求學(xué)生在類比分析中推理并自主總結(jié)知識(shí)脈絡(luò)等，都能有效地提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生反思能力的發(fā)展.

總之，問(wèn)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，猜想推理是試題教學(xué)的關(guān)鍵. 踐行試題教學(xué)的過(guò)程中，教師不能將目光停留在解題本身上，更應(yīng)注重一般思想方法的探尋，只有“授人以漁”，才能讓學(xué)生透過(guò)問(wèn)題的表象發(fā)現(xiàn)知識(shí)的本質(zhì)，獲得解決問(wèn)題的能力，為核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ).