高中數(shù)學建模:先理解,后實踐

張新艷

[摘 ?要] 在2017年版《普通高中數(shù)學課程標準》發(fā)布之后，數(shù)學建模更是凸顯出了其重要地位. 教師的主要任務就是理解數(shù)學建模的內(nèi)在機制與功能，結(jié)合具體的教學內(nèi)容去培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力，提升學生的數(shù)學建模素養(yǎng). 對數(shù)學模型的認識一定要充分，要認識到高中數(shù)學教學內(nèi)容當中有很多數(shù)學建模教學契機. 在高中數(shù)學教學中，數(shù)學建模的成功教學建立在正確的理解基礎上，只有了解了數(shù)學建模的內(nèi)在機制及其基本環(huán)節(jié)，那么在具體的實踐過程中才能做到心中有數(shù)，才能在學生學習的每一個環(huán)節(jié)中給予恰到好處的引導.

[關鍵詞] 高中數(shù)學;數(shù)學建模;理解;實踐

相信每一個高中數(shù)學教師對數(shù)學建模的概念都不陌生，這很大程度上是因為數(shù)學建模幾乎伴隨著數(shù)學教學的始終. 而在2017年版《普通高中數(shù)學課程標準》發(fā)布之后，數(shù)學建模更是凸顯出了其重要地位，原因在于數(shù)學建模是數(shù)學學科核心素養(yǎng)六個要素之一，是“用數(shù)學語言描述事物”的關鍵. 正是因為數(shù)學建模有著如此重要的地位，所以才有不少教師以及數(shù)學教育研究者呼吁將數(shù)學建模的思想融入數(shù)學類主干課程[1]. 實際上，在日常教學中，尤其是在日常數(shù)學教學研究的視野里，數(shù)學建模原本就是一個常提的概念. 那么這是否意味著在日常教學中數(shù)學建模就落實得十分到位呢？答案恐怕并非如此. 首先從教學目的的角度來看，無論是教師還是學生，更多的時候仍然將注意力集中在解題能力上，而這一能力的養(yǎng)成又是通過刷題來實現(xiàn)的，數(shù)學建模顯然并不是此種教學的直接目的;其次是對數(shù)學建模的理解，更多的時候仍然停留在“建立數(shù)學模型”這一認識上，對于模型如何形成、應當經(jīng)歷怎樣的過程才能促進模型建立等，實際上認識并不是十分清楚. 在這樣的背景下，要想落實數(shù)學建模會有著更大的挑戰(zhàn).

應當說在當前評價體制下，培養(yǎng)學生的解題能力并應付高考是必然的選擇，但這并不影響數(shù)學建模素養(yǎng)的落地，如果教師能夠理解數(shù)學建模的內(nèi)在機制與功能，那就可以在切實有效培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)的同時，增強學生的解題與應試能力.

[?]高中數(shù)學教學中的數(shù)學建模理解

一般認為，數(shù)學模型運用于數(shù)學問題解決的過程，其中涉及數(shù)學的基本原理、數(shù)學思想方法、數(shù)學語言的運用. 這里所說的數(shù)學問題，不僅包括數(shù)學習題或者與數(shù)學相關的問題，也包括數(shù)學概念與數(shù)學規(guī)律的建立過程，因此數(shù)學模型的外延除了常說的模型外，數(shù)學概念與數(shù)學規(guī)律也被認為是一種模型. 當形成對數(shù)學模型的認識后，再來認識數(shù)學建模，通俗地說，數(shù)學建模是建立數(shù)學模型，但是更為核心的問題在于“應當經(jīng)歷怎樣的過程才能建立一個數(shù)學模型？”從認知發(fā)展的角度來看，數(shù)學建模本身就是一個復雜的認知活動，需要學生思維的深度參與.

對于教師來說，理解數(shù)學建模的內(nèi)在機制與外在表現(xiàn)，是實施數(shù)學建模教學的前提. 從外在表現(xiàn)來看，數(shù)學建模作為一種問題解決方式，是數(shù)學與現(xiàn)實世界之間溝通的橋梁. 可以肯定的一點是，當下數(shù)學課堂上的數(shù)學建模實際上已經(jīng)被高度簡化，很難讓學生經(jīng)歷一個完整的建模過程，學生在這樣的過程中不可能有效提高建模能力[2]. 要解決這個問題，只有將研究的視角轉(zhuǎn)向數(shù)學建模的內(nèi)在機制，目前公認的觀點是：數(shù)學建模就是從實際問題出發(fā)，經(jīng)過數(shù)學抽象與相應的簡化形成數(shù)學問題，進而建立數(shù)學模型，然后利用建立起的數(shù)學模型去解釋或解決實際問題. 如果成功，那么這樣的數(shù)學模型就是有效的;如果不成功，那么這樣的數(shù)學模型就需要修正——重新經(jīng)歷上述過程.

由此可見，數(shù)學建模實際上與數(shù)學抽象以及邏輯推理是有關系的，在不同的知識點當中，還有可能涉及數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析以及直觀想象等. 因此，數(shù)學學科核心素養(yǎng)的六個要素中，數(shù)學建模才是綜合性最強的那個要素. 對建立數(shù)學模型的內(nèi)在機制的理解，本質(zhì)上要認識到數(shù)學建模的過程，是學生通過自己的思維與認知對實際問題進行抽象、運用數(shù)學邏輯進行推理，進而形成一個內(nèi)在邏輯關系明確且能夠解決新的問題的過程.

認識到這一點后，在具體的數(shù)學建模過程中，教師就應當努力引導學生將數(shù)學思維與實際問題聯(lián)系起來，去除非數(shù)學因素，留下數(shù)學因素，然后尋找其邏輯關系，進而形成數(shù)學模型.

[?]高中數(shù)學教學中的數(shù)學建模實踐

有了如上的理解，教師的主要任務就是結(jié)合具體的教學內(nèi)容去培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力，學生形成數(shù)學建模素養(yǎng). 特別需要再次強調(diào)的是，對數(shù)學模型的認識一定要充分，要認識到高中數(shù)學教學內(nèi)容當中有很多數(shù)學建模教學契機. 著名數(shù)學教育家張奠宙先生曾經(jīng)指出，“就許多數(shù)學內(nèi)容來說，本身就是一種數(shù)學模型……在這個意義上，我們每堂課都在建立數(shù)學模型”. 教師在研究探索數(shù)學建模教學的過程中，要以具體的課例研究為載體，從學生的角度去思考，幫助學生建構(gòu)數(shù)學模型和應用數(shù)學模型[3].

例如，函數(shù)作為高中數(shù)學知識體系中最為重要的概念之一，本身就是一個數(shù)學模型. 學生在此前數(shù)學學習中形成的函數(shù)認識，是一種相對膚淺模糊的認識，在高中數(shù)學教學中，教師的主要任務就是在學生已有認識的基礎上，建立起函數(shù)模型. 根據(jù)上述對數(shù)學建模內(nèi)在機制的理解，在函數(shù)概念這一教學過程中，可以設計以下幾個環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)1：利用現(xiàn)實問題創(chuàng)設情境，引導學生進行數(shù)學抽象.

這里的現(xiàn)實問題主要是指題材來自現(xiàn)實、內(nèi)在邏輯指向數(shù)學的問題. 比如：某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天. 如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認為該怎樣確定一個工人每周的工資呢？

對于這樣的一個實際問題，學生應當通過數(shù)學抽象，去除情境中的生活元素，留下數(shù)學元素，于是每周工資數(shù)額、每天工資數(shù)額以及工作天數(shù)，就是剩下來的三個數(shù)學量.

環(huán)節(jié)2：基于數(shù)學抽象的結(jié)果，通過問題變式，借助分析與歸納，概括出函數(shù)模型.

在上述問題情境中，數(shù)學抽象后三個數(shù)學量之間的邏輯關系已經(jīng)比較清晰了. 實際上，學生借助最基本的數(shù)學關系就可以建立起等量關系，即y=350x（y為每周工資數(shù)額，x為工作天數(shù)）. 在這里有一點必須明確，那就是x的定義域，具體可以表示為A={1，2，3，4，5，6}. 有了這樣的推理后，自然也就可以得出y的值域，即B={350，700，1050，1400，1750，2100}.

其后，可以通過其他素材繼續(xù)創(chuàng)設情境，讓學生通過數(shù)學抽象和邏輯推理得出類似的結(jié)果. 通過分析與歸納，就可以概括出函數(shù)的基本內(nèi)涵. 此時的教學還有一個重要環(huán)節(jié)，那就是學生最初的認識是用自己的語言來描述的，而最終的函數(shù)是要用數(shù)學語言來描述的，從前者到后者有一個過渡，需要教師做好引導. 這個過程同人都比較熟悉，此處只強調(diào)一點就是對定義域、值域及對應關系這三個要素的理解. 如果學生能夠結(jié)合此前提出的實例去理解這三個關鍵要素，那么函數(shù)概念也就會建立起來.

環(huán)節(jié)3：運用數(shù)學模型去解決問題.

這個環(huán)節(jié)的主要任務是讓學生結(jié)合對函數(shù)的認識，判斷一些新的素材當中所表現(xiàn)出來的是不是函數(shù)關系. 相對前面創(chuàng)設的情境，此時提供給學生的應當既有正例也有反例，這樣有助于學生從正反兩個角度強化對函數(shù)概念的認識，從而讓函數(shù)模型更加牢固.

[?]高中數(shù)學教學中的數(shù)學建模反思

在上述函數(shù)概念教學的過程中，學生所經(jīng)歷的學習過程有兩個理解：一是知識層面的理解，學生獲得的是對函數(shù)概念及定義的記憶;二是模型層面的理解，學生通過對生活實例的抽象，借助邏輯建立等量關系，發(fā)現(xiàn)這一關系可以描述生活中的多種情形，于是得出函數(shù)概念，自然也就建立起了函數(shù)模型. 在解決新問題的過程中可以檢視這一模型，學生發(fā)現(xiàn)生活中的復雜關系，既有可以用函數(shù)來描述的，也有不能用函數(shù)來描述的，而這實際上就是基于定義域、值域以及對應關系三個要素強化學生理解函數(shù)概念的過程，從而讓學生形成的函數(shù)模型更加牢固.

進一步反思上述分析尤其是實踐過程，發(fā)現(xiàn)在高中數(shù)學教學中，數(shù)學建模的成功教學一定建立在正確的理解基礎上，只有理解了數(shù)學建模的內(nèi)在機制及基本環(huán)節(jié)，那么在具體的實踐過程中才能做到心中有數(shù)，才能在學生學習的每一個環(huán)節(jié)中給予恰到好處的引導. 這種引導不僅可以讓學生學習數(shù)學知識的過程變得更加簡潔，也可以讓數(shù)學建模的過程變得更加高效.

有人說，數(shù)學教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育，數(shù)學建模的教學是實施素質(zhì)教育的有效途徑[4]. 如此理解數(shù)學建模的意義，就意味著教師更要重視對數(shù)學建模的理解與實踐.

參考文獻：

[1] ?李大潛. 將數(shù)學建模思想融入數(shù)學類主干課程[J]. 中國大學教學，2006（01）：9-11.

[2] ?朱雨姝. 使用費米問題來引入數(shù)學建模[J]. 中學數(shù)學雜志（高中版），2020（03）：3-7.

[3] ?何瑞林. 數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力[J]. 江西教育，2020（14）：36-37.

[4] ?李大潛. 數(shù)學建模與素質(zhì)教育[J]. 中國大學教學，2002（10）：41-43.