利用圖像巧解高考數(shù)列題

黃亞男,劉英麗,高壽蘭

(1.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,上海 200033;2.湖州師范學(xué)院 理學(xué)院,浙江 湖州 313000)

1 例題解析

例1(2021年上海秋季高考第12題) 已知ai∈*(i=1,2,…,9),對任意k∈*(2≤k≤8),ak=ak-1+1或ak=ak+1-1有且僅有一個成立,且a1=6,a9=9,則a1+a2+…+a9的最小值為______.

分析本題的題干內(nèi)容簡短,對一組9項數(shù)列進行限制,從第2項開始,每一項或前一項加1,或后一項減1,這兩種情況有且只有一個成立,求這9項和的最小值.

解由于該9項數(shù)列的首項a1=6和末項a9=9已知,因此可以分別從首項a1和末項a9開始考慮.

情形1從a1開始考慮,接著確定a2的值.因為要求數(shù)列和為最小值,所以每一項應(yīng)盡量取最小,若a2取最小的可能值1,則可排除前一項加1的情況,只能是后一項減1,繼而可以求得a3=2,依次類推直到最后一項.由此可以列出以下式子:

a2=a1+1( )或a2=a3-1(√),

a3=a2+1(√)或a3=a4-1( ),

a4=a3+1( )或a4=a5-1(√),

a5=a4+1(√)或a5=a6-1( ),

a6=a5+1( )或a6=a7-1(√),

a7=a6+1(√)或a7=a8-1( ),

a8=a7+1( )或a8=a9-1(√).

在這種情況下,得到的數(shù)列為：

a1=6,a2=1,a3=2,a4=1,a5=2,a6=1,a7=2,a8=8,a9=9.

因此,a1+a2+…+a9=32.

情形2從a9=9開始考慮,接著確定a8的值.若a8取最小的可能值1,那么a8只能是前一項加1的情況,則a7=0,這不符合題意.所以a8只能先取值到2,依次往前類推直到a2.由此可以列出以下式子:

a2=a1+1(√)或a2=a3-1( ),

a3=a2+1( )或a3=a4-1(√),

a4=a3+1(√)或a4=a5-1( ),

a5=a4+1( )或a5=a6-1(√),

a6=a5+1(√)或a6=a7-1( ),

a7=a6+1( )或a7=a8-1(√),

a8=a7+1(√)或a8=a9-1( ).

在這種情況下,得到的數(shù)列為：

a1=6,a2=7,a3=1,a4=2,a5=1,a6=2,a7=1,a8=2,a9=9.

因此,a1+a2+…+a9=31.

通過討論以上兩種情形,可得a1+a2+…+a9的最小值為31.

以上是一種純代數(shù)的解題方法,即根據(jù)題目給出的條件,逐步分析得出滿足條件的數(shù)列,最終得到答案.然而，我們也可以利用函數(shù)的思想來理解此題,即將題目中的數(shù)列看作離散型函數(shù),利用函數(shù)圖像去觀察分析，其更簡潔、更直觀.將題干的每一項要求反映到函數(shù)圖像中,即從第二項開始,每一項或前一項升1格得到,或后一項降1格得到,這兩種情況只有一個成立,即不能出現(xiàn)升1格再升1格和降1格再降1格的情況.下面分兩種情形考慮：

第一種情形：從a1開始畫圖,接著確定a2的點.為使數(shù)列之和最小,盡量使每一項取值最小,所以將a2降到最小值1,則a2只能由a3降1格得到,此時a3如果滿足由前一項a2升1格得到的情況,就不能滿足后一項a4降1格得到a3的情況,繼而a3只能降1格得到a4,依次類推直到a7=2.若a7由a6升1格得到,則a7不能再升1格得到a8,那么a8只能由a9降1格得到,即a8=a9-1=8,結(jié)果如圖1所示.

在這種情況下,得到的數(shù)列為：

a1=6,a2=1,a3=2,a4=1,a5=2,a6=1,a7=2,a8=8,a9=9.

因此,a1+a2+…+a9=32.

第二種情形:從a9=9開始考慮,接著確定a8的點.若a8直接降到最小值1,則a8只能由a7升1格得到,a7=a8-1=0,這不符合題意,所以a8只能先降到2.為滿足題意,a8只能滿足由前一項a7升1格得到的情況,依次類推直到a3=1.若a3由a4降1格得到,則a3不能再降1格得到a2,則a2只能由a1升1格得到,即a2=a1+1=7,結(jié)果如圖2所示.

圖1 正向討論數(shù)列ai∈*(i=1,2,…,9)的各項值Fig.1 Forward discussion of the values of the sequence ai∈*(i=1,2,…,9)

圖2 逆向討論數(shù)列ai∈*(i=1,2,…,9)的各項值Fig.2 Inverse discussion of the values of the sequence ai∈*(i=1,2,…,9)

在這種情況下,得到的數(shù)列為：

a1=6,a2=7,a3=1,a4=2,a5=1,a6=2,a7=1,a8=2,a9=9.

因此,a1+a2+…+a9=31.

通過討論以上兩種情況,可得a1+a2+…+a9的最小值為31.

為方便討論2021年上海秋考第16題的解法,本文首先給出關(guān)于開口向下的二次函數(shù)的1個性質(zhì).

性質(zhì)1設(shè)f(x)是開口向下的二次函數(shù),如果在f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)有3個數(shù)x1

2f(x2)=f(x1)+f(x3),

則有2x2

證明設(shè)二次函數(shù)f(x)=a(x-t)2+k,其中a<0.在單調(diào)遞增區(qū)間(-∞,t)上,任取x1

由

可得：

即

注設(shè)f(x)是開口向下的二次函數(shù),如果在f(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi)有3個數(shù)x1x1+x3.

例2(2021年上海秋季高考第16題) 已知實數(shù)x1、y1、x2、y2、x3、y3同時滿足:

(1)x10.

則下列選項中恒成立的是( ).

分析本題對6個實數(shù)x1、y1、x2、y2、x3、y3加以限制,即要滿足題干的3項要求,以此來判斷x1、x2、x3之間的關(guān)系.由于這是一道選擇題,我們可通過猜測直接選出答案.但在實際的猜解過程中發(fā)現(xiàn),這并不容易，因此我們可以從函數(shù)的角度理解題意.通過觀察可以發(fā)現(xiàn),這6個實數(shù)可以按(x,y)分為3組,即(xi,yi),i=1,2,3,將每一組(xi,yi)分別看作一個點,記這個點為Pi.將題干的每個條件轉(zhuǎn)化到圖像中，以更加直觀地理解.

將條件(1)轉(zhuǎn)化到圖像中去理解,即點Pi(i=1,2,3)均在直線y=x上方.

將條件(2)轉(zhuǎn)化到圖像中去理解,即點Pi(i=1,2,3)的橫坐標與縱坐標之和是一個定值,記作a,a∈.于是,點Pi(i=1,2,3)落在直線y=-x+a上.

圖3 運用數(shù)形結(jié)合構(gòu)建已知條件函數(shù)圖像Fig.3 Constructing the function images of the known conditions by using symbolic-graphic combination

解設(shè)Pi(xi,yi),i=1,2,3,由條件(1)和條件(2)可知,點Pi(i=1,2,3)落在直線y=-x+a上(a∈),且在直線y=x的上方,易得由條件(3)可得,構(gòu)成一個等差數(shù)列.令f(x)=-x2+ax,則f(x1)、f(x2)、f(x3)是等差數(shù)列,由于開口向下的二次函數(shù)f(x)=-x2+ax在區(qū)間上單調(diào)遞增,根據(jù)性質(zhì)1知,2x2

下面舉例說明選項C與選項D不一定成立.

分析本題通過函數(shù)求解得到一組無限數(shù)列x1,x2,x3,…,xn,…，求當(dāng)n趨近于正無窮時xn+1-xn的值.如果用純代數(shù)方法,分別求出各區(qū)間內(nèi)滿足條件的解,再求極限,這并非易事.下面采用數(shù)形結(jié)合的方法來理解題意：首先根據(jù)f(x)為奇函數(shù)和關(guān)于x=1對稱這兩個條件畫出f(x)的圖像,易得f(x)是一個周期為4的函數(shù),x=2n(n∈)為其漸近線,再找到f(x)圖像與y=x+1圖像在第一象限的交點,這些交點的橫坐標正是方程f(x)=x+1的正數(shù)解所構(gòu)成的數(shù)列.通過圖像發(fā)現(xiàn),要求的極限即為正無窮處兩條漸近線之間的距離.

解因為f(x)為奇函數(shù),且關(guān)于直線x=1對稱,當(dāng)x∈(0,1]時,f(x)=ln(x),則f(x)是周期為4的函數(shù),x=2n(n∈)為其漸近線,如圖4所示.

圖4 周期函數(shù)f(x)的圖像Fig.4 Image of the periodic function f(x)

2 思考與總結(jié)

2021年上海秋季高考的第12題和第16題,以及2022年上海春季高考的第12題都是關(guān)于數(shù)列的綜合應(yīng)用題.本文從這3道題出發(fā),將純代數(shù)思想解題與函數(shù)思想解題進行比較,發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在處理有關(guān)數(shù)列綜合題時非常有效[7].函數(shù)圖像可以更簡潔、更直觀地反映數(shù)列每一項之間的關(guān)系,對解題具有很大的幫助.