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    求解一類代數(shù)Riccati 方程的Anderson加速算法

    2022-05-30 14:03:38王小利凌永輝
    溫州大學學報(自然科學版) 2022年2期
    關(guān)鍵詞:迭代法不動點維數(shù)

    王小利,宋 巖,凌永輝

    (閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,福建漳州 363000)

    產(chǎn)生于運輸問題的一類非對稱代數(shù)Riccati 方程具有以下形式:

    Juang[1]在1995 年證明了矩陣方程(1)正解的存在性,并在文獻[2]中給出了一種近似計算最小正解的數(shù)值算法.考慮到實際應用及解的物理意義,最小正解的計算是研究者著重關(guān)注的問題.Lu[3]在2005 年證明了方程(1)的解滿足以下形式:

    其中?表示Hadamard 乘積,n階方陣T=(tij)= (1δ i+γj),n維向量u和v滿足

    于是,求解矩陣方程(1)的最小正解等價于求解非線性向量方程(3)的最小正解.

    近幾年來,關(guān)于求解方程(3)最小正解已經(jīng)取得了大量的成果.Lu[3]在2005 年提出一種不動點迭代(Fixed Point Iteration,F(xiàn)P)法來求解方程(3)的最小正解,隨后又在文獻[4]中進一步給出求解該方程的Newton 法.隨后,Lin 等[5]改進文獻[3]中的不動點算法得到一種收斂更快的不動點算法.在前人的基礎(chǔ)上,Bai 等[6]在2008 年基于矩陣分塊的Jacobi 迭代和Gauss-Seidel迭代給出了NBJ(Nonlinear Block Jacobi)法和NBGS(Nonlinear Block Gauss-Seidel)算法,這兩種算法可用于計算接近奇異情況下的問題.隨后,Lin[7]又對文獻[6]中方法進行改進.同年,Lin 等[8]提出基于兩步Newton 法的數(shù)值算法,并且證明了其單調(diào)收斂性.Ma 等[9]在2016 年提出了修正的Jacobi 型不動點迭代法和修正的Newton 型迭代法.Miyajima[10]在2017 年根據(jù)解的特殊結(jié)構(gòu)提出一種適用于非奇異情況的直接求解算法.Zhang 等[11]在2020 年提出了帶參數(shù)的Newton 外推法以及改進的倍增算法,并利用Cayley 變換給出了收斂性分析.其他方法詳見文獻[12-14]及其參考文獻.

    為改善不動點迭代在求解大規(guī)模方程接近奇異情況下收斂速度較慢的問題,本文考慮了一種新的不動點加速算法,這種加速方法最早是由Anderson[15]在1965 年提出的.Fang 等[16]在2009年提出了基于該加速方法的多割線迭代法,并將其應用于電子結(jié)構(gòu)計算.Walker 等[17]在2011 年證明了在一定條件下,Anderson 加速與GMRES(Generalized Minimal Residual)是等價的,并討論了幾種算法的實施.Toth 等[18]在2015 年給出了Anderson 加速應用在線性及非線性問題上的收斂性分析.基于該加速框架,本文給出了求解方程(3)的一種不動點加速算法,并與FP、NBJ、NBGS 三種不動點迭代算法進行數(shù)值實驗比較.非奇異情況下的數(shù)值結(jié)果顯示,該加速算法較FP、NBJ、NBGS 法有較好的計算效能.在接近奇異情況下,較FP、NBJ、NBGS 三種算法均有良好的計算效能,特別是在計算接近奇異的大規(guī)模問題時,該加速算法優(yōu)勢尤為明顯.

    1 Anderson 加速算法

    對于非線性方程(3),Lu[3]在2005 年給出了求解該方程的不動點迭代形式:

    該算法計算簡單,運算量只有 O(n2),在非奇異情況下具有良好的計算效能.但在解決接近奇異的問題時,收斂速度緩慢.特別是,計算接近奇異的大規(guī)模問題時,需要花費很長時間.為了解決這一問題,我們利用Anderson 加速對不動點迭代法(4)進行改進.

    下面給出Anderson 加速的一般算法.

    算法1 Anderson 加速法.

    算法1 實現(xiàn)的主要困難是通過求解帶約束最小二乘問題(5)來確定參數(shù)根據(jù)Fang等[16]的推導,上述算法的帶約束最小二乘問題可以改寫為無約束問題:

    這里α與γ間的關(guān)系為

    從而,算法1 中計算下一步迭代值的等式對應改寫為:

    2 最小二乘問題的求解

    對于帶約束最小二乘問題(5),Walker 等①Walker H,Ni P.A Linerly Consterained Least-Squares Problem in Electronic Structure Computations [C].International Conference on Computational &Experimental Engineering and Science,2010:43-49.在2010 年提出在一定條件下可以利用Lagrange乘數(shù)法直接求解.對于無約束的最小二乘問題(6),選用較為穩(wěn)定的QR 分解進行計算.

    這樣求解無約束的最小二乘問題(6)可轉(zhuǎn)化為求解一個mk×mk的上三角方程組.下面計算Fk的QR 分解.

    下面給出Anderson 加速求解非對稱代數(shù)Riccati 方程的算法描述.

    3 數(shù)值實驗

    分別使用算法2(AA 算法)、不動點迭代[3](FP 算法)、文獻[6]所提出的非線性Jacobi 分塊法(NBJ 算法)和非線性Guass-Seidel 分塊法(NBGS 算法)來進行數(shù)值實驗,比較這4 種算法在α、c的不同取值情形下的CPU 時間(單位為秒)、迭代次數(shù)IT 和相對殘差ERR,其中CPU時間取算法計算十次的平均值.

    將區(qū)間[0,1]進行劃分,再利用四點的Guass-Legendre 求積公式求出每個子區(qū)間的節(jié)點ωi和權(quán)重ci,i=1,2,…,n,從而可以求出矩陣的P 和,其中維數(shù)n分別選512、1 024、2 048、4 096和8 192.

    其中 eps ≈ 2.220 4 × 1 0?16.

    所有實驗均在CPU-3.60GHz(Intel(R) Core(TM) i7-4790),RAM-4GB 環(huán)境下進行,MATLAB版本為2013a.

    在迭代終止條件相同的情況下,矩陣維數(shù)n固定為8 192 時,表1 為不同參數(shù)數(shù)值的實驗結(jié)果.可以看出,在非奇異情況下,算法AA 與NBGS 計算效率相似,但隨著參數(shù)的取值逐步接近奇異情況,算法AA 的優(yōu)勢也越來越明顯.不管是CPU 時間、迭代次數(shù)還是殘差,都明顯優(yōu)于其他三種算法.

    表1 n= 8 192時不同參數(shù)的數(shù)值模擬

    表2 為選定參數(shù) (α,c)= (10?7,1 ? 5 × 10?7),矩陣維數(shù)n取不同值的實驗結(jié)果.可以發(fā)現(xiàn),該方法在計算接近奇異情況的大規(guī)模問題時,相較其他三種算法,算法AA 效果尤為顯著,大大節(jié)省了計算成本.

    表2 α= 10 ?7 ,c=1 ? 5×10?7時不同矩陣維數(shù)的數(shù)值模擬

    表3 為(α,c)= (0.001,0.999),矩陣維數(shù)n固定為4 096 時不同m的實驗結(jié)果.

    表3 α= 0.001,c= 0.999,n= 4 096時不同m 的數(shù)值模擬

    表4 為α= 10?5,c=1 ? 10?4,矩陣維數(shù)n為2 048 時不同m的實驗結(jié)果.

    表4 α= 10 ?5 ,c=1 ? 10?4,n= 2 048時不同m 的數(shù)值模擬

    對比收斂較快的NBGS 法可以得出,選取適當?shù)膍,迭代次數(shù)與誤差也會有所改變,選取最優(yōu)的m可在一定程度上減少不必要的運算.當參數(shù)(α,c)接近奇異到一定程度時,即使不取最優(yōu)的m,也有較好的收斂效果.這表明算法AA 對于求解方程(3)最小正解是十分有效的.

    圖1 為不同參數(shù)的收斂過程.圖1(a)為取參數(shù) (α,c) = (0 .01,0 .9 9),m=12,矩陣維數(shù)n= 512時不同方法的數(shù)值實驗結(jié)果;圖1(b)為取參數(shù) (α,c)=(1 0?6,1 ?10?5),m=7,矩陣維數(shù)n= 4 096時的實驗結(jié)果.可以看出,隨著參數(shù)的取值接近奇異情況,較其他三種方法,算法AA 具有良好的計算效能.

    圖1 不同參數(shù)的收斂過程

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