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    求解奇異線性系統(tǒng)的右預(yù)處理MINRES 方法

    2022-05-30 14:03:40洪琳依
    關(guān)鍵詞:迭代法算例預(yù)處理

    洪琳依

    (溫州大學(xué)數(shù)理學(xué)院,浙江溫州 325035)

    本文討論如下大型稀疏線性方程組的求解:

    A∈Rn×n,x,b∈Rn,r= rank(A)<n,其中A是對稱的,且b∈R(A),我們稱之為相容線性系統(tǒng).

    下面介紹一下本文使用的符號.R(.)表示對應(yīng)矩陣的值域,N(.)表示矩陣的零空間,rank(.)表示矩陣的秩,AT表示A的轉(zhuǎn)置,Im為m階的單位矩陣,R(A)⊥表示R(A) 的正交補,⊕表示直和,A+為滿足如下條件的Moore-Penrose 廣義逆[1]:

    MINRES(Minimal Residual)是求解大型對稱線性系統(tǒng)的流行方法之一.最近,Sugihara 等人[2]采用右預(yù)處理MINRES 方法對奇異線性系統(tǒng)Ax=b進行了求解,其預(yù)處理子是非奇異的.眾知,構(gòu)造預(yù)處理子的一個基本原則是讓預(yù)處理子能夠逼近線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣,而奇異線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣是奇異的,所以選取奇異矩陣作為奇異線性系統(tǒng)的預(yù)處理子是合理的想法.本文主要關(guān)注奇異右預(yù)處理子的構(gòu)造并用其加速MINRES 算法.下面首先給出MINRES 的簡單介紹.

    給定初始的x(0)∈Rn,記初始的殘差r(0)=b?Ax(0),則MINRES 按如下方式搜索近似解x(k):

    1 右預(yù)處理的MINRES 算法

    引理1[3]A的分裂:A=M?N,若R(A)=R(M),N(A)=N(M),則稱分裂A=M?N為恰當(dāng)分裂.

    接下來將要討論的預(yù)處理子M皆滿足上述的恰當(dāng)分裂,且M為對稱正半定(SPSD)矩陣.對(1)經(jīng)過M右預(yù)處理后,系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化為求解以下方程組:

    直接用MINRES 方法來求解(3)是不可行的,因為AM+不是對稱矩陣.因此考慮構(gòu)造一個新的半范數(shù).

    因為所討論的A和M都是對稱的,所以有:

    因此AM+在(,)M+下是自伴的,可以通過找到

    來求解(3).下面給出奇異右預(yù)處理MINRES 算法.

    2 右預(yù)處理的MINRES 的收斂分析

    引理2[4]若R(A)=R(M+),則有:1)R((M+A)T) =R(AT);2)R(M+A)=R(MT).

    引理3[5]若A∈Rn×n,且是非奇異的,則用GMRES(Generalized Minimal Residual)算法求解Ax=b時,迭代至多在第n步收斂.

    定理2 對于線性系統(tǒng)Ax=b,A∈Rn×n且對稱,m是矩陣A的秩,m<n.若A=M?N是恰當(dāng)分裂,M是SPSD 矩陣,當(dāng)利用奇異右預(yù)處理MINRES 方法求解時,對于 ?b∈R(A),?x(0)∈R(A),迭代至多在第m步收斂.

    易得A1是對稱的.由引理2 可得:

    由文獻[5]可知,GMRES 與MINRES 的不同是,GMRES 是基于Arnoldi 過程,而MINRES是基于Lanczos 過程.而Lanczos 過程可以看成是當(dāng)矩陣是對稱時Arnoldi 過程的一種簡化.所以對于對稱的矩陣,GMRES和MINRES可以看成是等價的.所以根據(jù)引理3可以得到,利用MINRES求解,迭代至多在第m步收斂.

    故對于 ?b∈R(A),?x(0)∈R(A),利用奇異右預(yù)處理求解奇異線性系統(tǒng)時,迭代至多在第m步收斂.證畢.

    下面給出算法2.

    3 數(shù)值實驗

    根據(jù)上面的理論分析,通過一些數(shù)值實驗來證明用奇異右預(yù)處理MINRES 迭代法求解奇異線性系統(tǒng)的有效性和可行性.考慮如下奇異鞍點問題:

    “+”表示CPU>10 000.

    第一種,預(yù)處理子為I時,即不做預(yù)處理,記為PI.

    第三種,預(yù)處理子是根據(jù)HSS(Hermite/ 反Hermite 分裂)[7]迭代法得到的預(yù)處理子,并取最優(yōu)參數(shù),記為PHSS.

    當(dāng)n=64 時,應(yīng)用4 種不同的預(yù)處理子,根據(jù)奇異右預(yù)處理MINRES 迭代算法求解算例1和算例2 得到的比較圖見圖1 和圖2.表1、表2 給出了不同預(yù)處理子下的右預(yù)處理MINRES 數(shù)值實驗得到的IT、CPU、RES 值.

    表2 4 種不同預(yù)處理子下的右預(yù)處理MINRES 方法對算例2 的實驗結(jié)果

    圖1 4 種不同預(yù)處理子下求解算例1 的結(jié)果(n=64)

    圖2 4 種不同預(yù)處理子下求解算例2 的結(jié)果(n=64)

    表1 4 種不同預(yù)處理子下的右預(yù)處理MINRES 方法對算例1 的實驗結(jié)果

    由圖1、圖2 可以明顯看出,用預(yù)處理子為M的奇異右預(yù)處理MINRES 方法求解算例1 和算例2 時的收斂速度比用其他3 種預(yù)處理子的快.由表1、表2 也可得出同樣的結(jié)論.所以,無論從哪個角度比較,求解算例1 和算例2,采用以M為預(yù)處理子的奇異右預(yù)處理MINRES 方法都比采用其他3 種預(yù)處理子的更為有效.

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