妙用“特殊與一般”， 學(xué)好“平行四邊形”

張偉俊

“從特殊到一般，再由一般到特殊”是人類認(rèn)識(shí)世界的基本過(guò)程，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，我們常常需要處理特殊與一般的關(guān)系，從特殊到一般，或是從一般到特殊，這就形成了數(shù)學(xué)的兩種基本方法：一般化和特殊化?！爸行膶?duì)稱圖形——平行四邊形”這一章中，蘊(yùn)含了很多特殊與一般的關(guān)系。我們?nèi)绻苡煤眠@種關(guān)系，必將達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

一、特殊化：從一般到特殊

在本章的學(xué)習(xí)中，無(wú)論是從旋轉(zhuǎn)到中心對(duì)稱，還是從平行四邊形到矩形、菱形、正方形，都體現(xiàn)了特殊化的思想。初學(xué)時(shí)，有些同學(xué)看到這么多圖形，每種圖形還有很多性質(zhì)，不太容易記住，甚至感到混亂。其實(shí)，如果我們以特殊化的方法來(lái)構(gòu)建“平行四邊形”的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，便能很快分清哪個(gè)圖形具備什么性質(zhì)了。如圖1所示，在四邊形的基礎(chǔ)上，再有“兩組對(duì)邊分別平行”，便得到平行四邊形;在平行四邊形的基礎(chǔ)上，再有“一個(gè)角是直角”，便得到矩形，或再有“一組鄰邊相等”，便得到菱形，而同時(shí)具備“一個(gè)角是直角”和“一組鄰邊相等”的條件便成了正方形。也就是說(shuō)，平行四邊形是特殊的四邊形，矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，同時(shí)，正方形還是特殊的矩形、特殊的菱形。從這個(gè)角度，我們又可以用圖2來(lái)描述它們之間的關(guān)系。

在這兩幅結(jié)構(gòu)圖中，一般圖形的性質(zhì)，是各個(gè)特殊圖形的共性。例如，所有平行四邊形（包括矩形、菱形、正方形）都具有“對(duì)邊平行且相等”“對(duì)角相等”“對(duì)角線互相平分”等性質(zhì)。特殊圖形存在于一般圖形之中，特殊圖形不僅具有一般圖形的共性，而且還有自己的特性。例如，矩形不僅具有平行四邊形的所有性質(zhì)，而且還有“四個(gè)角都是直角”“兩條對(duì)角線相等”等特性，菱形也有“四邊相等”“對(duì)角線互相垂直”等特性，這些特性并非所有平行四邊形都具有。一般地，圖形越特殊，它具有的特性也會(huì)越多。因此，我們?cè)趯W(xué)習(xí)中可以從“圖形在特殊化的過(guò)程中增加了哪些特性”的角度，去把握各種圖形所具有的特性。

除此以外，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，我們也常常運(yùn)用特殊化的方法來(lái)解決一般性的問(wèn)題，尤其是在從一般性的角度找不到方法或者不易解決的時(shí)候。

例1 如圖3，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)、G為BC上的點(diǎn)，且FG=5，連接DG、EF，則圖中陰影部分的面積為? ? ? ? ? ? ? ?。

【分析】由“D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)”，可知DE是△ABC的中位線，于是便可推得DE∥FG且DE=FG。如圖4，連接DE、DF、EG，可得四邊形DFGE為平行四邊形，所以S△FGH=S△DFH，故圖中陰影部分的面積可轉(zhuǎn)化為△ADE與△FDE的面積之和。又因?yàn)镈E∥FG，所以無(wú)論F點(diǎn)位于BC邊上的何處，△FDE的面積都是不變的。因此，可以尋求F點(diǎn)的特殊位置，求解出此題的答案。譬如，假設(shè)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合（如圖5），此時(shí)圖中陰影部分的面積便轉(zhuǎn)化成了△ABE的面積，即為△ABC的面積的一半，等于30。當(dāng)然，這樣的問(wèn)題也可以從一般性的角度解決。請(qǐng)同學(xué)們思考一下，從一般性的角度，解決本題還需要說(shuō)明什么？

二、一般化：從特殊到一般

與上述過(guò)程相反，有的時(shí)候，我們也需要從特殊到一般，從特殊情況入手，去探求一般規(guī)律，以便更好地解決特殊問(wèn)題。如蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第87頁(yè)的例題。

例2 已知：如圖6，在四邊形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH是菱形。（詳解見(jiàn)教材。）

圖6中的四邊形EFGH可以稱為四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形，四邊形ABCD可以稱為原四邊形。例2證明了當(dāng)原四邊形對(duì)角線相等時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是菱形。

在這個(gè)問(wèn)題解決之后，我們會(huì)思考什么問(wèn)題呢？或許，有的同學(xué)會(huì)思考：如果原四邊形是任意四邊形，它的中點(diǎn)四邊形還有特殊性嗎？還有的同學(xué)會(huì)思考：如果一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形或者正方形，這個(gè)四邊形需要滿足什么條件呢？這便是從一般化的角度提出的問(wèn)題，期望從一個(gè)特例出發(fā)，探索出原四邊形與其中點(diǎn)四邊形之間關(guān)系的一般規(guī)律。

如圖6，由于“E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)”，構(gòu)造三角形中位線，根據(jù)“三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半”可得EF∥GH且EF=GH，即四邊形EFGH為平行四邊形。故任意四邊形的中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形。在此基礎(chǔ)上，要使中點(diǎn)四邊形為矩形，需要增加條件“有一個(gè)內(nèi)角為直角”，從而推出需要原四邊形的對(duì)角線互相垂直;要使中點(diǎn)四邊形為正方形，需要增加條件“有一個(gè)內(nèi)角為直角”和“有一組鄰邊相等”，從而推出需要原四邊形的對(duì)角線互相垂直且相等。

這樣便得到了原四邊形與其中點(diǎn)四邊形之間的一般關(guān)系：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形;如圖6，對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形;如圖7，對(duì)角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形;如圖8，對(duì)角線互相垂直且相等的中點(diǎn)四邊形是正方形。

由此可見(jiàn)，特殊與一般是對(duì)立統(tǒng)一的，在一定條件下，它們是可以相互轉(zhuǎn)化的。無(wú)論是從特殊到一般，還是從一般到特殊，都是我們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的視角，也是我們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法，需要我們認(rèn)真領(lǐng)會(huì)、準(zhǔn)確把握。希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中，能自覺(jué)運(yùn)用特殊與一般的思想方法去思考問(wèn)題、解決問(wèn)題。堅(jiān)持這樣做，你的認(rèn)知水平和思維能力一定會(huì)得到長(zhǎng)足發(fā)展。

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）