數(shù)學(xué)理科試題（適用于全國(guó)卷）

一、選擇題

1.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足：z（1+i）=4-3i，則z-=（）.

A.522B.52C.52D.25

解題思路由題意可得z=4-3i1+i，則z-=z=4-3i1+i=52=522，故選A.

2.已知集合A=x|12x<8，B={-2，-1，0，1，2}，則A∪B=（ ）.

A. （-2，+∞）B. （-∞，2）C. AD. B

解題思路因?yàn)锳=（-3，+∞），所以A∪B=A，故選C.

3.若函數(shù)y=（a2-2a-2）xa2-3a-4為冪函數(shù)，且圖象與兩坐標(biāo)軸無(wú)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為（）.

A.3B.3或1C.3或-1D.-1

解題思路由于函數(shù)y=（a2-2a-2）xa2-3a-4為冪函數(shù)，所以a2-2a-2=1.又冪函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸無(wú)交點(diǎn)，所以a2-3a-4≤0，解得a=3或a=-1，故選C.

4.為貫徹落實(shí)黨中央關(guān)于黨史學(xué)習(xí)教育的總體部署，今年4月，教育部在中小學(xué)部署開(kāi)展了“從小學(xué)黨史 永遠(yuǎn)跟黨走”主題教育活動(dòng).某校開(kāi)展了學(xué)黨史讀書(shū)活動(dòng)，學(xué)生積極參加，現(xiàn)對(duì)該校學(xué)生每周學(xué)黨史讀書(shū)時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成頻率分布直方圖，如圖1，則該校學(xué)生每周學(xué)黨史讀書(shū)的平均時(shí)間（單位：小時(shí)）為（）.

A.11.6B.11.20C.11.25D.11.30

解題思路由題意得頻率之和為1，即（0.1+a+0.4+0.25+0.1）×1=1，解得a=0.15，則學(xué)黨史讀書(shū)時(shí)間的平均數(shù)為9.5×0.10+10.5×0.15+11.5×0.40+12.5×0.25+13.5×0.10=11.6（小時(shí)），故選A.

5.若tanα+π3=-47，則sin2α-π3=（）.

A.-5665B.5665C.1665D.-1665

解題思路依題意，得

sin2α-π3=sin2α+π3-π

=-sin2α+π3

= -2sin（α+π3）cos（α+π3）

=-2sin（α+π3）cos（α+π3）sin2（α+π3）+cos2（α+π3）

=-2tan（α+π3）tan2（α+π3）+1

=-2×（-47）（-47）2+1=5665，

故選B.

6.已知函數(shù)f（x）=ln（x+2）+m的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則m的取值范圍為（）.

A. m<-ln2B. m≤-ln2

C. m>ln2D. m≥ln2

解題思路由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知函數(shù)f（x）在（-2，+∞）單調(diào)遞增，若函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則ln0+2+m≤0，解得m≤-ln2.

故選B.

7.已知等比數(shù)列an中，a1=1，a9=64，則a5=（）.

A.8B.-8C.10D.±8

解題思路設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，依題意，得a25=a1a9=64.又a5=a1q4>0，故a5=8.

故選A.

8.已知拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)

A（3，0）且斜率為k的直線(xiàn)l與C交于M，N兩點(diǎn)，若ΔFMN的重心G的縱坐標(biāo)為43，則點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為（）.

A.103B.113C.4D.133

解題思路設(shè)Mx1，y1，Nx2，y2，由ΔAMN的重心G的縱坐標(biāo)為43及F（1，0），得y1+y2=4.由y21=4x1，y22=4x2，得y21-y22=4x1-4x2，即k=y1-y2x1-x2=4y1+y2=1.則l：y=x-3.所以x1+x2=y1+y2+6=10.故點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為113，故選B.

9.函數(shù)fx=Acosωx+φ（A<0，ω>0，-π2<φ<0），其部分圖象如圖2所示，下列說(shuō)法正確的有（）.

①ω=2;②φ=-π3;

③x=π12是函數(shù)fx的極值點(diǎn);

④函數(shù)fx在區(qū)間-5π12，π12上單調(diào)遞增;

⑤函數(shù)y=fx-π12關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

A.①②④B.②③④C.①②⑤D.③④⑤

解題思路由圖2知A=-1，且函數(shù)fx的周期為T(mén)=2（11π12-5π12）=π，所以ω=2，故①正確;

因?yàn)閒x=-cos2x+φ，

所以f5π12=

-cos5π6+φ=0.

則5π6+φ=kπ+π2（k∈Z）.

又-π2<φ<0，故k=0，φ=-π3，故②正確;

由fx=-cos2x-π3，

知fπ12=-cosπ6，

顯然x=π12不是函數(shù)fx的極值點(diǎn)，故③錯(cuò)誤;

由2kπ≤2x-π3≤2kπ+π，

得kπ+π6≤x≤kπ+2π3.

所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ+π6，kπ+2π3]，

單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-π3，kπ+π6].

所以fx在-5π12，-π3上單調(diào)遞增，

在-π3，π12上單調(diào)遞減，

所以fx在-5π12，π12上不單調(diào)，故④錯(cuò)誤.

函數(shù)y=fx-π12=-sin2x為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故⑤正確.故選C.

10.P為雙曲線(xiàn)C：x29-y216=1（a>0，b>0）上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向C的兩條漸近線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為P1，P2，則PP1·PP2=（）.

A.144625B.100825C.14425D.1008625

解題思路1由題知兩條漸近線(xiàn)方程為4x±3y=0，設(shè)P（x0，y0），

則lPP1：3x+4y-3x0-4y0=0，

lPP2：3x-4y-3x0+4y0=0.

聯(lián)立3x+4y-3x0-4y0=0，4x-3y=0，

得P1（9x0+12y025，12x0+16y025），

同理得P2（9x0-12y025，-12x0+16y025）.

所以PP1·PP2=（-16x0+12y025，12x0-9y025）·（-16x0-12y025，-12x0-9y025）

=（-16x0）2-（12y0）2252+-（12x0）2+（-9y0）2252

=7（16x20-9y20）252

=7×16×9252=1008625.

解法2由題知兩條漸近線(xiàn)方程分別為l1：4x-3y=0，l2：4x+3y=0，設(shè)P（x0，y0），漸近線(xiàn)l1的傾斜角為θ，則16x20-9y20=144，tanθ=43.

則PP1=4x0-3y05，PP2=4x0+3y05，

cos<PP1，PP2>=cos∠P1PP2=cos∠P1OP2

=cos（π-2θ）=sin2θ-cos2θsin2θ+cos2θ=tan2θ-1tan2θ+1=725.

所以PP1·PP2=PP1·PP2cos<PP1，PP2>=4x0-3y05·4x0+3y05×725

=1008625.

故選D.

11.由0，1，2，3，4，5組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個(gè)，則其恰好為“前3個(gè)數(shù)字保持遞增，后3個(gè)數(shù)字保持遞減”（如五位數(shù)“12543”，前3個(gè)數(shù)字“125”保持遞增，后3個(gè)數(shù)字“543”保持遞減）的概率是（）.

A.7200B.7600C.7120D.150

解題思路由0，1，2，3，4，5組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共C15×A45=600個(gè)，前3個(gè)數(shù)字保持遞增，后3個(gè)數(shù)字保持遞減，說(shuō)明中間數(shù)字必為5或4.

（1）若中間數(shù)字為5，且所選五個(gè)數(shù)字中沒(méi)有0，在1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字，按照遞增順序放置于首兩位，剩余兩個(gè)數(shù)字按照遞減順序放置于末兩位，有C24×1=6個(gè).

（2）若中間數(shù)字為5，且所選五個(gè)數(shù)字中有0，則0一定位于最后一位，從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)放置于第四位，余下三個(gè)數(shù)字任選兩個(gè)按照遞增順序放置于首兩位，有C14×C23=12個(gè).

（3）若中間數(shù)字為4，則所選五個(gè)數(shù)字中沒(méi)有5，0一定位于最后一位，從1，2，3三個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)放置于第四位，余下二個(gè)數(shù)字按照遞增順序放置于首兩位，有C13×1=3個(gè).

因此“前3個(gè)數(shù)字保持遞增，后3個(gè)數(shù)字保持遞減”的五位數(shù)有21個(gè)，所以所求的概率P=21600=7200，故選A.

12.已知函數(shù)f（x）=a-1-lna+x1-x，g（x）與f（x）互為反函數(shù)，且g（x）為奇函數(shù)，則不等式f（x）<f（a2）的解集為（）.

A.-1，12B.-∞，12

C.-1，1D.-1，+∞

解題思路令y=a-1-lna+x1-x，

得x=1-a+1ea-1-y+1.

由g（x）與f（x）互為反函數(shù)，得

g（x）= 1-a+1ea-1-x+1.

又g（x）為奇函數(shù)，所以g0=1-a+1ea-1+1=0.

即ea-1=a，構(gòu)造函數(shù)φ（x）=ex-1-x，求導(dǎo)得φ′（x）=ex-1-1，

當(dāng)x<1時(shí)φ′（x）<0，當(dāng)x>1時(shí)φ′（x）>0，

所以φ（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

所以φ（x）≥φ（1）=0，故當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)φ（x）=0.所以a=1，f（x）=-ln1+x1-x=ln1-x1+x=

ln（-1+21+x），則f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減.

所以不等式f（x）<f（a2）等價(jià)于-1<x<12，解集為-1，12，故選A.

二、填空題

13.若（x+1x）3（x+a）5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為256，則該展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為.

解題思路取x=1，則（x+1x）3（x+a）5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為23×a+15=256，

解得a=1，則（x+1x）3（x+a）5=（x+1x）3（x+1）5.x+1x3的展開(kāi)式：Tm+1=Cm3x3-mx-m=Cm3x3-2m;x+15的展開(kāi)式Tn+1=Cn5x5-n.

取m=1，n=4，得到C13x1·C45x1=15x2;

取m=2，n=2，得到C23x-1·C25x3=30x2;

取m=3，n=0，得到C33x-3·C05x5=x2.

綜上該展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為46.

14.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b2>a2+c2，sinB=sinC.設(shè)△ABC的面積為S，若4bS=ab2+c2-a2，則A=.

解題思路由4bS=ab2+c2-a2，得2abcsinB=2abccosA，即sinB=cosA.

由b2>a2+c2，得cosB<0，即B為鈍角.

所以B=A+π2，C=π2-2A.

又sinB=sinC，所以cosA=cos2A.

即sinA=12，又A為銳角，所以A=π6.

15.因新冠肺炎疫情防控工作需要，某高中學(xué)校計(jì)劃將學(xué)生的周末輔導(dǎo)改至線(xiàn)上進(jìn)行，現(xiàn)需要安排文、理科教師x，y名，考慮到學(xué)生對(duì)輔導(dǎo)的需求等因素，x和y滿(mǎn)足條件2x-y≥5，x-y≤2，x≤6，則該校至少需要安排教師人.

解題思路設(shè)目標(biāo)函數(shù)為z=x+y，得y=-x+z，畫(huà)出可行域如圖3，則題意轉(zhuǎn)化為在可行域內(nèi)任意取x，y且為整數(shù)，使得目標(biāo)函數(shù)的斜率為定值-1，截距最小時(shí)的直線(xiàn)為過(guò) 2x-y=5x-y=2的交點(diǎn)B3，1，此時(shí)z取最小值，即zmin=3+1=4.

16.已知ABCD中，AB=13，BC=25，AC=5，沿AC折疊ΔABC，使得BD=5，

則所得三棱錐B-ACD的外接球的表面積是.

解題思路易知三棱錐B-ACD的三組對(duì)棱分別相等，則該三棱錐可以理解為由正方體六個(gè)面的面對(duì)角線(xiàn)構(gòu)成，且其外接球即為正方體外接球.設(shè)該正方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，且a2+b2=13，b2+c2=25，c2+a2=5，則外接球半徑R滿(mǎn)足2R=a2+b2+c2，所以4R2=a2+b2+c2=12（a2+b2）+（b2+c2）+（c2+a2）=29，故外接球的表面積為4πR2=29π.

三、解答題

17.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn=2an-1n∈N*.

（1）證明：數(shù)列an為等比數(shù)列，并求an.

（2）若各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列bn滿(mǎn)足b1=2，其前n項(xiàng)和為T(mén)n，且數(shù)列Tn-n也為等差數(shù)列，求數(shù)列Tnann+1的前n項(xiàng)和Wn.

解題思路1當(dāng)n=1時(shí)，得a1=1.當(dāng)n>2時(shí)，Sn-1=2an-1-1，所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1.所以an=2an-1.所以an是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an=2n-1.

（2）設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d（d≥0），則T1=b1=2，T2=4+d，T3=6+3d.

因?yàn)閿?shù)列Tn-n為等差數(shù)列，

所以2T2-2=T1-1+T3-3.

即22+d=1+3+3d，解得d=2.

所以Tn=n2+n.

所以Tnann+1=n2+n）2n-1n+1=n·2n-1 .

所以Wn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1.

故2Wn=1·21+2·22+…+n-1·2n-1+n·2n.

兩式相減，得

-Wn=20+21+22+…+2n-1-n·2n

=2n-1-n·2n.

所以Wn=（n-1）·2n+1.

18.新冠病毒變異株奧密克戎導(dǎo)致歐美多國(guó)新冠病例數(shù)激增，為全球抗疫帶來(lái)新的挑戰(zhàn).某市防疫部門(mén)為保障該市的防疫物資質(zhì)量，聯(lián)合質(zhì)檢部分對(duì)該市甲、乙兩家口罩生產(chǎn)企業(yè)進(jìn)行檢查，分別從這兩家企業(yè)生產(chǎn)的某種同類(lèi)口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè)作為樣本，并以樣本的一項(xiàng)關(guān)鍵質(zhì)量指標(biāo)值為檢測(cè)依據(jù).

已知該質(zhì)量指標(biāo)值對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品等級(jí)如下：

質(zhì)量指標(biāo)值＼[15，20）＼[20，25）＼[25，30）＼[30，35）＼[35，40）＼[40，45）

等級(jí)次品二等品一等品二等品三等品次品

根據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值的分組，統(tǒng)計(jì)得到了甲企業(yè)的樣本頻率分布表和乙企業(yè)的樣本頻數(shù)分布直方圖（如圖4，其中a>0）.

質(zhì)量指標(biāo)值＼[15，20）＼[20，25）＼[25，30）＼[30，35）＼[35，40）＼[40，45）

頻數(shù)2184814162

（1）為確?？谡质褂谜叩姆酪甙踩?，甲企業(yè)將所有次品口罩銷(xiāo)毀，并將一、二、三等品的售價(jià)分別定為2元、1元、0.5元.一名顧客隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)了甲企業(yè)銷(xiāo)售的2個(gè)口罩，記其支付費(fèi)用為X元，用頻率估計(jì)概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

（2）如果你是某學(xué)校的后勤采購(gòu)人員，需要為學(xué)校師生采購(gòu)口罩，請(qǐng)你根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，自定標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)甲、乙兩企業(yè)口罩質(zhì)量的優(yōu)劣情況進(jìn)行比較，來(lái)決定購(gòu)買(mǎi)哪個(gè)企業(yè)生產(chǎn)的口罩.

解題思路（1）由表知，甲企業(yè)在100個(gè)樣本中合格品有96個(gè)，則一等品的概率為4896=12，二等品的概率為18+1496=13，三等品的概率為1696=16.由題意知，隨機(jī)變量X的可能取值為4，3，2.5，2，1.5，1.則

P（X=1）=16×16=136，

P（X=1.5）=C12×13×16=19，

P（X=2）=13×13=19，

P（X=2.5）=C12×12×16=16，

P（X=3）=C12×12×13=13，

P（X=4）=12×12=14.

隨機(jī)變量X的分布列為：

X11.522.53

4P1361919161314

所以X的數(shù)學(xué)期望為

E（X）=1×136+1.5×19+2×19+2.5×16+3×13+4×14=176.

（2）答案不唯一，參考如下：

①以口罩的合格率（非次品的占有率）為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)甲、乙兩家企業(yè)的口罩質(zhì)量進(jìn)行比較，

由圖表可知，（a+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080）×5=1，得a=0.008，所以乙企業(yè)的樣本中次品的頻率為（a+0.020）×5=0.14，則合格率約為0.86，甲企業(yè)口罩的合格率約為0.96，所以甲企業(yè)口罩的合格率高于乙企業(yè)口罩的合格率，故認(rèn)為甲企業(yè)的口罩生產(chǎn)質(zhì)量更高，故采購(gòu)甲企業(yè)的口罩.

②以口罩中一等品的概率為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)甲、乙兩家企業(yè)的口罩質(zhì)量進(jìn)行比較，根據(jù)圖表可知，甲企業(yè)口罩中一等品的概率約為0.48，乙企業(yè)口罩中一等品的概率約為0.4，即甲企業(yè)口罩中一等品的概率高于乙企業(yè)口罩中一等品的概率，所以甲企業(yè)的口罩生產(chǎn)質(zhì)量更高，故選擇采購(gòu)甲企業(yè)的口罩.

19.如圖5，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=12BC=1，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，將△ABD沿BD折起，連接AE，AC，DE，AC=3，得到如圖6所示的幾何體.

（1）求證：平面ABD⊥平面ADC;

（2）求直線(xiàn)AC與平面ADE所成角的正弦值.

解題思路（1）由題知BD=CD=2，則BD2+CD2=BC2，所以BD⊥CD.又AD2+CD2=AC2，所以AD⊥CD.又AD∩BD=D，所以CD⊥平面ABD.又CD平面ADC，所以平面ABD⊥平面ADC.

（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)DB，DC分別為x軸，y軸的正半軸，建立如圖7所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），C（0，2，0），E22，22，0，A22，0，22，所以DE=22，22，0，DA=22，0，22，AC=（-22，2，-22）.

設(shè)平面ADE的法向量為n=（x，y，z），則 n·DE=22x+22y=0，n·DA=22x+22z=0.令x=1，得n=（1，-1，-1）.所以cos<AC，n>=AC·n|AC|·|n|=63，故直線(xiàn)AC與平面ADE所成角的正弦值為63.

20.如圖8，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右頂點(diǎn)為A，B，C為橢圓Γ上兩動(dòng)點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，設(shè)直線(xiàn)AB與AC的斜率分別為k1，k2，滿(mǎn)足k1·k2=-14.

（1）求橢圓Γ的離心率;

（2）若橢圓Γ的短軸長(zhǎng)為2，直線(xiàn)AB與AC分別交直線(xiàn)l：x=a+1于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求△AEF的面積最小時(shí)，k1+k2的值.

解題思路（1）已知A（a，0），設(shè)Bx0，y0，C-x0，-y0，則x20a2+y20b2=1，所以 k1·k2= y0x0-a·-y0-x0-a=y20x20-a2=b21-x20a2x20-a2=-b2a2=-14，即b2a2=14，所以e=1-b2a2=32.

（2）由題知2b=2，即b2=1，又b2a2=14，所以a2=4，則橢圓Γ的方程為x24+y2=1.

設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k1x-2，直線(xiàn)AC的方程為y=k2x-2，令x=a+1=3，得yE=k1，yF=k2，所以S△AEF=12EF×1=12k2-k1.由k1·k2=-14<0，得S△AEF=12k2+k1.由基本不等式得S△AEF≥k2·k1=12，當(dāng)且僅當(dāng)k2=k1=12時(shí)等號(hào)成立，所以△AEF的面積最小時(shí)，k1和k2互為相反數(shù)，即k1+k2=0.

21.已知函數(shù)f（x）=e-x+sinx，g（x）=ax（a∈R）.

（1）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π2）內(nèi)存在唯一的極值點(diǎn);

（2）若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間（0，2π）內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解題思路（1）由f（x）=e-x+sinx，得f ′（x）=-e-x+cosx，f ″（x）=e-x-sinx，顯然x∈（0，π2）時(shí)f ″（x）單調(diào)遞減.因?yàn)閒 ″（0）=1>0，f ″（π2）=

-1+e-π2<0，所以存在t∈（0，π2），使得f ″（t）=0.

當(dāng)x∈（0，t）時(shí)，f ″（x）>0，f ′（x）單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈t，π2時(shí)，f ″（x）<0，f ′（x）單調(diào)遞減.

又f ′（0）=0，f ′（π2）=-e-π2<0，所以存在唯一的點(diǎn)x0∈0，π2，使得f ′（x0）=0.

當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f ′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈x0，π2時(shí)，f ′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減.

所以x0為f（x）的極大值點(diǎn)，得證.

（2）由題意可知h（x）=e-x+sinx-ax在0，2π上單調(diào)遞減，則h′（x）=-e-x+cosx-a≤0在0，2π上恒成立，參變分離得a≥-e-x+cosx，x∈0，2π，令φ（x）=-e-x+cosx，x∈0，2π，φ′（x）=e-x-sinx，當(dāng)x∈π，2π時(shí)，φ′（x）>0恒成立，所以φ（x）在π，2π上單調(diào)遞增;當(dāng)x∈0，π時(shí)，φ″（x）=-e-x-cosx單調(diào)遞增，

φ″（0）=-e0-cos0=-2<0，φ″（3π4）=-e-3π4-cos3π4=22-e-3π4>0，

根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一x1∈0，3π4使得φ″（x1）=-e-x1-cosx1=0，φ′（x）=e-x-sinx在0，x1單調(diào)遞減，在x1，π單調(diào)遞增，φ′（x1）=e-x1-sinx1=-cosx1-sinx1=-2sin（x1+π4）<0，

φ′（0）=1>0，φ′（π）=e-π>0，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，存在x2∈0，x1，x3∈x1，π使得φ′（x2）=0，φ′（x3）=0，所以φ（x）在0，x2上單調(diào)遞增，在x2，x3上單調(diào)遞減，在x3，π上單調(diào)遞增.又φ（x2）=-e-x2+cosx2，φ（2π）=-e-2π+1，又因?yàn)閤2<2π，cosx2<1，所以-e-x2<-e-2π，所以φ（x2）<φ（2π）.

綜上，a≥φ（2π）=1-e-2π.

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為x=4tanα1+tan2αy=1-tan2α1+tan2α（α為參數(shù)，且α≠π2+kπ，k∈Z），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系：

1求曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程;

2設(shè)M，N為曲線(xiàn)C1上的兩點(diǎn)，且∠MON=π2，求△MON面積的最小值.

解題思路1化簡(jiǎn)曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程得x2=2tanα1+tan2α，y=1-tan2α1+tan2α，平方相加消去參數(shù)α得 x24+y2=1.

又y=1-tan2α1+tan2α=-1+21+tan2α （α≠π2+kπ，k∈Z），

所以-1<y≤1.

故曲線(xiàn)C1的普通方程為 x24+y2=1（y≠-1）.

根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，

化成極坐標(biāo)方程為

（ρcosθ）24+（ρsinθ）2=1.

因?yàn)閥≠-1，所以曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為

ρ2=41+3sin2θ（θ≠3π2+2kπ，k∈Z）.

2依題意設(shè)點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)分別為（ρ1，θ），（ρ2，θ+π2），代入曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程，得

ρ21=41+3sin2θ，

ρ22=41+3sin2（θ+π2）=41+3cos2θ.

所以S△MON=12ρ1ρ2

=12·41+3sin2θ·41+3cos2θ

=211+3sin2θ1+3cos2θ

=219sin2θcos2θ+4

=2194sin22θ+4.

所以當(dāng)sin22θ=1時(shí)，即θ=kπ2+π4（k∈Z）時(shí)，△MON面積有最小值45.

23.已知f（x）=|2x-2|+|x+3|，

（1）求不等式f（x）≤x+3的解集;

（2）已知a，b>0，若f（x）的最小值是k，且a+b=k，求4a+9b的最小值.

解題思路（1）不等式|2x-2|+|x+3|≤x+3等價(jià)為x≤-3，-3x-1≤x+3或-3<x<1，-x+5≤x+3或x≥1，3x+1≤x+3，解得x=1，原不等式的解集為1.

（2）f（x）=|2x-2|+|x+3|≥|x-1|+|x+3|≥|（x-1）-（x+3）|=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，所以f（x）最小值為4，即k=4，a+b=4，則4a+9b=14（a+b）（4a+9b）≥14×2+32=254，當(dāng)且僅當(dāng)a=85，b=125等號(hào)成立，4a+9b的最小值為254.

[責(zé)任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡(jiǎn)介：劉海濤（1988-），男，安徽省滁州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]