函數(shù)極值點(diǎn)偏移和拐點(diǎn)偏移問題的探究

摘要：函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題是高考的熱點(diǎn)，也是高考復(fù)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn).本文通過對(duì)函數(shù)極值點(diǎn)偏移和拐點(diǎn)偏移問題進(jìn)行探究，得到了判定函數(shù)極值點(diǎn)偏移和拐點(diǎn)偏移的有效方法.

關(guān)鍵詞：函數(shù);極值點(diǎn)偏移;拐點(diǎn)偏移

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）13-0037-03

函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題是近幾年高考的熱點(diǎn)，類似的，函數(shù)也存在拐點(diǎn)偏移，處理極值點(diǎn)偏移和拐點(diǎn)偏移問題，有一些成熟有效的方法，比如構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)、利用對(duì)數(shù)平均不等式等.

1 極值點(diǎn)偏移

已知函數(shù)y=f（x）在（a，b）上連續(xù)，且在（a，b）內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0.

定義1若對(duì)任意滿足f（x1）=f（x2）且a<x1<x2<b的x1，x2，都有x0<x1+x22（x0>x1+x22），則函數(shù)f（x）在（a，b）上極值點(diǎn)x0左（右）偏.

若f（x）在（a，b）上先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，筆者經(jīng)過深入探究，發(fā)現(xiàn)f（x）在（a，b）上極值點(diǎn)是左偏還是右偏，取決于f （x）在（a，b）上的符號(hào).

定理1已知函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0，當(dāng)x∈（a，x0）時(shí)，f ′（x）<0，當(dāng)x∈（x0，b）時(shí)，f ′（x）>0.若任意x∈（a，b），f （x）>0（<0）恒成立，則f（x）在（a，b）上極值點(diǎn)x0右偏（左偏）.

證明 對(duì)任意滿足f（x1）=f（x2）且a<x1<x2<b的x1，x2，要證x0>x1+x22，只需證x2<2x0-x1.因?yàn)閤∈（x0，b）時(shí)，f ′（x）>0，則f（x）單調(diào)遞增.

所以只需證f（x2）<f（2x0-x1）.

即f（x1）<f（2x0-x1）.

構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-f（2x0-x），x∈（a，x0），

則g′（x）=f ′（x）+f ′（2x0-x），

g″（x）=f ″（x）-f ″（2x0-x）.

若任意x∈（a，b），f （x）>0恒成立，

則f ″（x）在（a，b）上單調(diào)遞增.

當(dāng)x∈（a，x0）時(shí)，x<2x0-x，

f ″（x）<f ″（2x0-x），

得g″（x）<0，x∈（a，x0）.

于是g′（x）在（a，x0）上單調(diào)遞減.

所以x∈（a，x0），g′（x）>g′（x0）=2f ′（x0）=0.

于是g（x）在（a，x0）上單調(diào)遞增.

得x∈（a，x0），g（x）<g（x0）=0.

由x1∈（a，x0），得g（x1）<0.

即f（x1）<f（2x0-x1）.

得f（x2）<f（2x0-x1）.

由f（x）在（x0，b）上單調(diào)遞增，

得x2<2x0-x1.

于是x0>x1+x22.

所以f（x）在（a，b）上極值點(diǎn)x0右偏.

若任意x∈（a，b），f （x）<0恒成立，

同理可得f（x）在（a，b）上極值點(diǎn)x0左偏.

定理1給出了在（a，b）上先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增的函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)偏移情況的判定方法，若f（x）在（a，b）上先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減，類似地，有以下定理（證明略）：

定理2已知函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0，當(dāng)x∈（a，x0）時(shí)，f ′（x）>0，當(dāng)x∈（x0，b）時(shí)，f ′（x）<0.若任意x∈（a，b），f （x）>0（<0）恒成立，則f（x）在（a，b）上極值點(diǎn)x0左偏（右偏）.

2 拐點(diǎn)偏移

已知函數(shù)y=f（x）在（a，b）上連續(xù)，且在（a，b）內(nèi)只有一個(gè)拐點(diǎn)x0.

定義2若對(duì)任意滿足f（x1）+f（x2）=2f（x0）且a<x1<x2<b的x1，x2，都有x0<x1+x22（x0>x1+x22），則函數(shù)f（x）在（a，b）上拐點(diǎn)x0左（右）偏.

若函數(shù)f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增且只有一個(gè)拐點(diǎn)x0，筆者經(jīng)過深入探究，發(fā)現(xiàn)f（x）在（a，b）上拐點(diǎn)是左偏還是右偏，取決于f（4）（x）在（a，b）上的符號(hào).

定理3已知函數(shù)f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增且只有一個(gè)拐點(diǎn)x0，在（a，x0）和（x0，b）上f ″（x）異號(hào).若任意x∈（a，b），f（4）（x）>0（<0）恒成立，則f（x）在（a，b）上拐點(diǎn)x0右偏（左偏）.

證明對(duì)任意滿足f（x1）+f（x2）=2f（x0），且a<x1<x2<b的x1，x2，要證x0>x1+x22，只需證x2<2x0-x1.

因?yàn)閒（x）在（a，b）上單調(diào)遞增，

所以只需證f（x2）<f（2x0-x1）.

由f（x1）+f（x2）=2f（x0），得

f（x2）=2f（x0）-f（x1）.

只需證2f（x0）-f（x1）<f（2x0-x1）.

即2f（x0）<f（x1）+f（2x0-x1）.

構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+f（2x0-x），x∈（a，x0），

則g′（x）=f ′（x）-f ′（2x0-x），

g″（x）=f ″（x）+f ″（2x0-x），

g（x）=f（x）-f （2x0-x）.

若任意x∈（a，b），f（4）（x）>0恒成立，則f （x）在（a，b）上單調(diào)遞增.

當(dāng)x∈（a，x0）時(shí)，x<2x0-x，f （x）<f （2x0-x），

得g（x）<0，x∈（a，x0）.

于是g″（x）在（a，x0）上單調(diào)遞減.

所以x∈（a，x0），g″（x）>g″（x0）=2f ″（x0）=0，

于是g′（x）在（a，x0）上單調(diào)遞增，

得x∈（a，x0），g′（x）<g′（x0）=0.

于是g（x）在（a，x0）上單調(diào)遞減，

得x∈（a，x0），g（x）>g（x0）=2f（x0）.

由x1∈（a，x0），得g（x1）>2f（x0）.

即f（x1）+f（2x0-x1）>2f（x0），

得2f（x0）-f（x1）<f（2x0-x1）.

于是f（x2）<f（2x0-x1）.

由f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增，得

x2<2x0-x1.

于是x0>x1+x22.

所以f（x）在（a，b）上拐點(diǎn)x0右偏.

若任意x∈（a，b），f（4）（x）<0恒成立，

同理可得f（x）在（a，b）上拐點(diǎn)x0左偏.

定理3給出了在（a，b）內(nèi)先上凸（下凸）后下凸（上凸）的單調(diào)遞增函數(shù)f（x）的拐點(diǎn)偏移情況的判定方法，若單調(diào)遞減函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)先下凸（上凸）后上凸（下凸），類似地，有以下定理（證明略）：

定理4已知函數(shù)f（x）在（a，b）上單調(diào)遞減且只有一個(gè)拐點(diǎn)x0，在（a，x0）和（x0，b）上f ″（x）異號(hào).若任意x∈（a，b），f（4）（x）>0（<0）恒成立，則f（x）在（a，b）上拐點(diǎn)x0左偏（右偏）.

3 典型例題

下面給出幾個(gè)典型的函數(shù)極值點(diǎn)偏移和拐點(diǎn)偏移問題，并結(jié)合本文的定理加以分析.

例1已知函數(shù)f（x）=x-lnx-a有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2（x1<x2），證明：2<x1+x2<2a.

證明易得a>1.

（1）先證x1+x2>2.

由f ′（x）=1-1x，得

f（x）在（0，+SymboleB@

）上只有一個(gè)極值點(diǎn)1.

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f ′（x）&lt;0，當(dāng)x∈（1，+SymboleB@

）時(shí)，f ′（x）>0.

因?yàn)閒 ″（x）=1x2， f （x）=-2x3，

所以任意x∈（0，+SymboleB@

），f （x）<0恒成立.

由定理1得f（x）在（0，+SymboleB@

）上極值點(diǎn)左偏，

于是1<x1+x22，得2<x1+x2.

（2）再證x1+x2<2a.

由f（x）=x-lnx-a=0，得

x-a=lnx，ex-a-x=0.

構(gòu)造函數(shù)g（x）=ex-a-x，則

g（x1）=g（x2）=0.

由g′（x）=ex-a-1得g（x）在R上只有一個(gè)極值點(diǎn)a.

當(dāng)x∈（-SymboleB@

，a）時(shí)，g′（x）<0，當(dāng)x∈（a，+SymboleB@

）時(shí)，g′（x）>0.

因?yàn)間″（x）=ex-a，g（x）=ex-a，

所以任意x∈R，g（x）>0恒成立.

由定理1得g（x）在R上極值點(diǎn)右偏.

因?yàn)間（x1）=g（x2）=0，

所以a>x1+x22，得x1+x2<2a.

例2已知函數(shù)f（x）=ex-12x2-x，若x1≠x2，且f（x1）+f（x2）=2，證明：x1+x2<0.

證明易得f ′（x）=ex-x-1≥0對(duì)任意x∈R恒成立，所以f（x）在R上單調(diào)遞增.

由f ″（x）=ex-1，得f（x）在R上只有一個(gè)拐點(diǎn)0.

當(dāng)x∈（-SymboleB@

，0）時(shí)，f ″（x）<0，當(dāng)x∈（0，+SymboleB@

）時(shí)，f ″（x）>0.

因?yàn)閒 （x）=ex，f（4）（x）=ex，

所以任意x∈R，f（4）（x）>0恒成立.

由定理3得f（x）在R上拐點(diǎn)右偏.

又f（x1）+f（x2）=2f（0），

于是0>x1+x22，得x1+x2<0.

函數(shù)極值點(diǎn)偏移和拐點(diǎn)偏移問題是考查導(dǎo)數(shù)的常見題型，本文通過對(duì)函數(shù)極值點(diǎn)偏移和拐點(diǎn)偏移問題進(jìn)行探究，得到了判定函數(shù)極值點(diǎn)偏移和拐點(diǎn)偏移問題的非常有效的方法.

參考文獻(xiàn)：

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邢友寶.極值點(diǎn)偏移問題的處理策略＼[J＼].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（7）：19-22.

＼[2＼] 陳寬宏.對(duì)數(shù)平均與高考?jí)狠S題＼[J＼].數(shù)學(xué)通訊（下半月），2012（11）：34-37.

[責(zé)任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：鄧啟龍（1987.3-），男，江西省遂川人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]