例析離散型隨機(jī)變量的 數(shù)學(xué)期望與方差的綜合方法

摘要：高考命題的題型正逐步走向規(guī)范化、科學(xué)化，這就需要教師多方位、多角度挖掘形式多樣的問題.對于中學(xué)生如何學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量問題，關(guān)鍵是需要把握公式，掌握解題方法，并需要注意公式的正確應(yīng)用，特別要分清楚哪種類型，這樣才能在解決離散型隨機(jī)變量問題中得心應(yīng)手.

關(guān)鍵詞：標(biāo)準(zhǔn)方差;隨機(jī)變量;概率分布;教學(xué)研究

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）13-0030-03

基金項目：南寧市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃“2019年度B類課題”數(shù)學(xué)素養(yǎng)視域下高中數(shù)學(xué)答題規(guī)范的教學(xué)與訓(xùn)練的實踐研究”（項目編號：2019B175）.[FQ）]

1 離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念

一般地，若隨機(jī)變量X的概率分布見表1：則稱x1p1+x2p2+…+xnpn為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，記為E（X）或μ.

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布見表1，則隨機(jī)變量X與其均值μ的平均偏離程度，則稱為離散型隨機(jī)變量X的方差，記為V（x）或σ2，那么Vx=σ2=x1-μ2p1+x2-μ2p2+…+xn-μ2pn，其中，pi≥0，i=1，2，…，n，p1+p2+p3+…+pn=1.隨機(jī)變量的方差即為總體的方差，它是一個常數(shù)，不隨抽樣樣本變化而變化，是客觀存在的常數(shù);樣本方差則是隨機(jī)變量，它是隨著樣本不同而變化的，對于簡單的隨機(jī)抽樣，隨著樣本容量的增加，樣本方差則可以越接近于總體方差.

2 常用的方差

（1）若X服從兩點(diǎn)分布，那么V（X）=p（1-p）.

（2）二項分布：若X～B（n，p），那么V（X）=np（1-p）.

（3）超幾何分布：若隨機(jī)變量X服從超幾何分

布，即X～H （n，M，N），則VX=nMN·1-MN·N-nN-1.

3 典例分析

3.1 關(guān)于離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差

例1已知隨機(jī)變量X的概率分布見表2

所示.

求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差.

解析EX=1×17+2×17+3×17+4×17+5×17+6×17+7×17=4.

VX=1-42×17+2-42×17+3-42×17+4-42×17+5-42×17+6-42×17+7-42×17=4，

則σ=VX=2.

小結(jié)解決這類問題應(yīng)該充分利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)進(jìn)行思考：一是Pi≥0，i=1，2，…，n;二是同時具有p1+p2+…+pn=1.3.2 關(guān)于離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差

例2有40名學(xué)生參加培訓(xùn)次數(shù)列見表3.

（1）從這40人中任意選3人，此3名中至少有2名學(xué)生培訓(xùn)次數(shù)恰相等的概率;

（2）從這40人中任選2名同學(xué)，用X表示這2名同學(xué)參加培訓(xùn)次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

解析（1）P=1-C15C115C120C340=419494.

（2）由題意知道X的可能值為0，1，2，則

PX=0=C25+C215+C220C240=61156，

P（X=1）=C15C115+C115C120C240=2552，

PX=2=C15C120C240=539，

那么隨機(jī)變量X的分布列見表4.

則X的數(shù)學(xué)期望EX=0×6136+1×2532+2×539=115156.

小結(jié)首先列出隨機(jī)變量所有取值及每一值概率;其次列出隨機(jī)變量的分布列;再根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計算公式求出E（X）;最后再利用方差的計算公式求出方差的值.

3.3 關(guān)于數(shù)學(xué)期望與方差的逆應(yīng)用例3（1）隨機(jī)變量ξ的分布列見表5.

已知Eξ=52，Vξ=54，則m，n，a的乘積為;

（2）已知ξ～Bn，p，且Eξ=53，Vξ=109，則Pξ=4=.

解析（1）根據(jù)分布列的性質(zhì)可以知道，

a=1-14-14-14=14.

則Eξ=1×14+2×14+m×14+n×14=52.

則可以化簡得到m+n=7.①

Vξ=1-522×14+2-522×14+

m-522×14+n-522×14=54，

化簡，得

m-522+n-522=52.②

聯(lián)立①②，得m=3，n=4或m=4，n=3.

則m，n，a的乘積為3.

（2）根據(jù)二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差的公式得到np=53，np1-p=109.

解得p=13，n=5.

則ξ～B5，13.

故Pξ=4=C4513423=10243.小結(jié)若已知分布列的數(shù)學(xué)期望和方差，可根據(jù)此求出分布列的未知量，同時也可以解決一些實際問題，解決的方法就是先設(shè)出未知量，然后根據(jù)給出的數(shù)學(xué)期望值或方差值，列出關(guān)系式，進(jìn)行解答.

3.4 關(guān)于分布列、方差與均值的綜合題

綜合應(yīng)用題可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)意識和思維能力，能更多地體現(xiàn)出“多維”（知識層次、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想等）的命題思路，充分體現(xiàn)背景公平，情境新穎，避開猜題壓題，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析問題解決問題的能力.

例4甲到乙地，一貨車晴天賺 230元，小雨賺163元，中雨賺90元，明天氣象無雨、小雨、中雨概率分別為0.2，0.3，0.5，求期望盈利值.

解析用X表示明天發(fā)一輛汽車的盈利，{X=230}發(fā)生的充要條件是明天天氣無雨;

{X=163}發(fā)生的充要條件是明天天氣有小雨;{X=90}發(fā)生的充要條件是明天天氣有中雨.

于是P（X=230）=0.2，P（X=163）=0.3，P（X=90）=0.5，E（X）=230×0.2+163×0.3+90×0.5=139.9.即期望賺139.9元，或一輛車平均賺139.9元，方差σ2X=230-139.92×0.2

+163-139.92×0.3+90-139.92×0.5=3028.69.標(biāo)準(zhǔn)差σX=3028.69≈55元.

小結(jié)關(guān)于分布列、方差與均值的綜合題需注意求離散型隨機(jī)變量X的均值與方法：一是理解X的意義，寫出X的全部可能的取值;二是求X的每個值的概率;三是寫出X的分布列，由均值的定義求E（X）和由方差的定義求V（X）.

3.5 數(shù)學(xué)期望與方差在實際問題中的逆應(yīng)用

例5甲工程每投資10萬，年收益1.2，1.18，1.17萬元概率分別為16，12，13;乙工程利潤和產(chǎn)品價格調(diào)整相關(guān)，每調(diào)價下降概率是p0<p<1，若乙一年2次獨(dú)立調(diào)價，乙價格一年內(nèi)下降次數(shù)X，每投10萬元，X取0，1，2時，一年后相應(yīng)利潤是1.3，1.25，0.2萬元，隨機(jī)變量X1，X2表示對甲、乙各投10萬元一年后利潤，（1）求X1，X2概率分布和數(shù)學(xué)期望EX1和EX2.（2）當(dāng)EX1<EX2，求p范圍.

解析（1）由題意可以得知隨機(jī)變量X1的概率分布見表6.

由題設(shè)知道乙工程產(chǎn)品價格下降的次數(shù)服從參數(shù)為2，p的二項分布，則X2的概率分布見表7.

所以X2的數(shù)學(xué)期望為E（X2）=1.3×（1-p）2+1.25×2p（1-p）+0.2p2=-p2-0.1p+1.3（0<p<1）.

（2）由E（X1）<E（X2），得到-p2-0.1p+1.3>1.18，則-0.4<p<0.3.

又因為0<p<1，則E（X1）<E（X2）時，p的取值范圍是0<p<0.3.

故p的取值范圍是0<p<0.3.

小結(jié)在實際問題中，做某件事情有兩種方法，為使其中一種方法的數(shù)學(xué)期望比另一種方法的數(shù)學(xué)期望更高，這就要用到數(shù)學(xué)期望與方差的逆運(yùn)算解決.

離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差知識的實質(zhì)是處理好教與學(xué)的相互關(guān)系，它反映了教學(xué)的自然規(guī)律，運(yùn)用的關(guān)鍵在于如何設(shè)置問題情境.

參考文獻(xiàn)：

[1]

沈惠華.現(xiàn)象教學(xué)視角的概念生成——以“離散型隨機(jī)變量的均值”為例＼[J＼].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（21）：33-35.

＼[2＼] 趙澤民.“情境-問題-探究”模式的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐——以“離散型隨機(jī)變量的均值”教學(xué)為例＼[J＼].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（14）：18-20.

＼[3＼] 原坤，周先華，劉太濤.孕育數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的概念教學(xué)——以“離散型隨機(jī)變量及其分布列”的教學(xué)為例＼[J＼].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2020（10）：18-21.

[責(zé)任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：秦桂芳（1980.12-），女，廣西靈川人，本科，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.