談?wù)勄蠛瘮?shù)解析式的三種路徑

陸秀良

在學(xué)習(xí)函數(shù)時，我們會經(jīng)常遇到求函數(shù)的解析式問題，這類問題具有較強(qiáng)的抽象性，很多同學(xué)經(jīng)常無法快速找到解題的路徑.對此，筆者對求函數(shù)解析式的幾種路徑進(jìn)行了總結(jié)，希望能對大家有所幫助.

一、換元

換元法是指通過引入一個或者幾個變量，將題目中的某些變量替換，進(jìn)而達(dá)到解題的目的.若已知fφx的表達(dá)式，則可以運(yùn)用換元法來求函數(shù) f x的解析式.可首先令 u =φx，得到 x =φ-1u，再將 x =φ-1u代入fφx的表達(dá)式中，通過化簡求得 f x的表達(dá)式即可解題.

例1.已知fè（?） ?（?）=? + ，試求函數(shù) f x的解析式.

解析：已知函數(shù)式為 y =fφx的形式，可設(shè)φx= u =? ，并用 u 表示 x ，然后將其代入到fè（?） ?（?）=? + 中，通過計算得到fx的解析式，這樣便可通過換元，求得問題的答案.

解：因為fè（?） ?（?）=? +? ，

所以令 u = ，可得 x =? ，

將 x =? 代入fè（?） ?（?）=? +? ，

得fu= u2- u +1u ≠1，

因此函數(shù)fx的解析式為fx=x2-x +1x ≠1.

二、采用解方程組法

解方程組法是指根據(jù)已知條件構(gòu)造方程組，再通過消元或者合并同類項等手段，將方程組中的無關(guān)變量消去，得到 f x的表達(dá)式.采用解方程組法解題，關(guān)鍵在于根據(jù)題意，合理進(jìn)行換元、賦值，以構(gòu)造出方程組.

例2.若函數(shù) f x滿足2f 3x+3fè（?） ?（?）=6x，求函數(shù) f x的解析式.

解：令 u =3x，則2fu+3fè（?） ?（?）=2u ①，用代替 u，得2fè（?） ?（?）+3fu=2 ②，聯(lián)立①②式，消去fè（?） ?（?）得：fu=? - （u ≠0），因此fx的解析式為fx=? - x ≠0.

若已知關(guān)系式中同時出現(xiàn)fφx和fhx，且關(guān)系hx=? 或者h(yuǎn)x=-φx，則可以采用解方程組法來求函數(shù)fx的解析式.本題中fu中 u 的意義與fx中 x 的意義相同，所以可直接用 x 替換 u，求得函數(shù)fx的解析式.

三、引入待定系數(shù)

有些題目會直接告知函數(shù)的類型，此時可引入恰當(dāng)?shù)拇ㄏ禂?shù)，將函數(shù)式用含有待定系數(shù)的式子表示出來，再將對應(yīng)項的系數(shù)進(jìn)行對比，得到關(guān)于待定系數(shù)的等式，求得待定系數(shù)的值，即可求得函數(shù)的解析式.在運(yùn)用該路徑解題時，要注意辨別函數(shù)的類型，設(shè)出合適的含有待定系數(shù)的函數(shù)式.

例3.已知函數(shù) f x是對數(shù)函數(shù)，且 f+f= ，試求函數(shù) f x的解析式.

解：根據(jù)題意可設(shè)fx=logaxa>0， a ≠1，因為 f+f=? ，

所以loga+loga= ，解得 a =6，因此，fx=log6xx >0，

所以函數(shù)fx的解析式為fx=log6xx >0.

我們根據(jù)已知條件設(shè)出對數(shù)函數(shù)的解析式，將已知關(guān)系式代入，便可求得函數(shù)的解析式.在解答這類問題時，要熟悉常見的基本函數(shù)解析式，如二次函數(shù)的解析式為 y =ax2+bx +c、對數(shù)函數(shù)的解析式為 y = logax、冪函數(shù)的解析式為 y =x 等a .

求函數(shù)解析式的路徑還有很多，如賦值、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法等.同學(xué)們在求函數(shù)的解析式時，一定要仔細(xì)審題，認(rèn)真分析已知條件，辨別題目的類型，然后對癥下藥，這樣才能讓解題變得更加高效.

（作者單位：江蘇省興化中學(xué)）