證明不等式的小措施

楊樂

在學習中，我們經(jīng)常會遇到不等式證明題.證明不等式的方法有很多種，如比較法、綜合法、分析法、反證法、換元法等，本文重點談一談證明不等式的三種常用措施.

一、利用分析法

分析法是指從需要證明的不等式出發(fā)，尋找使該不等式成立的條件，從而證明不等式成立，即由“果”尋“因”.運用分析法證明不等式的基本步驟為：①研究待證不等式，將其進行適當?shù)淖冃?、化?②靈活運用相關的定理、公式、定義進行推理、論證，逐步與已知條件或某些結論靠攏，尋找使其成立需要的條件;③得出結論.

例1.已知a.b=R+，證明：a 1+a'.h1+b2

分析：題目中的已知條件較為簡單，解答本題，需由“果”尋“因”，運用分析法來求證.從待證不等式出發(fā)，通過開方、移項、運用完全平方式，將其化為完全平方式，從而證明不等式成立.

證明：要證明，只需證明1 +a2-ab +b2≥? ，則需證明- 2+ a -b2≥ 0，而- 2≥ 0，a -b2≥ 0，所以- 2+ a -b2≥ 0，

所以命題得證.

二、運用反證法

運用反證法證明不等式，需先假設待證不等式不成立，若原不等式為 A≥B，則可假設 A

例2.已知a，b，c∈（0，+∞），則 a+ ， b +? ， c + 三個數(shù)中至少有一個不小于6.

證明：假設 a+ ，b+ ，c+? 都小于6，則 a +? +b +? +c +? <18 ，

由基本不等式可得 a++b++c+≥ 2? +2? +2? =18，

這與假設的結論相矛盾，故假設不成立，

所以 a+ ，b+ ，c+ 三個數(shù)中至少有一個不小于6.

本題從正面入手較為困難，需采用反證法來求證.首先假設結論不成立，即a+ 、b+ 、c+ 都小于6，然后利用基本不等式，得出與已知相矛盾的結論，從而證明原結論成立.

三、換元

運用換元法證明不等式，需用新變量替換不等式或者其中的某一個代數(shù)式，通過換元，使其結構、形式得以改變，如將無理式轉變?yōu)橛欣硎?，將分式轉化為整式等.再結合已知條件化簡、整理換元后的式子，從而證明原不等式成立.

例3：

證明：

通過換元，將不等式轉化為結構簡單的式子，再根據(jù)已知條件進行推理、分析，便可快速證明結論.

一般來說，分析法主要適用于證明含有根式、分式、絕對值的不等式;反證法適用于證明從正面入手較為困難的不等式問題;換元法適用于證明不等式結構復雜的問題.有時，可同時使用兩個或兩個以上的方法來證明不等式，這樣能有效地提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省揚州市高郵市臨澤中學）