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    2022年高考數(shù)學(xué)模擬試題(新高考)

    2022-05-23 01:43:46林國紅
    數(shù)理化解題研究 2022年13期
    關(guān)鍵詞:義工小題選擇題

    林國紅

    (廣東省佛山市樂從中學(xué) 528315)

    說明:(1)本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.滿分150分.考試時間120分鐘.

    (2)本試卷適用省份:(新高考Ⅰ卷)山東、福建、湖北、江蘇、廣東、湖南、河北;(新高考Ⅱ卷)海南、遼寧、重慶.

    一、選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)

    1.已知集合M={-1,0,1},N={-3,0,3},T={-3,-1,1,3},則( ).

    A.M∩N=? B.M∪N=T

    C.(M∩N)∪T=TD.(M∪N)∩T=T

    A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減

    C.有最大值 D.有最小值

    4.2021年4月22日是第52個世界地球日,某學(xué)校開展了主題為“珍愛地球,人與自然和諧共生”的活動.該校5名學(xué)生到A,B,C三個社區(qū)做宣傳,每個社區(qū)至少分配一人,每人只能去一個社區(qū)宣傳,則不同的安排方案共有( ).

    A.60種 B.90種 C.150種 D.300種

    A.28 B.16 C.12 D.9

    A.f(a)

    C.f(c)

    7.《周髀算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作,其記載的“日月歷法”曰:“陰陽之?dāng)?shù),日月之法,十九歲為一章,四章為一部,部七十六歲,二十部為一遂,遂一千五百二十歲,….生數(shù)皆終,萬物復(fù)蘇,天以更元作紀(jì)歷”.某老年公寓住有19位老人與1位義工,老人與義工的年齡(都為正整數(shù))之和恰好為一遂,其中義工年齡不滿24歲,老人的年齡依次相差1歲,則義工的年齡為( ).

    A.18歲 B.19歲 C.20歲 D.21歲

    8.已知f(x)=xlnx,若過一點(m,n)可以作出該函數(shù)的兩條切線,則下列選項一定成立的是( ).

    A.nmlnm

    二、選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)

    9.甲罐中有5個紅球,2個白球和3個黑球,乙罐中有4個紅球,3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐,分別以A1,A2和A3表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球,再從乙罐中隨機取出一球,以B表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結(jié)論中正確的是( ).

    C.事件B與事件A1相互獨立

    D.A1,A2,A3兩兩互斥

    A.當(dāng)M為BD的中點時,△A1MC1的周長最小

    B.三棱錐D1-MCB1的體積為定值

    C.在線段BD上存在點M,使得AC1⊥A1M

    D.在線段BD上有且僅有一個點M,使得∠AMC1=120°

    A.點P的軌跡方程為(x-3)2+y2=8

    12.已知數(shù)列{an},{bn}均為遞增數(shù)列,它們的前n項和分別為Sn,Tn,且滿足an+an+1=2n,bn·bn+1=2n(n∈N*),則下列結(jié)論正確的是( ).

    A.0

    三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)

    13.若函數(shù)f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1)是偶函數(shù),則ab=____.

    15.已知函數(shù)f(x)=|-2x+2|+ex,則f(x)的最小值是____.

    圖1

    四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

    17.已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S6=36,a1,a3,a13成等比數(shù)列.

    (1)求數(shù)列{an}的通項公式;

    (1)求角A;

    (2)若b=1,c=3,求BC邊上的中線AD的長.

    注:若選擇多個條件分別進(jìn)行解答,則按第一個解答進(jìn)行計分.

    圖2

    (1)求證:AC⊥平面PAD;

    (2)若點M為PD的中點,求平面PAB與平面MAC所成二面角的正弦值.

    20.有甲、乙兩家公司都需要招聘求職者,這兩家公司的聘用信息如下:

    (1)根據(jù)以上信息,如果你是該求職者,你會選擇哪一家公司?并說明理由;

    (2)某課外實習(xí)作業(yè)小組調(diào)查了1000名職場人士,就選擇這兩家公司的意愿做了統(tǒng)計,得到以下數(shù)據(jù)分布:

    若分析選擇意愿與年齡這兩個分類變量,計算得到的K2的觀測值為k1=5.5513,測得出“選擇意愿與年齡有關(guān)系”的結(jié)論犯錯誤的概率的上限是多少?并用統(tǒng)計學(xué)知識分析,選擇意愿與年齡變量和性別變量哪一個關(guān)聯(lián)性更大?

    P(K2≥k)0.0500.0250.0100.005k3.8415.0246.6357.879

    21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:x=1,點F(4,0),動點P到點F的距離是它到直線l的距離的2倍,記P的軌跡為曲線C.

    (1)求曲線C的方程;

    (1)討論f(x)的單調(diào)性;

    參考答案

    一、選擇題

    1.DM∩N={0},故A錯誤;M∪N={-3,-1,0,1,3},故B錯誤;(M∩N)∪T={0}∪{-3,-1,1,3}={-3,-1,0,1,3},故C錯誤;(M∪N)∩T={-3,-1,0,1,3}∩{-3,-1,1,3}={-3,-1,1,3}=T,故D正確.

    8.A 設(shè)切點為(t,tlnt),對函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f′(x)=lnx+1,則切線斜率為f′(t)=lnt+1.所以切線方程為y-tlnt=(lnt+1)(x-t).即y=(lnt+1)x-t.所以n=m(lnt+1)-t,可得t-mlnt+n-m=0.令g(t)=t-mlnt+n-m,其中t>0,由題意可知,方程g(t)=0有兩個不等的實根.

    ①當(dāng)m≤0時,對任意的t>0,g′(t)>0,此時函數(shù)g(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則方程g(t)=0至多只有一個根,不合乎題意;②當(dāng)m>0時,當(dāng)0m時,g′(t)>0,此時函數(shù)g(t)單調(diào)遞增.由題意可得g(t)min=g(m)=m-mlnm+n-m=n-mlnm<0,可得n

    9.AD 由題意知A1,A2,A3兩兩互斥,故D正確;

    圖3

    所以MA1+MC1

    所以Δ<0,無解,D錯.

    即(x+1)2+y2=2[(x+1)2+y2].

    化簡,得(x-3)2+y2=8.

    即點P軌跡方程為(x-3)2+y2=8,A正確;

    因為直線AB過圓(x-3)2+y2=8的圓心,

    12.ACD 由{an}是遞增數(shù)列,得a1

    所以0

    S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)=2+6+10+…+2(2n-1)=2n2,故B不正確;

    由{bn}是遞增數(shù)列,得b1

    故T2n=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n)

    13. 由f(x)為偶函數(shù)可得f(-x)=f(x).

    所以(ax+bx)[(ab)x-1]=0.

    因為x∈R,且a>0,b>0,a≠1,b≠1,得ab=1.

    圖4

    15. 因為函數(shù)f(x)=|-2x+2|+ex,

    當(dāng)x≤1時,f′(x)=ex-2,由f′(x)=0解得x=ln2,當(dāng)xln2時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(ln2)=eln2-2ln2+2=-2ln2+4.

    當(dāng)x>1時,f′(x)=ex+2,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,此時f(x)無最小值.

    所以f(x)的最小值是-2ln2+4.

    所以an=1+2(n-1)=2n-1.

    整理,得b2+c2-a2=bc.

    b2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠CDA,

    c2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠BDA.

    又BD=CD,cos∠CDA=-cos∠BDA,

    從而AN2+AD2=DN2.

    所以∠DAN=90°,故AC⊥AD,

    因為PA⊥平面ABCD,而AC在平面ABCD中,

    所以PA⊥AC,PA∩AD=A,且PA,AD都在平面PAD內(nèi),所以AC⊥平面PAD.

    圖5

    設(shè)平面PAB與平面MAC的一個法向量分別為n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),平面PAB與平面MAC所成二面角為θ,且θ為銳角.

    20. (1)設(shè)甲公司與乙公司的月薪分別為隨機變量X,Y,則E(X)=6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1=7000,E(Y)=5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1=7000,D(X)=(6000-7000)2×0.4+(7000-7000)×0.3+(8000-7000)2×0.2+(9000-7000)2×0.1=10002,D(Y)=(5000-7000)2×0.4+(7000-7000)2×0.3+(9000-7000)2×0.2 +(11000-7000)2×0.1=20002,則E(X)=E(Y),D(X)

    (2)因為k1=5.5513>5.024,故根據(jù)表中對應(yīng)值得出“選擇意愿與年齡有關(guān)系”的結(jié)論犯錯的概率的上限是0.025, 由數(shù)據(jù)分布可得選擇意愿與性別兩個分類變量的2×2列聯(lián)表如下:

    選擇甲公司選擇乙公司總計男250350600女200200400總計4505501000

    得(3-k2)x2+8k2x-16k2-12=0.

    由韋達(dá)定理,得

    故點F在以|MN|為直徑的圓上.

    01時,f′(x)>0,a

    a=1時,f′(x)≥0恒成立,f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,+∞),無減區(qū)間;

    a>1時,0a時,f′(x)>0,1

    由題意x2-2x+a=0有兩個不等正根x1,x2,

    Δ=4-4a>0,a<1,又x1+x2=2,x1x2=a>0,所以0

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