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    高考考查復(fù)數(shù)的若干視角

    2022-05-23 01:43:34廖永福
    數(shù)理化解題研究 2022年13期
    關(guān)鍵詞:復(fù)數(shù)象限本題

    廖永福

    (福建省廈門第二中學(xué) 361009)

    復(fù)數(shù)的考查主要體現(xiàn)在以下四個(gè)方面:復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、復(fù)數(shù)的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的幾何意義等.其中復(fù)數(shù)的運(yùn)算是考查的重中之重,其它方面的考查大多圍繞復(fù)數(shù)的運(yùn)算展開.

    1 復(fù)數(shù)的運(yùn)算

    復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要是指加、減、乘、除和乘方運(yùn)算,是高考的高頻考點(diǎn),熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵.

    例1 (2018年全國(guó)Ⅲ卷理2)(1+i)(2-i)=( ).

    A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i

    分析根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算.

    解析(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i.

    故選D.

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于基礎(chǔ)題.

    A.1 B.-1 C.i D.-i

    分析可用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解,也可用虛數(shù)單位的性質(zhì)求解,還可用驗(yàn)證法求解.

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于基礎(chǔ)題. 解法1是常規(guī)方法;解法2根據(jù)算式的特點(diǎn),利用-1=i2另辟蹊徑,巧妙作答;解法3根據(jù)單選題的特點(diǎn),用驗(yàn)證法直接找出正確選項(xiàng).

    例3 (2020年全國(guó)Ⅱ卷文2)(1-i)4=( ).

    A.-4 B.4 C.-4i D.4i

    分析根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和完全平方公式進(jìn)行求解即可.

    解析(1-i)4=[(1-i)2]2=(1-2i+i2)2=(-2i)2=-4.故選A.

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于基礎(chǔ)題.

    例4 (2021年全國(guó)甲卷理3)已知(1-i)2z=3+2i,則z=( ).

    分析可用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解,也可用復(fù)數(shù)相等的定義求解,還可用驗(yàn)證法求解.

    解法2 設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則

    (1-i)2(a+bi)=3+2i.

    即2b-2ai=3+2i.

    根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義,得2b=3且-2a=2,

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于基礎(chǔ)題.解法1是常規(guī)解法;解法2設(shè)z=a+bi(a,b∈R),根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義求解;解法3根據(jù)單選題的特點(diǎn),用驗(yàn)證法直接找出正確選項(xiàng).

    練習(xí)1 (2020年全國(guó)新高考Ⅱ卷2)(1+2i)·(2+i)=( ).

    A.4+5i B.5i C.-5i D.2+3i

    練習(xí)3(2021年全國(guó)乙卷文2)設(shè)iz=4+3i,則z=( ).

    A.-3-4iB.-3+4i C.3-4i D.3+4i

    2 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

    復(fù)數(shù)的有關(guān)概念包括復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的相等、實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)等,這些概念一般都和復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合起來(lái)考查,準(zhǔn)確理解概念是解題的關(guān)鍵.

    分析利用復(fù)數(shù)的除法法則求出z即可.

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)虛部的定義,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于基礎(chǔ)題.

    例6 (2020年全國(guó)Ⅰ卷文2)若z=1+2i+i3,則|z|=( ).

    分析先根據(jù)i2=-1將z化簡(jiǎn),再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式求解.

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的定義,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于基礎(chǔ)題.

    A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i

    分析利用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的定義,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于基礎(chǔ)題.

    a-i=(2+i)x=2x+xi.

    又因?yàn)閍∈R,所以a=2x且x=-1,所以a=-2.

    例9 (2017年浙江卷12)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虛數(shù)單位)則a2+b2=____,ab=____.

    分析先利用乘法公式展開(a+bi)2,再利用復(fù)數(shù)相等的定義求出a2,b2的值.

    解析(a+bi)2=a2-b2+2abi.

    解得a2=4,b2=1.所以a2+b2=5,ab=2.

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的定義,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于基礎(chǔ)題.

    A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i

    3 復(fù)數(shù)的性質(zhì)

    復(fù)數(shù)有許多特殊的性質(zhì),如模的性質(zhì)和共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)等,熟記這些性質(zhì),可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易,提高解題效率.

    3.1 模的性質(zhì)

    (1)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|;

    (2)|z1·z2|=|z1|·|z2|;

    (4)|zn|=|z|n(n∈N*).

    例10 (2020年全國(guó)Ⅰ卷理1)若z=1+i,則|z2-2z|=( ).

    分析注意到z2-2z=z(z-2),可用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)(2)求解.

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)模的定義及其性質(zhì)(2),體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于基礎(chǔ)題.

    分析利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)(3)求解.

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)模的定義及其性質(zhì)(3),體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于基礎(chǔ)題.

    分析利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)(4)求解.

    所以|z2|=|-3|,即|z|2=3.

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)模的定義及其性質(zhì)(4),體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于基礎(chǔ)題.

    練習(xí)6(2018年上海卷9)已知復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=1-7i(i是虛數(shù)單位),則|z|=____.

    3.2 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)

    分析利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)(5)求解.

    故選D.

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)(5)的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于基礎(chǔ)題.

    A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i

    由①×5+②,得24z=24+24i,

    所以z=1+i.故選C.

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)(1)和(2)的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于基礎(chǔ)題.

    A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i

    A.1-i B.1+i C.-i D.i

    4 復(fù)數(shù)的幾何意義

    復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有點(diǎn)組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的,復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量組成的集合也是一一對(duì)應(yīng)的,即

    因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法,使問(wèn)題的解決更加直觀明了.

    例15 (2019年全國(guó)Ⅰ卷理2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=1,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則( ).

    A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1

    C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1

    分析由復(fù)數(shù)的幾何意義寫出z的表達(dá)式,再由|z-i|=1求解.

    解析由題意,得z=x+yi.

    因?yàn)閨z-i|=1,所以|x+yi-1|=1.

    所以x2+(y-1)2=1.

    故選C.

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義和模的運(yùn)算,體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于基礎(chǔ)題.

    A.第一象限 B.第二象限

    C.第三象限 D.第四象限

    分析先求出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),再根據(jù)幾何意義得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第幾象限.

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的幾何意義,體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于基礎(chǔ)題.

    分析根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義畫出圖形,找到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量z1-z2,求出模即可.

    圖1

    所以O(shè)Z1=Z1P=OP=2.

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的幾何意義,體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于中檔題.

    練習(xí)10(2020年北京卷2)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2),則i·z=( ).

    A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2-i

    A.第一象限 B.第二象限

    C.第三象限 D.第四象限

    練習(xí)答案

    1.B 2.D 3.C 4.D 5.C 6.5;

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