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    緊抓基底 明辨真假“距離”
    ——一道向量題的解法質(zhì)疑與思考

    2022-05-23 01:42:36劉穩(wěn)殿
    數(shù)理化解題研究 2022年13期
    關(guān)鍵詞:小題本題高三

    劉穩(wěn)殿

    (陜西省白河高級中學(xué) 725801)

    在講解高三數(shù)學(xué)試卷時(shí),用最簡單、最迅速的辦法解出小題是高三師生追求的共同目標(biāo),教師在講解小題時(shí)慣性思維占去了部分思考空間,也為師生解題提供了簡便快捷的通道.教師帶領(lǐng)學(xué)生思考一個(gè)問題的多種解法,有利于學(xué)生思維的發(fā)散與知識的融合.但如果學(xué)生對問題的理解深度尚淺,學(xué)生自行鉆研可能因?yàn)楹雎詶l件走入誤區(qū),那么,此時(shí)對于小題進(jìn)行大做不僅能夠發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯(cuò)因,而且能發(fā)現(xiàn)本題精髓及解題奧秘,更能進(jìn)行拓展,開闊學(xué)生思維深度與廣度,做以適當(dāng)總結(jié),即可明了知識點(diǎn)對應(yīng)的解題類型與解題方法.以下探討一道高三模擬的向量題:

    圖1

    則x2+(y-1)2表示點(diǎn)(0,1)到點(diǎn)(x,y)距離的平方.

    圖2

    所以,當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A處時(shí),x2+(y-1)2的值最大,為12+(0-1)2=2 .

    圖3

    則x2+(y-1)2表示點(diǎn)(0,1)到點(diǎn)(x,y)距離的平方.

    所以,當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B處時(shí),x2+(y-1)2的值最大,為02+(-1-1)2=4 .

    質(zhì)疑1兩種解法思路相同,為何答案不同?

    學(xué)生解答出現(xiàn)的問題是:

    本題一般解法如下:

    方法1 如圖2所示,顯然有

    所以點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,0),

    點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,1),

    點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y).

    則x2+(y-1)2表示點(diǎn)B(0,1)到點(diǎn)C(x,y)距離的平方.

    所以,當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A處時(shí),x2+(y-1)2的值最大,為12+(0-1)2=2 .

    所以(x-1)2+y2=(cosθ-1)2+sin2θ

    =2-2cosθ.

    因?yàn)棣取蔥0°,90°],

    所以cosθ∈[0,1].

    所以當(dāng)θ=90°時(shí),cosθ=0,(x-1)2+y2取得最大值2.

    質(zhì)疑2式子x2+(y-1)2是表示點(diǎn)(0,1)到點(diǎn)(x,y)距離的平方嗎?

    圖4

    所以點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,0),

    點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,1),

    點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y).

    則x2+(y-1)2表示點(diǎn)B(0,1)到點(diǎn)C(x,y)距離的平方.

    所以,當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A處時(shí),x2+(y-1)2的值最大,為12+(0-1)2=2 .

    圖5

    所以x2+(y-1)2≥2.

    即x2+(y-1)2的最大值為2 .

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