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    從“將軍飲馬”到阿氏圓探究線段和的最值

    2022-05-23 01:35:18郭海峰
    數(shù)理化解題研究 2022年13期
    關(guān)鍵詞:飲馬設(shè)點(diǎn)所求

    郭海峰

    (四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校 400000)

    1 著名的“將軍飲馬”問題

    傳說在古羅馬時(shí)代的亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者,名叫海倫.一天,一位將軍專程去拜訪他,向他請教一個(gè)百思不得其解的問題.將軍每天都從軍營A處出發(fā),先到河邊C處飲馬,然后再去河邊的同側(cè)B處開會(huì),他應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?據(jù)說當(dāng)時(shí)海倫略加思索就解決了它.這就是著名的“將軍飲馬”問題.

    將上述問題抽象出數(shù)學(xué)模型即為如圖1中的問題:即在直線l上找一點(diǎn)C,使得AC+BC的值取到最小值.

    圖1

    該問題的解決方式也較為簡單,如圖2,作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′,連接A′B,直線A′B與直線l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)C′.

    圖2

    筆者根據(jù)該模型提出如下的幾個(gè)思考:

    (1)能否將直線l換成圓錐曲線呢?

    (2)題目中的兩個(gè)定點(diǎn)能否是任意的呢?

    (3)當(dāng)其中的某一條邊增加了系數(shù)以后如何求解最小值呢?

    2 圓錐曲線中的最值問題

    解析如圖3,根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知,由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).連接AF2與橢圓相交,交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.現(xiàn)證明其為最小值.

    圖3

    設(shè)點(diǎn)P1為橢圓上異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn).連接P1F1,P1A,PF2,AF2.

    P1F1+P1A+AF2>P1F1+P1F2=2a(三角形兩邊之和大于第三邊),

    PF1+PA+AF2=PF1+PF2=2a,

    即有P1F1+P1A+AF2>PF1+PA+AF2.

    化簡,得P1F1+P1A>PF1+PA.

    所以利用光學(xué)性質(zhì)所求的點(diǎn)P即為所求點(diǎn).

    所以PF1+PA的最小值為2a-AF2.

    圖4

    圖5

    根據(jù)拋物線的定義,得

    PA+PF=P′A.

    結(jié)合圖形信息,得P1A+P1F≥PA+PF恒成立,即可得命題成立.

    解析根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知,由雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)雙曲線反射后其反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).連接AF1與雙曲線相交,交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.其證明過程與上述例題相似,本文不再贅述.

    總結(jié)與反思上述三個(gè)例題,分別將“將軍飲馬”問題中的“直線”換成了橢圓、拋物線以及雙曲線.上述三個(gè)例題對定點(diǎn)的要求較高,其中均有一個(gè)定點(diǎn)為圓錐曲線的焦點(diǎn),其解法的本質(zhì)均是借助了圓錐曲線的定義,將其進(jìn)行了等價(jià)轉(zhuǎn)化,再利用兩點(diǎn)間的距離或點(diǎn)到直線的距離求得最小值.如果是任意的兩個(gè)定點(diǎn)以及任意的圓錐曲線該如何進(jìn)行求解呢?筆者進(jìn)行如下的嘗試:

    3 構(gòu)造橢圓系求解一般的最值問題

    本文所討論的問題對于一般的圓錐曲線而言,運(yùn)算難度較大,本文僅以如下的特殊模型來說明求解的方法:

    如圖6,已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-m,0),(m,0).這兩點(diǎn)之外有一圓錐曲線Γ(本文以圓作為代表),設(shè)點(diǎn)P為Γ上一動(dòng)點(diǎn),試求PA+PB的最小值.

    圖6

    圖7

    證明如圖7,設(shè)點(diǎn)P1為圓錐曲線Γ異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn),連接P1A,P1B.設(shè)P1B與橢圓Ca的交點(diǎn)為Q,連接QA.

    P1A+P1B=P1A+P1Q+QB>QA+QB=2a.(三角形兩邊之和大于第三邊)

    所以PA+PB的最小值為2a.

    上述過程提供了求解最小值的思路,但在高中階段,限于所掌握的運(yùn)算手段,具體求解過程只能針對較為特殊的曲線以及特殊的點(diǎn)進(jìn)行.

    4 對于AC+λBC型最小值問題的思考與求解

    在上文中,筆者分別通過橢圓、拋物線以及雙曲線進(jìn)行了舉例說明.其求解的主要思路是借助定義將其中的一邊進(jìn)行了轉(zhuǎn)化,“圓”也可實(shí)現(xiàn)邊的轉(zhuǎn)化,此時(shí)可借助阿波羅尼斯圓的性質(zhì),將一條邊轉(zhuǎn)化為另一條邊的λ倍再進(jìn)行求解.我們先通過如下例題了解此類問題的考查方式.

    圖8

    令該圓與圓O重合,得

    則原問題轉(zhuǎn)化為3PA+2PB=3(PA+PC),根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知3(PA+PC)≥3AC=32.

    我們可通過如下定義構(gòu)造出阿波羅尼斯圓的方程:設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(m,0),(0,0),PA=λPB,則點(diǎn)P的軌跡為

    為此,我們可構(gòu)造出如下的題型:設(shè)點(diǎn)C(m,n)為圓Pλ外任意一點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P為圓Pλ上一動(dòng)點(diǎn),試計(jì)算PC+λPB的最小值.

    根據(jù)上文的準(zhǔn)備可知,λPB=PA,所以PC+λPB的最小值為AC.據(jù)此,我們可以命制出如下試題供讀者練習(xí):

    總結(jié)與反思本題涉及的兩個(gè)點(diǎn)的其中之一為阿波羅尼斯圓對應(yīng)的一個(gè)點(diǎn).那么對于任意兩點(diǎn)及圓錐曲線能否求解對應(yīng)的最值呢?為此,我們回顧上文中構(gòu)造橢圓解決一般圓錐曲線條件下的最值方法.當(dāng)構(gòu)造的橢圓與圓錐曲線相切時(shí),兩者在此時(shí)擁有相同的公切線,我們可以借助光線的反射來解釋最短距離問題.即假設(shè)從點(diǎn)A處發(fā)射出一束光線,經(jīng)過圓錐曲線Γ的反射后恰好回到點(diǎn)B,則反射點(diǎn)P即為使得PA+PB取得最小值的點(diǎn).筆者猜想對于PA+λPB的最小值,我們可以通過光的折射進(jìn)行求解,即從點(diǎn)A處發(fā)射出一束光線,按照一定的比例經(jīng)過圓錐曲線Γ的折射后恰好回到點(diǎn)B,則折射點(diǎn)P即為使得PA+λPB取得最小值的點(diǎn).

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