函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用中的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”

李明

函數(shù)性質(zhì)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)的主線，所有知識(shí)均可與函數(shù)建立聯(lián)系，都可圍繞這一主線展開，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性更是高考考查的重中之重，常與方程、不等式等知識(shí)結(jié)合起來考查，本文探究函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用中的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”。

一、抽象函數(shù)性質(zhì)探究中的“思維方法”

例1（2021年江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學(xué)高三月考）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x，yER，都有f（x+y）= f（x）+f（y），且當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0。

（1）求f（0）的值，并證明f（x）為奇函數(shù);

（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明;

（3）若f（k·2）+f（4+1-8-2）>0 對(duì)任意xE[—1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

解析：

體驗(yàn)：對(duì)于抽象函數(shù)的有關(guān)問題，其求解的思維方法是：合理運(yùn)用對(duì)應(yīng)法則和題設(shè)條件，多次賦值探究奇偶性;依據(jù)定義、題設(shè)及法則證明其單調(diào)性;利用奇偶性和單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式，通過不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍;常用變量分離法、換元法、構(gòu)造函數(shù)法等求最值。主要考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)運(yùn)算、構(gòu)建函數(shù)模型及邏輯推理等能力。

二、函數(shù)對(duì)稱性應(yīng)用中的“整體思維”

例2（2021年湖南省衡陽市雁峰區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)f（x）=

（1）求證：存在定點(diǎn)M，使得函數(shù)f（x）的圖像上任意一點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的點(diǎn)Q也在函數(shù)f（x）的圖像上，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo);

（2）

解析：

體驗(yàn)：當(dāng)函數(shù)f（x）滿足f（x+a）+f（b—x）=c時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a+2b，2/2）對(duì)稱;利用“函數(shù)的對(duì)稱中心的特征，采用倒序相加法整體思維”可簡化求解函數(shù)值構(gòu)成的數(shù)列的求和問題。對(duì)于函數(shù)不等式的證明，可用分析綜合法轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小關(guān)系，構(gòu)造新函數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)行求證。凸顯函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用中的邏輯推理、整體思維、構(gòu)建函數(shù)模型等素養(yǎng)。

三、最值探究中的“換元法和分類討論”

例3（2022屆東北育才學(xué)?？茖W(xué)高中部高三第一次模擬）已知函數(shù)f（x）=4cos2（2/2+π/4）sin x+（sin x+cos x）· （sinx-cosx）+1。

（1）

解析：

體驗(yàn)：三角公式士sin xcos x= （cosx±sinx）2-1，揭示了二次函數(shù)關(guān)系，同時(shí)給出了“平方溝通的三角變換方法”，奠定了換元法化歸構(gòu)造外層為二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，借助對(duì)稱軸和區(qū)間分類研究最值問題。形如y=asinx+bsinx+k，可先設(shè)sinx=t，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域;形如y=asinxcosx+b（sinx± cosx）+c，可先設(shè)t=sinx士cosx，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域。利用換元法處理三角函數(shù)的最值時(shí)，注意確定新元范圍，如令t=sinx，tE[-1，1];t=sinx+cosx，tE[-2，2]等。

四、復(fù)合函數(shù)開放探索研究中的“推理驗(yàn)證”

例4（2021年江蘇省淮安市洪澤區(qū)高三月考）現(xiàn)有如下三個(gè)條件：在①f（x）+f（-x）=0;②f（x）-f（-x）=0; ③f（—2）=—f（2）。從這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答。

已知函數(shù)f（x）=log2（?x2+a+x）（aER）滿足。

解析：

體驗(yàn)：復(fù)合函數(shù)研究中的開放探索，按照題設(shè)要求合理選擇條件，一一進(jìn)行推理驗(yàn)證，推理驗(yàn)證過程中涉及奇偶函數(shù)的特征、對(duì)數(shù)運(yùn)算及復(fù)合函數(shù)的最值探究。

（責(zé)任編輯王福華）9AFAE1D0-7AB8-4345-885D-2AFDB6DE90A2