根據(jù)函數(shù)式的特征，尋找求值域問題的思路

武芳

在學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會遇到分式函數(shù)的值域問題.分式函數(shù)值域問題通常較為復(fù)雜，很多同學(xué)不知如何下手.下面，介紹三種解答分式函數(shù)值域問題的途徑.

一、采用判別式法

對于形如：y =（a2+d2≠0）的函數(shù)值域問題，通常需采用判別式法求解.由于此類函數(shù)的分母對函數(shù)的定義域沒有更多的限制，所以可直接將y 看作參數(shù)，將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程有實(shí)根得出判別式△≥0，解關(guān)于y 的不等式，就能求出函數(shù)的值域.

例1.求函數(shù) y = 的值域.

解：由 x2+x -2≠0，可得函數(shù)的定義域為（-∞，-2）?（-2，1）?（1，+∞），

將 y = 變形可得 yx2+（y -1）x +1-2y =0，

當(dāng) y =0時，x =1，

而 x =1不在函數(shù)的定義域內(nèi)，因此 y ≠0，當(dāng) y ≠0時，要使一元二次方程有解，

需使Δ=（y -1）2-4y（1-2y）≥0，

整理得：（3y -1）2≥0，解得 y ∈ R .

當(dāng)3y -1=0，即 y = 時，x =1，

不在函數(shù)定義域內(nèi)，因此 y ≠.

綜上可得，函數(shù)的值域為（-∞，0）?（0，）?（ ，+∞）.在運(yùn)用判別式法解題時，要分別討論 y =0和 y ≠0的情況.只有在 y ≠0時，方程 yx2+（y -1）x+1-2y =0為一元二次方程，才能用判別式來建立關(guān)于y 的不等式，求得函數(shù)的值域.

二、換元

換元法主要有整體換元、三角換元、局部換元、均值換元.當(dāng)面對結(jié)構(gòu)復(fù)雜的多項式分式函數(shù)值域問題時，我們可以將函數(shù)式的某一個部分看作一個整體，用新元來替換，這樣便能使函數(shù)式變得更加簡單，從而從新的角度找到解題的思路.

例2.設(shè) a >0，求 f（x）=2a（sinx + cosx）-sinx?cosx -2a2的最值.

解：設(shè)sinx + cosx =t ，則 t ∈[- ，]，

由（sinx + cosx）2=1+2 sinx?cosx，

得sinx?cosx = ，

所以 f（x）=g（t）=-（t -2a）2+（a >0），

t ∈[- ，].

當(dāng) t =- 時，f（x）取最小值-2a2-2 a - ，

當(dāng)2a ≥ 時，t = ，f（x）取最大值：-2a2+

2 a -

當(dāng)0<2a ≤ 時，t =2a ，f（x）取最大值 .所以 f（x）的最小值為-2a2-2 a - ，

最大值為

解答該題主要運(yùn)用了局部換元法，設(shè)sinx+ cosx =t，便建立了sinx + cosx與sinx - cosx之間的聯(lián)系，將三角函數(shù)值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得最值.在換元的過程中，同學(xué)們一定要注意新、舊元范圍的等價關(guān)系.

三、利用三角函數(shù)的有界性

對于一些與三角函數(shù)有關(guān)的分式最值問題，在解題時，我們通常要將 y 看作參數(shù)，利用三角函數(shù)中的基本公式對三角函數(shù)式進(jìn)行恒等變換，以便將其轉(zhuǎn)化為只含一種函數(shù)名稱的最簡形式，然后利用三角函數(shù)的有界性求得最值.

例3.求函數(shù) y = 的值域.

解：由于-1≤ cosx ≤1，

所以分母2cosx+10≠0，y = 可以變形為10y +3=3 sinx -2y cosx = sin（x -α），其中3 ，.???????? 9+4y2，

而-1≤ sin（x -α）≤1，

所以-1≤ ≤1，解得：-≤ y ≤0，因此函數(shù)的值域為[-，0].

解答本題，需先將函數(shù)式變形，以便運(yùn)用輔助角公式將三角函數(shù)式簡化，然后運(yùn)用三角函數(shù)的有界性建立關(guān)于 y 的不等式，求得 y 的取值范圍，即可求得函數(shù)的值域.

相比較而言，第二種途徑的應(yīng)用較為廣泛，第三種途徑較為簡單.但無論運(yùn)用哪種途徑求函數(shù)的值域，都需要將函數(shù)式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃危鐡Q元，變形為一元二次方程、三角函數(shù)式，同時要關(guān)注函數(shù)的定義域，以確保所得的函數(shù)值域滿足題意.

（作者單位：江蘇省鹽城市龍岡中學(xué)）